Cuasi-categoría
En matemáticas, más específicamente en teoría de categorías , una cuasicategoría (también llamada cuasicategoría , complejo de Kan débil, complejo de Kan interno , categoría infinita , ∞-categoría , complejo de Boardman , quagory ) es una generalización de la noción de categoría . El estudio de tales generalizaciones se conoce como teoría de categorías superiores .
Las cuasicategorías fueron introducidas por Boardman y Vogt (1973) . André Joyal ha avanzado mucho en el estudio de las cuasicategorías mostrando que la mayor parte de la teoría de categorías básica habitual y algunas de las nociones y teoremas avanzados tienen sus análogos para las cuasicategorías. Jacob Lurie ( 2009 ) ha expuesto un elaborado tratado de la teoría de las cuasicategorías .
Las cuasi-categorías son ciertos conjuntos simpliciales . Al igual que las categorías ordinarias, contienen objetos (los 0-simples del conjunto simplicial) y morfismos entre estos objetos (1-simples). Pero a diferencia de las categorías, la composición de dos morfismos no necesita definirse de manera única. Todos los morfismos que pueden servir como composición de dos morfismos dados están relacionados entre sí por morfismos invertibles de orden superior (2-simples considerados como "homotopías"). Estos morfismos de orden superior también pueden estar compuestos, pero nuevamente la composición está bien definida solo hasta morfismos invertibles de orden aún superior, etc.
La idea de la teoría de categorías superiores (al menos, la teoría de categorías superiores cuando los morfismos superiores son invertibles) es que, a diferencia de la noción estándar de categoría, debe haber un espacio de mapeo (en lugar de un conjunto de mapeo) entre dos objetos. Esto sugiere que una categoría superior debería ser simplemente una categoría enriquecida topológicamente . Sin embargo, el modelo de cuasicategorías se adapta mejor a las aplicaciones que el de categorías enriquecidas topológicamente, aunque Lurie ha demostrado que los dos tienen estructuras de modelo natural que son equivalentes de Quillen .
Por definición, una cuasi-categoría C es un conjunto simplicial que satisface las condiciones internas de Kan (también llamada condición de Kan débil): cada cuerno interno en C , es decir, un mapa de conjuntos simpliciales donde , tiene un relleno, es decir, una extensión a un mapa _ (Consulte Kan fibration#Definition para obtener una definición de los conjuntos simpliciales y .)
![\Lambda ^{k}[n]\to C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459bbf1a04d25164696bb081573adae1090a77ba)
![\Delta [n]\a C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436ab17ec30b767de2938c6880d368864205efbc)
![\Delta [n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5edca6173a58dbc196e88d2f36e7160651999d50)
![\Lambda ^{k}[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acea7f46037b2e618995baba65e52a4155b16a34)
La idea es que se supone que los 2 simples representan triángulos conmutativos (al menos hasta la homotopía). Un mapa representa un par componible. Así, en una cuasi-categoría, no se puede definir una ley de composición sobre morfismos, ya que se pueden elegir muchas formas de componer mapas.
![\Delta [2]\a C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5585eec74e7d8ce579af439b665042000b5f97a0)
![\Lambda ^{1}[2]\a C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f0b7ec88a5018546a33ae8eff552f4e22a8c80)