En álgebra , la descomposición de la fracción parcial o la expansión de la fracción parcial de una fracción racional (es decir, una fracción tal que el numerador y el denominador son polinomios ) es una operación que consiste en expresar la fracción como una suma de un polinomio (posiblemente cero ) y una o varias fracciones con un denominador más simple. [1]
En símbolos, la descomposición en fracción parcial de una fracción racional de la formadonde f y g son polinomios, es su expresión como
donde p ( x ) es un polinomio y, para cada j , el denominador g j ( x ) es una potencia de un polinomio irreducible (que no se puede factorizar en polinomios de grados positivos), y el numerador f j ( x ) es un polinomio de grado menor que el grado de este polinomio irreducible.
Queda por demostrar que Al reducir al mismo denominador la última suma de fracciones, se obtiene y por lo tanto
Potencias en el denominador
Usando la descomposición anterior de forma inductiva, se obtienen fracciones de la forma con donde G es un polinomio irreducible . Si k > 1 , se puede descomponer aún más, usando que un polinomio irreducible es un polinomio libre de cuadrados , es decir,es un máximo común divisor del polinomio y su derivada . Sies la derivada de G , la identidad de Bézout proporciona polinomios C y D tales que y por lo tanto La división euclidiana de por da polinomios y tal que y Configuración uno obtiene
con
Iterando este proceso con en lugar de conduce eventualmente al siguiente teorema.
Declaración
Teorema - Vamos f y g sea no nulos polinomios sobre un campo K . Escribe g como un producto de potencias de distintos polinomios irreducibles:
Hay (únicas) polinomios b y un ij con deg un ij <° p i tal que
Si deg fg , entonces b = 0 .
La unicidad se puede demostrar de la siguiente manera. Sea d = max (1 + grados f , grados g ) . Todos juntos, b y a ij tienen d coeficientes. La forma de la descomposición define un mapa lineal de vectores de coeficientes a polinomios f de grado menor que d . La prueba de existencia significa que este mapa es sobreyectivo . Como los dos espacios vectoriales tienen la misma dimensión, el mapa también es inyectivo , lo que significa unicidad de la descomposición. Por cierto, esta prueba induce un algoritmo para calcular la descomposición mediante álgebra lineal .
Si K es un campo de números complejos , el teorema fundamental del álgebra implica que todo p i tiene grado uno y todos los numeradoresson constantes. Cuando K es el campo de números reales , algunos de los p i pueden ser cuadráticos, por lo que, en la descomposición de fracciones parciales, también pueden ocurrir cocientes de polinomios lineales por potencias de polinomios cuadráticos.
En el teorema anterior, uno puede reemplazar "polinomios irreducibles distintos" por " polinomios coprimos por pares que son coprimos con su derivada". Por ejemplo, p i pueden ser los factores de la factorización libre de cuadrados de g . Cuando K es el campo de los números racionales , como suele ser el caso en el álgebra computacional , esto permite reemplazar la factorización por el cálculo del máximo común divisor para calcular una descomposición de fracciones parciales.
Aplicación a la integración simbólica
Para el propósito de la integración simbólica , el resultado anterior puede refinarse en
Teorema - Vamos f y g sea no nulos polinomios sobre un campo K . Escriba g como un producto de potencias de polinomios coprimos por pares que no tienen raíz múltiple en un campo algebraicamente cerrado:
Hay polinomios (únicos) b y c ij con deg c ij >p i tales que
dónde denota la derivada de
Esto reduce el cálculo de la antiderivada de una función racional a la integración de la última suma, que se llama parte logarítmica , porque su antiderivada es una combinación lineal de logaritmos. De hecho, tenemos
Hay varios métodos para calcular la descomposición anterior. El que es más simple de describir es probablemente el llamado método de Hermite . Como el grado de c ij está limitado por el grado de p i , y el grado de b es la diferencia de los grados de f y g (si esta diferencia no es negativa; de lo contrario, b = 0), se pueden escribir estas incógnitas polinomios como polinomios con coeficientes desconocidos. Reduciendo los dos miembros de la fórmula anterior al mismo denominador y escribiendo que los coeficientes de cada potencia de x son los mismos en los dos numeradores, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales que se pueden resolver para obtener los valores deseados para los coeficientes desconocidos.
Procedimiento
Dados dos polinomios y , donde α i son constantes distintas y grados P < n , las fracciones parciales generalmente se obtienen suponiendo que
y resolver las constantes c i , por sustitución, igualando los coeficientes de términos que involucran las potencias de x , o de otra manera. (Esta es una variante del método de coeficientes indeterminados ).
Un cálculo más directo, que está fuertemente relacionado con la interpolación de Lagrange, consiste en escribir
dónde es la derivada del polinomio .
Este enfoque no tiene en cuenta varios otros casos, pero se puede modificar en consecuencia:
Si entonces es necesario realizar la división euclidiana de P por Q , usando división polinomial larga , dando P ( x ) = E ( x ) Q ( x ) + R ( x ) con grados R < n . Dividiendo por Q ( x ) esto da
y luego busque fracciones parciales para la fracción restante (que por definición satisface grados R >Q ).
