En matemáticas, las variedades inerciales se ocupan del comportamiento a largo plazo de las soluciones de los sistemas dinámicos disipativos . Las variedades inerciales son variedades invariantes , lisas y de dimensión finita que contienen el atractor global y atraen todas las soluciones de manera exponencialmente rápida. Dado que una variedad inercial es de dimensión finita incluso si el sistema original es de dimensión infinita, y debido a que la mayor parte de la dinámica del sistema tiene lugar en la variedad inercial, el estudio de la dinámica en una variedad inercial produce una simplificación considerable en el estudio de la variedad inercial. dinámica del sistema original. [1]
En muchas aplicaciones físicas, las variedades inerciales expresan una ley de interacción entre las estructuras de longitud de onda pequeña y grande. Algunos dicen que las longitudes de onda pequeñas están esclavizadas por las grandes (por ejemplo, la sinergia ). Las variedades inerciales también pueden aparecer como variedades lentas comunes en meteorología, o como la variedad central en cualquier bifurcación . Computacionalmente, los esquemas numéricos para ecuaciones diferenciales parciales buscan capturar la dinámica a largo plazo y, por lo tanto, tales esquemas numéricos forman una variedad inercial aproximada.
Ejemplo introductorio
Considere el sistema dinámico en solo dos variables y y con parámetro : [2]
- Posee la variedad inercial unidimensional de (una parábola).
- Esta variedad es invariante bajo la dinámica porque en la variedad
- que es lo mismo que
- El colector atrae todas las trayectorias en algún dominio finito alrededor del origen porque cerca del origen (aunque la definición estricta a continuación requiere la atracción de todas las condiciones iniciales).
Por lo tanto, el comportamiento a largo plazo del sistema dinámico bidimensional original viene dado por la dinámica unidimensional 'más simple' en la variedad inercial. , a saber .
Definición
Dejar denotar una solución de un sistema dinámico. La solución puede ser un vector en evolución en o puede ser una función en evolución en un espacio de Banach de dimensión infinita .
En muchos casos de interés la evolución de se determina como la solución de una ecuación diferencial en , decir con valor inicial . En cualquier caso, asumimos que la solución del sistema dinámico se puede escribir en términos de un operador de semigrupo o matriz de transición de estado , tal que para todos los tiempos y todos los valores iniciales . En algunas situaciones, podríamos considerar solo valores discretos de tiempo como en la dinámica de un mapa.
Una variedad inercial [1] para un semigrupo dinámico es un colector suave tal que
- es de dimensión finita,
- para todos los tiempos ,
- atrae todas las soluciones de forma exponencialmente rápida, es decir, para cada valor inicial existen constantes tal que .
La restricción de la ecuación diferencial al colector de inercia es, por tanto, un sistema de dimensión finita bien definido llamado sistema inercial . [1] Sutilmente, existe una diferencia entre que una variedad sea atractiva y las soluciones en la variedad sean atractivas. No obstante, en condiciones apropiadas, el sistema inercial posee la denominada completitud asintótica : [3] es decir, cada solución de la ecuación diferencial tiene una solución complementaria que se encuentra en y producir el mismo comportamiento durante mucho tiempo; en matemáticas, para todos existe y posiblemente un cambio de tiempo tal que como .
Los investigadores en la década de 2000 generalizaron tales variedades inerciales a sistemas dinámicos estocásticos (no autónomos) y / o dependientes del tiempo (por ejemplo, [4] [5] )
Existencia
Los resultados de existencia que se han probado abordan variedades inerciales que se pueden expresar como un gráfico. [1] La ecuación diferencial gobernante se reescribe más específicamente en la forma para operador cerrado autoadjunto ilimitado con dominio y operador no lineal . Típicamente, la teoría espectral elemental da una base ortonormal de que consta de vectores propios : , , para valores propios ordenados .
Para un número dado de modos, denota la proyección de en el espacio atravesado por , y denota la proyección ortogonal en el espacio atravesado por . Buscamos una variedad inercial expresada como la gráfica . Para que exista este gráfico, el requisito más restrictivo es la condición de brecha espectral [1] donde la constante depende del sistema. Esta condición de brecha espectral requiere que el espectro de debe contener grandes lagunas para garantizar su existencia.
Colectores inerciales aproximados
Se proponen varios métodos para construir aproximaciones a variedades inerciales, [1] incluidas las denominadas variedades intrínsecas de baja dimensión . [6] [7]
La forma más popular de aproximar se deriva de la existencia de un gráfico. Definir el variables lentas , y las variables rápidas 'infinitas' . Luego proyecta la ecuación diferencial en ambos y para obtener el sistema acoplado y .
Para trayectorias en el gráfico de una variedad inercial , la variable rapida . Diferenciar y usar la forma del sistema acoplado da la ecuación diferencial para el gráfico:
Esta ecuación diferencial típicamente se resuelve aproximadamente en una expansión asintótica en 'pequeño' para dar un modelo múltiple invariante, [8] o un método de Galerkin no lineal, [9] los cuales usan una base global mientras que la llamada discretización holística usa una base local. [10] Estos enfoques para la aproximación de variedades inerciales están muy estrechamente relacionados con la aproximación de variedades centrales para las que existe un servicio web para construir aproximaciones para la entrada de sistemas por parte de un usuario. [11]
Ver también
Referencias
- ^ a b c d e f R. Temam. Colectores de inercia. Inteligencia matemática , 12: 68–74, 1990
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- ^ "Construir colectores centrales de ecuaciones diferenciales ordinarias o de retardo (autónomas)" .