Derivado

En matemáticas , la derivada de una función de una variable real mide la sensibilidad al cambio del valor de la función (valor de salida) con respecto a un cambio en su argumento (valor de entrada). Las derivadas son una herramienta fundamental del cálculo . Por ejemplo, la derivada de la posición de un objeto en movimiento con respecto al tiempo es la velocidad del objeto : mide qué tan rápido cambia la posición del objeto cuando el tiempo avanza.

La derivada de una función de una sola variable en un valor de entrada elegido, cuando existe, es la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función en ese punto. La línea tangente es la mejor aproximación lineal de la función cerca de ese valor de entrada. Por esta razón, la derivada a menudo se describe como la "tasa de cambio instantánea", la relación entre el cambio instantáneo en la variable dependiente y el de la variable independiente.

Las derivadas se pueden generalizar a funciones de varias variables reales . En esta generalización, la derivada se reinterpreta como una transformación lineal cuya gráfica es (después de una traducción adecuada) la mejor aproximación lineal a la gráfica de la función original. La matriz jacobiana es la matriz que representa esta transformación lineal con respecto a la base dada por la elección de las variables independientes y dependientes. Se puede calcular en términos de las derivadas parciales con respecto a las variables independientes. Para una función de valor real de varias variables, la matriz jacobiana se reduce al vector gradiente .

El proceso de encontrar una derivada se llama diferenciación . El proceso inverso se llama antidiferenciación . El teorema fundamental del cálculo relaciona la antidiferenciación con la integración . La diferenciación y la integración constituyen las dos operaciones fundamentales en el cálculo de una sola variable. ^{[Nota 1]}

Una función de variable real y = f ( x ) es diferenciable en un punto a de su dominio , si su dominio contiene un intervalo abierto I que contiene a , y el límite

existe Esto significa que, para cada número real positivo (incluso muy pequeño), existe un número real positivo tal que, para cada h tal que y entonces está definido, y ${\ estilo de visualización \ varepsilon}$${\ estilo de visualización \ delta}$${\ estilo de visualización | h | < \ delta }$${\displaystyle h\neq 0}$${\ estilo de visualización f (a + h)}$

La gráfica de una función , dibujada en negro, y una recta tangente a esa gráfica, dibujada en rojo. La pendiente de la recta tangente es igual a la derivada de la función en el punto marcado.

Pendiente de una función lineal:${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Tasa de cambio como valor límite

Figura 2. La secante a la curva y = f ( x ) determinada por los puntos ( x , f ( x )) y ( x + h , f ( x + h ))

Figura 3. La recta tangente como límite de secantes

Figura 4. Ilustración animada: la recta tangente (derivada) como límite de secantes

Una secante se aproxima a una tangente cuando .${\ estilo de visualización \ Delta x \ a 0}$

La función cuadrada

Esta función no tiene derivada en el punto marcado, ya que allí la función no es continua (en concreto, tiene una discontinuidad de salto ).

La función de valor absoluto es continua, pero no es diferenciable en x = 0 ya que las pendientes de la tangente no se aproximan al mismo valor por la izquierda que por la derecha.

La derivada en diferentes puntos de una función diferenciable. En este caso, la derivada es igual a:${\displaystyle \sin \left(x^{2}\right)+2x^{2}\cos \left(x^{2}\right)}$