La aritmética polinomial es una rama del álgebra que se ocupa de algunas propiedades de los polinomios que comparten fuertes analogías con las propiedades de la teoría de números en relación con los números enteros. Incluye operaciones matemáticas básicas como suma , resta y multiplicación , así como operaciones más elaboradas como la división euclidiana y propiedades relacionadas con las raíces de polinomios. Estos últimos están esencialmente relacionados con el hecho de que el conjunto K [ X ] de polinomios univariantes con coeficientes en un campo K es un anillo conmutativo, como el anillo de números enteros .
Operaciones elementales sobre polinomios
La suma y la resta de dos polinomios se realizan sumando o restando los coeficientes correspondientes . Si
entonces la suma se define como
- donde m> n
La multiplicación se realiza de la misma manera que la suma y la resta, pero en su lugar se multiplican los coeficientes correspondientes. Si entonces la multiplicación se define como dónde . Tenga en cuenta que tratamos como cero para y que el grado del producto es igual a la suma de los grados de los dos polinomios.
Aritmética polinomial avanzada y comparación con la teoría de números
Se pueden encontrar muchas propiedades fascinantes de los polinomios cuando, gracias a las operaciones básicas que se pueden realizar sobre dos polinomios y la estructura de anillo conmutativa subyacente del conjunto en el que viven, se intenta aplicar razonamientos similares a los conocidos de la teoría de números.
Para ver esto, primero es necesario introducir dos conceptos: la noción de raíz de un polinomio y la de divisibilidad por pares de polinomios.
Si uno considera un polinomio de una sola variable X en un campo K (típicamente o ), y con coeficientes en ese campo, una raíz de es un elemento de K tal que
El segundo concepto, divisibilidad de polinomios, permite ver una primera analogía con la teoría de números: un polinomio se dice que divide otro polinomio cuando este último puede escribirse como
siendo C TAMBIÉN un polinomio. Esta definición es similar a la divisibilidad de números enteros y al hecho de que divide también se denota .
La relación entre ambos conceptos anteriores surge al notar la siguiente propiedad: es una raíz de si y solo si . Mientras que una inclusión lógica ("si") es obvia, la otra ("sólo si") se basa en un concepto más elaborado, la división euclidiana de polinomios , que recuerda de nuevo con fuerza la división euclidiana de números enteros.
De esto se deduce que se pueden definir polinomios primos , como polinomios que no pueden ser divididos por ningún otro polinomio excepto por 1 y ellos mismos (hasta un factor constante general) - aquí nuevamente se manifiesta lo análogo con enteros primos, y permite que algunos de los Las principales definiciones y teoremas relacionados con los números primos y la teoría de números tienen su contraparte en el álgebra polinomial. El resultado más importante es el teorema fundamental del álgebra , que permite la factorización de cualquier polinomio como producto de los primos. Vale la pena mencionar también la identidad de Bézout en el contexto de polinomios. Establece que dos polinomios dados P y Q tienen como máximo común divisor (MCD) un tercer polinomio D (D es entonces único como MCD de P y Q hasta un factor constante finito), si y solo si existen polinomios U y V tal que
- .
Ver también
Referencias
- Stallings, William; : "Criptografía y seguridad de la red: principios y práctica", páginas 121-126. Prentice Hall, 1999.
enlaces externos
- JA Beachy y WD Blair; : " Polinomios ", de "Álgebra abstracta", 2ª edición, 1996.