Matriz de densidad

En mecánica cuántica , una matriz de densidad es una matriz que describe el estado cuántico de un sistema físico. Permite el cálculo de las probabilidades de los resultados de cualquier medida realizada sobre este sistema, utilizando la regla de Born . Es una generalización de los vectores de estado o funciones de onda más habituales: mientras que solo pueden representar estados puros , las matrices de densidad también pueden representar estados mixtos . Los estados mixtos surgen en la mecánica cuántica en dos situaciones diferentes: primero, cuando la preparación del sistema no se conoce por completo y, por lo tanto, se debe tratar con un conjunto estadísticode preparaciones posibles, y segundo cuando se quiere describir un sistema físico que está enredado con otro, ya que su estado no puede ser descrito por un estado puro.

Las matrices de densidad son, por lo tanto, herramientas cruciales en áreas de la mecánica cuántica que se ocupan de estados mixtos, como la mecánica estadística cuántica , los sistemas cuánticos abiertos , la decoherencia cuántica y la información cuántica .

La matriz de densidad es una representación de un operador lineal llamado operador de densidad . La matriz de densidad se obtiene del operador de densidad eligiendo la base en el espacio subyacente. En la práctica, los términos matriz de densidad y operador de densidad a menudo se usan indistintamente.

En el lenguaje de operadores, un operador de densidad para un sistema es un operador hermitiano semidefinido positivo de traza uno que actúa sobre el espacio de Hilbert del sistema. ^{[1] [2] [3]} Esta definición puede estar motivada considerando una situación donde se prepara un estado puro con probabilidad , conocido como conjunto . La probabilidad de obtener un resultado de medición proyectivo cuando se utilizan proyectores viene dada por ^{[4] : 99}${\ estilo de visualización | \ psi _ {j} \ ángulo}$${\displaystyle p_{j}}$${\ estilo de visualización m}$ ${\ estilo de visualización \ Pi _{m}}$

una representación conveniente para el estado de este conjunto. Es fácil comprobar que este operador es semidefinido positivo, hermitiano, y tiene traza uno. Por el contrario, del teorema espectral se deduce que todo operador con estas propiedades puede escribirse como para algunos estados y coeficientes que no son negativos y suman uno. ^{[5] [4] : 102} Sin embargo, esta representación no será única, como lo demuestra el teorema de Schrödinger-HJW .${\displaystyle \textstyle \sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$${\ estilo de visualización | \ psi _ {j} \ ángulo}$${\displaystyle p_{j}}$

En la representación de la esfera de Bloch de un qubit , cada punto de la esfera unitaria representa un estado puro. Todas las demás matrices de densidad corresponden a puntos en el interior.

La bombilla incandescente  (1) emite fotones polarizados  (2) completamente aleatorios con matriz de densidad de estado mixto:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\\\end{bmatrix}}}$.

Después de pasar por el polarizador del plano vertical  (3), los fotones restantes están todos polarizados verticalmente  (4) y tienen una matriz de densidad de estado puro:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}}$.