Representación inducida
En la teoría de grupos , la representación inducida es una representación de un grupo , G , que se construye utilizando una representación conocida de un subgrupo H . Dada una representación de H , la representación inducida es, en cierto sentido, la representación "más general" de G que extiende la dada. Dado que a menudo es más fácil encontrar representaciones del grupo H más pequeño que de G , la operación de formar representaciones inducidas es una herramienta importante para construir nuevas representaciones .
Las representaciones inducidas fueron definidas inicialmente por Frobenius , para representaciones lineales de grupos finitos . La idea no se limita de ninguna manera al caso de grupos finitos, pero la teoría en ese caso se comporta particularmente bien.
Deje que G sea un grupo finito y H cualquier subgrupo de G . Además dejar ( π , V ) ser una representación de H . Deje que n = [ G : H ] sea el índice de H en G y dejar que g 1 , ..., g n sea un conjunto completo de representantes en G de las clases laterales izquierda en G / H . La representación inducida IndG
H Se puede pensar que π actúa sobre el siguiente espacio:
Aquí cada g i V es un isomorfo copia del espacio vectorial V cuyos elementos están escritos como g i V con v ∈ V . Para cada g en G y cada g i hay una h i en H y j ( i ) en {1, ..., n } tal que g g i = g j (i) h i . (Esta es solo otra forma de decir que g 1, ..., g n es un conjunto completo de representantes.) A través de la representación inducida, G actúa sobre W de la siguiente manera:
donde para cada i .
Alternativamente, se pueden construir representaciones inducidas usando el producto tensorial : cualquier K- representación lineal del grupo H puede verse como un módulo V sobre el anillo de grupo K [ H ]. Entonces podemos definir
