Cuasi-categoría
En matemáticas, más específicamente la teoría de categorías , una quasicategory (también llamado quasicategory , débil Kan complejo , interior Kan complejo , categoría infinito , ∞-categoría , Boardman complejo , quategory ) es una generalización de la noción de una categoría . El estudio de tales generalizaciones se conoce como teoría de categorías superiores .
Boardman y Vogt (1973) introdujeron las cuasi-categorías . André Joyal ha avanzado mucho en el estudio de las cuasi-categorías, mostrando que la mayoría de la teoría de categorías básica habitual y algunas de las nociones y teoremas avanzados tienen sus análogos para las cuasi-categorías. Jacob Lurie ( 2009 ) ha expuesto un elaborado tratado de la teoría de las cuasi-categorías .
Las cuasi-categorías son ciertos conjuntos simples . Al igual que las categorías ordinarias, contienen objetos (los 0-simples del conjunto simplicial) y morfismos entre estos objetos (1-simples). Pero a diferencia de las categorías, la composición de dos morfismos no necesita definirse de forma única. Todos los morfismos que pueden servir como composición de dos morfismos dados están relacionados entre sí por morfismos invertibles de orden superior (2-simplices considerados como "homotopías"). Estos morfismos de orden superior también se pueden componer, pero de nuevo la composición está bien definida solo hasta morfismos invertibles de orden aún superior, etc.
La idea de la teoría de categorías superiores (al menos, la teoría de categorías superiores cuando los morfismos superiores son invertibles) es que, a diferencia de la noción estándar de una categoría, debería haber un espacio de mapeo (en lugar de un conjunto de mapeo) entre dos objetos. Esto sugiere que una categoría superior debería ser simplemente una categoría enriquecida topológicamente . Sin embargo, el modelo de cuasi-categorías es más adecuado para aplicaciones que el de categorías enriquecidas topológicamente, aunque Lurie ha demostrado que los dos tienen estructuras de modelo natural que son equivalentes de Quillen .
Por definición, una cuasi-categoría C es un conjunto simple que satisface las condiciones internas de Kan (también llamada condición de Kan débil): cada cuerno interno en C , es decir, un mapa de conjuntos simples donde , tiene un relleno, es decir, una extensión a un mapear . (Consulte Kan fibration # Definition para obtener una definición de los conjuntos simpliciales y .)
![\ Lambda ^ {k} [n] \ to C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459bbf1a04d25164696bb081573adae1090a77ba)
![\ Delta [n] \ a C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436ab17ec30b767de2938c6880d368864205efbc)
![\ Delta [n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5edca6173a58dbc196e88d2f36e7160651999d50)
![\ Lambda ^ {k} [n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acea7f46037b2e618995baba65e52a4155b16a34)
La idea es que se supone que los 2-simples representan triángulos conmutativos (al menos hasta la homotopía). Un mapa representa un par componible. Por tanto, en una cuasicategoría, no se puede definir una ley de composición sobre morfismos, ya que se pueden elegir muchas formas de componer mapas.
![\ Delta [2] \ a C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5585eec74e7d8ce579af439b665042000b5f97a0)
![\ Lambda ^ {1} [2] \ a C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f0b7ec88a5018546a33ae8eff552f4e22a8c80)