En cálculo, la integral de la función secante se puede evaluar usando una variedad de métodos y existen múltiples formas de expresar la antiderivada, todas las cuales pueden demostrarse como equivalentes a través de identidades trigonométricas ,
Esta fórmula es útil para evaluar varias integrales trigonométricas. En particular, se puede utilizar para evaluar la integral de la secante al cubo , que, aunque aparentemente especial, aparece con bastante frecuencia en las aplicaciones. [1]
Formas trigonométricas
El segundo de estos sigue multiplicando primero la parte superior e inferior de la fracción interior por . Esto daen el denominador y el resultado sigue moviendo el factor de 1/2 al logaritmo como una raíz cuadrada. Dejando de lado la constante de integración por ahora,
La tercera forma sigue reemplazando por y expandir usando las identidades para. También se puede obtener directamente mediante las siguientes sustituciones:
La solución convencional para la ordenada de proyección de Mercator puede escribirse sin los signos de módulo, ya que la latitud entre mentiras y ,
Formas hiperbólicas
Dejar
Por lo tanto,
La integral de la función secante fue uno de los "problemas abiertos pendientes de mediados del siglo XVII", resuelto en 1668 por James Gregory . [2] Aplicó su resultado a un problema relacionado con las tablas náuticas. [1] En 1599, Edward Wright evaluó la integral mediante métodos numéricos , lo que hoy llamaríamos sumas de Riemann . [3] Quería la solución a los efectos de la cartografía , específicamente para construir una proyección Mercator precisa . [2] En la década de 1640, Henry Bond, profesor de navegación, agrimensura y otros temas matemáticos, comparó la tabla de valores de Wright calculada numéricamente de la integral de la secante con una tabla de logaritmos de la función tangente y, en consecuencia, conjeturó que [ 2]
Esta conjetura se hizo ampliamente conocida, y en 1665 Isaac Newton se dio cuenta. [4] [5]
Por una sustitución estándar (enfoque de Gregory)
Un método estándar para evaluar la integral secante presentado en varias referencias implica multiplicar el numerador y el denominador por y luego sustituyendo lo siguiente a la expresión resultante: y . [6] [7] Esta sustitución se puede obtener a partir de las derivadas de la secante y la tangente sumadas, que tienen la secante como factor común. [8]
Empezando con
agregarlos da
Por tanto, la derivada de la suma es igual a la suma multiplicada por . Esto permite multiplicar por en el numerador y denominador y realizando las siguientes sustituciones: y .
La integral se evalúa de la siguiente manera:
como se afirma. Esta fue la fórmula descubierta por James Gregory. [1]
Por fracciones parciales y una sustitución (enfoque de Barrow)
Aunque Gregory probó la conjetura en 1668 en sus Exercitationes Geometricae , la prueba se presentó en una forma que hace que sea casi imposible de comprender para los lectores modernos; Isaac Barrow , en sus Conferencias Geométricas de 1670, [9] dio la primera prueba "inteligible", aunque incluso eso estaba "expresado en el idioma geométrico de la época". [2] La prueba de Barrow del resultado fue el primer uso de fracciones parciales en la integración. [2] Adaptada a la notación moderna, la demostración de Barrow comenzó de la siguiente manera:
Sustituyendo por reduce la integral a
Por lo tanto,
como se esperaba.
Por la sustitución de Weierstrass
Estándar
Las fórmulas para la sustitución de Weierstrass son las siguientes. Dejar, dónde . Entonces [10]
Por eso,
por las fórmulas del doble ángulo. En cuanto a la integral de la función secante,
como antes.
No estándar
La integral también se puede derivar utilizando una versión algo no estándar de la sustitución de Weierstrass, que es más simple en el caso de esta integral en particular, publicada en 2013, [11] es la siguiente:
Por dos sustituciones sucesivas
La integral también se puede resolver manipulando el integrando y sustituyendo dos veces. Usando la definición, la integral se puede reescribir como
Usando la identidad , el integrando se puede escribir como
Sustituyendo por reduce la integral a
La integral reducida se puede evaluar sustituyendo por y usando la identidad .
La integral ahora se reduce a una integral simple y la sustitución inversa da
que es una de las formas hiperbólicas de la integral.
Se puede utilizar una estrategia similar para integrar las funciones cosecante, secante hiperbólica y cosecante hiperbólica.
La integral de la función secante define la función de Lambert, que es la inversa de la función de Gudermann :
Esto se encuentra en la teoría de las proyecciones de mapas: la proyección de Mercator de un punto con longitud θ y latitud φ puede escribirse [12] como: