La integral de la secante al cubo es una integral indefinida frecuente y desafiante [1] de cálculo elemental :
Hay varias razones por las que esta antiderivada en particular merece una atención especial:
- La técnica utilizada para reducir integrales de potencias impares superiores de secante a inferiores está plenamente presente en este, el caso más simple. Los otros casos se realizan de la misma forma.
- La utilidad de las funciones hiperbólicas en la integración se puede demostrar en casos de potencias impares de secante (también se pueden incluir potencias de tangente).
- Esta es una de varias integrales que se suelen hacer en un curso de cálculo de primer año en el que la forma más natural de proceder consiste en integrar por partes y volver a la misma integral con la que se inició (otra es la integral del producto de una función exponencial con una función seno o coseno; otra más la integral de una potencia de la función seno o coseno).
- Esta integral se usa para evaluar cualquier integral de la forma
- dónde es una constante. En particular, aparece en los problemas de:
Integración por partes
Esta antiderivada se puede encontrar mediante integración por partes , como sigue: [2]
dónde
Luego
Siguiente agregar a ambos lados de la igualdad recién derivada: [a]
dado que la integral de la función secante es[2]
Finalmente, divide ambos lados por 2:
que iba a derivarse. [2]
Reducción a integral de una función racional
dónde , así que eso . Esto admite una descomposición por fracciones parciales :
Antidiferenciación término por término, uno obtiene
Funciones hiperbólicas
Integrales de la forma: puede reducirse utilizando la identidad pitagórica si es par o y ambos son extraños. Si es extraño y Incluso, las sustituciones hiperbólicas se pueden utilizar para reemplazar la integración anidada por partes con fórmulas de reducción de potencia hiperbólicas.
Tenga en cuenta que se sigue directamente de esta sustitución.
Así como la integración de las partes anteriores redujo la integral de la secante al cubo a la integral de la secante a la primera potencia, un proceso similar reduce la integral de las potencias impares superiores de la secante a las inferiores. Esta es la fórmula de reducción secante, que sigue la sintaxis:
Alternativamente:
Las potencias pares de las tangentes se pueden acomodar usando la expansión binomial para formar un polinomio impar de secante y usando estas fórmulas en el término más grande y combinando términos semejantes.