Si Q ( x ) contiene factores que son irreducibles en el campo dado, entonces el numerador N ( x ) de cada fracción parcial con tal factor F ( x ) en el denominador debe buscarse como un polinomio con grados N >F , más que como una constante. Por ejemplo, tome la siguiente descomposición sobre R :
Suponga que Q ( x ) = ( x - α ) r S ( x ) y S ( α ) ≠ 0. Entonces Q ( x ) tiene un α cero de multiplicidad r , y en la descomposición de la fracción parcial , r de las fracciones parciales será involucran las potencias de ( x - α ). A modo de ilustración, tome S ( x ) = 1 para obtener la siguiente descomposición:
Ilustración
En una aplicación de ejemplo de este procedimiento, (3 x + 5) / (1 - 2 x ) 2 se puede descomponer en la forma
Borrar denominadores muestra que 3 x + 5 = A + B (1 - 2 x ) . Al expandir e igualar los coeficientes de potencias de x se obtiene
5 = A + B y 3 x = –2 Bx
Al resolver este sistema de ecuaciones lineales para A y B se obtiene A = 13/2 y B = –3/2 . Por eso,
Método de residuos
Sobre los números complejos, suponga que f ( x ) es una fracción racional propia y se puede descomponer en
Dejar
entonces, de acuerdo con la unicidad de la serie de Laurent , a ij es el coeficiente del término ( x - x i ) −1 en la expansión de Laurent de g ij ( x ) sobre el punto x i , es decir, su residuo
Esto viene dado directamente por la fórmula
o en el caso especial cuando x i es una raíz simple,
Cuándo
Sobre los reales
Las fracciones parciales se utilizan en el cálculo integral de variables reales para encontrar antiderivadas con valores reales de funciones racionales . La descomposición en fracciones parciales de funciones racionales reales también se usa para encontrar sus transformadas de Laplace inversa . Para aplicaciones de descomposición de fracciones parciales sobre los reales , consulte
Aplicación a la integración simbólica , arriba
Fracciones parciales en transformadas de Laplace
Resultado general
Sea f ( x ) cualquier función racional sobre los números reales . En otras palabras, suponga que existen funciones polinomiales reales p ( x ) yq ( x ) ≠ 0, tales que
Al dividir tanto el numerador como el denominador por el coeficiente principal de q ( x ), podemos suponer sin pérdida de generalidad que q ( x ) es mónico . Por el teorema fundamental del álgebra , podemos escribir
donde a 1 , ..., a m , b 1 , ..., b n , c 1 , ..., c n son números reales con b i 2 - 4 c i <0, y j 1 , .. ., j m , k 1 , ..., k n son números enteros positivos. Los términos ( x - a i ) son los factores lineales de q ( x ) que corresponden a raíces reales de q ( x ), y los términos ( x i 2 + b i x + c i ) son los factores cuadráticos irreductibles de q ( x ) que corresponden a pares de raíces conjugadas complejas de q ( x ).
Entonces, la descomposición de la fracción parcial de f ( x ) es la siguiente:
Aquí, P ( x ) es un polinomio (posiblemente cero), y A ir , B ir y C ir son constantes reales. Hay varias formas de encontrar las constantes.
El método más sencillo es multiplicar por el denominador común q ( x ). Entonces obtenemos una ecuación de polinomios cuyo lado izquierdo es simplemente p ( x ) y cuyo lado derecho tiene coeficientes que son expresiones lineales de las constantes A ir , B ir y C ir . Dado que dos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes correspondientes son iguales, podemos igualar los coeficientes de términos semejantes. De esta forma se obtiene un sistema de ecuaciones lineales que siempre tiene una solución única. Esta solución se puede encontrar utilizando cualquiera de los métodos estándar de álgebra lineal . También se puede encontrar con límites (ver Ejemplo 5 ).
Ejemplos de
Ejemplo 1
Aquí, el denominador se divide en dos factores lineales distintos:
entonces tenemos la descomposición de la fracción parcial
Multiplicar por el denominador del lado izquierdo nos da la identidad del polinomio
Sustituyendo x = −3 en esta ecuación da A = −1/4, y sustituyendo x = 1 da B = 1/4, de modo que
Ejemplo 2
Después de una división larga , tenemos
El factor x 2 - 4 x + 8 es irreducible sobre los reales, ya que su discriminante (−4) 2 - 4 × 8 = - 16 es negativo. Así, la descomposición de la fracción parcial sobre los reales tiene la forma
Multiplicando a través de por x 3 - 4 x 2 + 8 x , tenemos la identidad polinomio
Tomando x = 0, vemos que 16 = 8 A , entonces A = 2. Comparando los coeficientes x 2 , vemos que 4 = A + B = 2 + B , entonces B = 2. Comparando coeficientes lineales, vemos que - 8 = −4 A + C = −8 + C , entonces C = 0. En total,
La fracción se puede descomponer completamente usando números complejos . Según el teorema fundamental del álgebra, todo polinomio complejo de grado n tiene n raíces (complejas) (algunas de las cuales pueden repetirse). La segunda fracción se puede descomponer en:
Multiplicar por el denominador da:
Al igualar los coeficientes de x y los coeficientes constantes (con respecto a x ) de ambos lados de esta ecuación, se obtiene un sistema de dos ecuaciones lineales en D y E , cuya solución es
Así tenemos una descomposición completa:
También se pueden calcular directamente A , D y E con el método del residuo (ver también el ejemplo 4 a continuación).
