En matemáticas , la variedad lenta de un punto de equilibrio de un sistema dinámico ocurre como el ejemplo más común de una variedad central . Uno de los principales métodos para simplificar los sistemas dinámicos es reducir la dimensión del sistema a la de la variedad lenta; la teoría de la variedad central justifica rigurosamente el modelado. [1] [2] Por ejemplo, algunos modelos globales y regionales de la atmósfera o los océanos resuelven la llamada dinámica de flujo cuasi geostrófico en la variedad lenta de la dinámica atmósfera / oceánica, [3] y, por lo tanto, es crucial para pronosticar con amodelo climático .
Definición
Considere el sistema dinámico
para un vector de estado en evolución y con punto de equilibrio . Entonces la linealización del sistema en el punto de equilibrio es
La matriz define cuatro subespacios invariantes caracterizados por los valores propios de la matriz: como se describe en la entrada para la variedad central, tres de los subespacios son los subespacios estable, inestable y central correspondientes al intervalo de los autovectores con autovaloresque tienen parte real negativa, positiva y cero, respectivamente; el cuarto subespacio es el subespacio lento dado por el intervalo de los autovectores y autovectores generalizados , correspondientes al autovalorprecisamente. El subespacio lento es un subespacio del subespacio central, o idéntico a él, o posiblemente vacío.
En consecuencia, el sistema no lineal tiene variedades invariantes , hechas de trayectorias del sistema no lineal, correspondientes a cada uno de estos subespacios invariantes. Existe una multiplicidad invariante tangente al subespacio lento y con la misma dimensión; este colector es el colector lento .
Las variedades estocásticas lentas también existen para sistemas dinámicos ruidosos ( ecuación diferencial estocástica ), al igual que las variedades de centro estocástico, estables e inestables. [4] Tales variedades lentas estocásticas son igualmente útiles en el modelado de dinámicas estocásticas emergentes, pero hay muchas cuestiones fascinantes que resolver, como la historia y futuras integrales dependientes del ruido. [5] [6]
Ejemplos de
Caso simple con dos variables
El sistema acoplado en dos variables y
tiene el colector lento exacto en el que está la evolución . Aparte de los transitorios que decaen exponencialmente, esta variedad lenta y su evolución captura todas las soluciones que se encuentran en la vecindad del origen. [7] El vecindario de atracción es, aproximadamente, al menos la mitad del espacio.
Dinámica lenta entre ondas rápidas
Edward Norton Lorenz introdujo el siguiente sistema dinámico de cinco ecuaciones en cinco variables para explorar la noción de una variedad lenta de flujo cuasi- geostrófico [8]
Linealizado alrededor del origen, el valor propio cero tiene multiplicidad tres, y hay un par conjugado complejo de valores propios, . Por tanto, existe una variedad lenta tridimensional (rodeada de ondas 'rápidas' en el y variables). ¡Lorenz argumentó más tarde que no existía una variedad lenta! [9] Pero los argumentos de forma normal [10] sugieren que hay un sistema dinámico que está exponencialmente cercano al sistema de Lorenz para el cual hay una buena variedad lenta.
Elimina infinidad de variables
En el modelado, nuestro objetivo es simplificar enormemente. Este ejemplo utiliza una variedad lenta para simplificar la dinámica de "dimensión infinita" de una ecuación diferencial parcial a un modelo de una ecuación diferencial ordinaria . Considere un campo experimentando la difusión no lineal
con condiciones de frontera de Robin
Parametrizar las condiciones de contorno mediante nos permite cubrir el caso de condición de contorno de Neumann aislante, el caso de la condición de límite de Dirichlet, y todos los casos intermedios.
Ahora, un truco maravilloso, muy utilizado en la exploración de la dinámica con la teoría de la bifurcación . Desde parámetro es constante, adjunta a la ecuación diferencial trivialmente verdadera
Luego, en el espacio de estado extendido del campo y parámetro en evolución, , existe una infinidad de equilibrios, no solo un equilibrio, con (aislante) y constante, decir . Sin entrar en detalles, sobre todos y cada uno de los equilibrios la difusión linealizada tiene dos valores propios cero y para todos los demás son negativos (menos de ). Así, la dinámica bidimensional en las variedades lentas emerge (ver emergencia ) de la difusión no lineal sin importar cuán complicadas sean las condiciones iniciales.
Aquí se puede verificar directamente que el colector lento es precisamente el campo donde amplitud evoluciona de acuerdo a
Es decir, después de los transitorios iniciales que por difusión de estructuras internas lisas, el comportamiento emergente es uno de decaimiento relativamente lento de la amplitud () a una velocidad controlada por el tipo de condición de contorno (constante ).
Observe que este modelo de variedad lenta es global en ya que cada equilibrio está necesariamente en el subespacio lento de los demás equilibrios, pero es solo local en el parámetro . Todavía no podemos estar seguros de cuán grande puede tomarse, pero la teoría nos asegura que los resultados son válidos para algún parámetro finito .
Quizás la variedad lenta estocástica no trivial más simple
El modelado estocástico es mucho más complicado; este ejemplo ilustra solo una de esas complicaciones. Considere para un pequeño parámetrolas dos dinámicas variables de este sistema lineal forzadas con ruido del paseo aleatorio :
Uno podría simplemente notar que el proceso de Ornstein-Uhlenbeck es formalmente la historia integral
y luego afirmar que es simplemente la integral de esta integral de historia. Sin embargo, esta solución entonces contiene inapropiadamente integrales de tiempo rápido, debido a la en el integrando, en un modelo supuestamente a largo plazo.
Alternativamente, una transformación de coordenadas estocásticas extrae un modelo de sonido para la dinámica a largo plazo. Cambiar variables a dónde
entonces las nuevas variables evolucionan de acuerdo a la simple
En estas nuevas coordenadas deducimos fácilmente exponencialmente rápido, dejando experimentando una caminata aleatoria para ser el modelo a largo plazo de la dinámica estocástica en la variedad lenta estocástica obtenida estableciendo.
Un servicio web construye variedades tan lentas en dimensiones finitas, tanto deterministas como estocásticas. [11]
Ver también
Referencias
- ^ J. Carr, Aplicaciones de la teoría del colector central , Matemáticas aplicadas. Sci. 35 , 1981, Springer-Verlag
- ^ YA Kuznetsov, Elementos de la teoría de la bifurcación aplicada , Ciencias matemáticas aplicadas 112 , 1995, Springer-Verlag
- ^ R. Camassa, Sobre la geometría de un colector lento atmosférico, Physica D , 84 : 357–397, 1995.
- ^ Ludwig Arnold, Sistemas dinámicos aleatorios , Monografías de Springer en matemáticas, 2003.
- ^ AJ Roberts, La forma normal transforma los modos lento y rápido separados en sistemas dinámicos estocásticos, Physica A 387 : 12–38, 2008.
- ^ Ludwig Arnold y Peter Imkeller, Formas normales para ecuaciones diferenciales estocásticas, Probab. Teoría Relat. Fields , 110 : 559–588, 1998.
- ^ AJ Roberts, Ejemplos simples de la derivación de ecuaciones de amplitud para sistemas de ecuaciones que poseen bifurcaciones, J. Austral. Matemáticas. Soc. B , 27 , 48–65, 1985.
- ^ EN Lorenz, Sobre la existencia de una variedad lenta, Journal of the Atmospheric Sciences 43 : 1547-1557, 1986.
- ^ E. Lorenz y Krishnamurty, Sobre la no existencia de una variedad lenta, J. Atmos. Sci. 44 : 2940-2950, 1987.
- ^ James Murdock, formas normales y desarrollos para sistemas dinámicos locales, Springer Monographs in Mathematics, 2003, Springer
- ^ AJ Roberts, forma normal de ecuaciones diferenciales multiescala estocásticas o deterministas , http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/sdenf.html , 2009.