Ejemplo 3
Este ejemplo ilustra casi todos los "trucos" que podríamos necesitar utilizar, salvo consultar un sistema de álgebra de computadora .
Después de una división larga y factorizar el denominador, tenemos
La descomposición de la fracción parcial toma la forma
Multiplicando por el denominador en el lado izquierdo tenemos la identidad polinomial
Ahora usamos diferentes valores de x para calcular los coeficientes:
Resolviendo esto tenemos:
Usando estos valores podemos escribir:
Comparamos los coeficientes de x 6 y x 5 en ambos lados y tenemos:
Por lo tanto:
lo que nos da B = 0. Por lo tanto, la descomposición de la fracción parcial está dada por:
Alternativamente, en lugar de expandirse, se pueden obtener otras dependencias lineales de los coeficientes calculando algunas derivadas en en la identidad polinomial anterior. (Con este fin, recuerde que la derivada en x = a de ( x - a ) m p ( x ) desaparece si m > 1 y es solo p ( a ) para m = 1.) Por ejemplo, la primera derivada en x = 1 da
eso es 8 = 4 B + 8 entonces B = 0.
Ejemplo 4 (método de residuos)
Por tanto, f ( z ) se puede descomponer en funciones racionales cuyos denominadores son z +1, z −1, z + i, z −i. Como cada término es de potencia uno, −1, 1, - i y i son polos simples.
Por lo tanto, los residuos asociados con cada polo, dados por
están
respectivamente, y
Ejemplo 5 (método de límite)
Los límites se pueden usar para encontrar una descomposición de fracciones parciales. [4] Considere el siguiente ejemplo:
Primero, factoriza el denominador que determina la descomposición:
Multiplicando todo por , y tomando el límite cuando , obtenemos
Por otro lado,
y por lo tanto:
Multiplicando por xy tomando el límite cuando, tenemos
y
Esto implica A + B = 0 y entonces.
Para x = 0 , obtenemos y por lo tanto .
Poniendo todo junto, obtenemos la descomposición
Ejemplo 6 (integral)
Supongamos que tenemos la integral indefinida :
Antes de realizar la descomposición, es obvio que debemos realizar la división larga polinomial y factorizar el denominador. Hacer esto resultaría en:
Sobre esto, ahora podemos realizar una descomposición de fracciones parciales.
entonces:
.
Al sustituir nuestros valores, en este caso, donde x = 1 para resolver B y x = -2 para resolver A, obtendremos:
Conectar todo esto nuevamente a nuestra integral nos permite encontrar la respuesta:
El papel del polinomio de Taylor
La descomposición en fracciones parciales de una función racional se puede relacionar con el teorema de Taylor de la siguiente manera. Dejar
ser polinomios reales o complejos suponga que
satisface
También defina
Entonces nosotros tenemos
si, y solo si, cada polinomio es el polinomio de Taylor de de orden en el punto :
El teorema de Taylor (en el caso real o complejo) proporciona una prueba de la existencia y unicidad de la descomposición de fracciones parciales y una caracterización de los coeficientes.
Bosquejo de la prueba
La descomposición de la fracción parcial anterior implica, para cada 1 ≤ i ≤ r , una expansión polinomial
entonces es el polinomio de Taylor de , debido a la unicidad de la expansión polinomial de orden , y por suposición .
Por el contrario, si el son los polinomios de Taylor, las expansiones anteriores en cada sostener, por lo tanto también tenemos
lo que implica que el polinomio es divisible por
Para también es divisible por , entonces
es divisible por . Desde
entonces tenemos
y encontramos la descomposición de la fracción parcial dividiendo por .
Fracciones de enteros
La idea de fracciones parciales se puede generalizar a otros dominios integrales , digamos el anillo de números enteros donde los números primos toman el papel de denominadores irreducibles. Por ejemplo:
Notas
^ Larson, Ron (2016). Álgebra y trigonometría . Aprendizaje Cengage. ISBN 9781337271172.
^ Horowitz, Ellis. " Algoritmos para la descomposición de fracciones parciales y la integración de funciones racionales ". Actas del segundo simposio ACM sobre manipulación simbólica y algebraica. ACM, 1971.
^Grosholz, Emily (2000). El crecimiento del conocimiento matemático . Publicadores académicos de Kluwer. pag. 179. ISBN 978-90-481-5391-6.
^Bluman, George W. (1984). Libro de problemas para el cálculo del primer año . Nueva York: Springer-Verlag. págs. 250-251.
Referencias
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enlaces externos
Weisstein, Eric W. "Descomposición de fracciones parciales" . MathWorld .
Blake, Sam. "Fracciones parciales paso a paso" .
Realiza descomposiciones de fracciones parciales con Scilab .