Sistema de partículas interactivas

Tipo de proceso estocástico

En la teoría de la probabilidad , un sistema de partículas interactuantes ( IPS ) es un proceso estocástico en algún espacio de configuración dado por un espacio de sitio, un gráfico infinito contable y un espacio de estado local, un espacio métrico compacto . Más precisamente, IPS son procesos de salto de Markov de tiempo continuo que describen el comportamiento colectivo de componentes que interactúan estocásticamente. IPS son el análogo de tiempo continuo de los autómatas celulares estocásticos .${\displaystyle (X(t))_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}$${\displaystyle \Omega =S^{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Entre los principales ejemplos se encuentran el modelo de votante , el proceso de contacto , el proceso de exclusión asimétrico simple (ASEP), la dinámica de Glauber y en particular el modelo estocástico de Ising .

Los IPS generalmente se definen a través de su generador de Markov, lo que da lugar a un proceso de Markov único que utiliza semigrupos de Markov y el teorema de Hille-Yosida . El generador nuevamente se da a través de las llamadas tasas de transición, donde hay un conjunto finito de sitios y con para todos . Las tasas describen tiempos de espera exponenciales del proceso para pasar de una configuración a otra . De manera más general, las tasas de transición se dan en forma de una medida finita en .${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,\xi )>0}$${\displaystyle \Lambda \subset G}$${\displaystyle \eta ,\xi \in \Omega }$${\displaystyle \eta _{i}=\xi _{i}}$${\displaystyle i\notin \Lambda }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )}$${\displaystyle S^{\Lambda }}$

El generador de un IPS tiene la siguiente forma. Primero, el dominio de es un subconjunto del espacio de "observables", es decir, el conjunto de funciones continuas con valor real en el espacio de configuración . Entonces, para cualquier observable en el dominio de , uno tiene${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle Lf(\eta )=\sum _{\Lambda }\int _{\xi :\xi _{\Lambda ^{c}}=\eta _{\Lambda ^{c}}}c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]}$.

Por ejemplo, para el estocástico modelo de Ising tenemos , , si por alguna y${\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle S=\{-1,+1\}}$${\displaystyle c_{\Lambda }=0}$${\displaystyle \Lambda \neq \{i\}}$${\displaystyle i\in G}$

${\displaystyle c_{i}(\eta ,\eta ^{i})=\exp[-\beta \sum _{j:|j-i|=1}\eta _{i}\eta _{j}]}$

donde es la configuración igual a excepto que se invierte en el sitio . es un nuevo parámetro que modela la temperatura inversa.${\displaystyle \eta ^{i}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle i}$${\displaystyle \beta }$

El modelo del votante

Artículo principal: modelo de votante

El modelo de votante (generalmente en tiempo continuo, pero también hay versiones discretas) es un proceso similar al proceso de contacto . En este proceso se toma para representar la actitud de un votante sobre un tema en particular. Los votantes reconsideran sus opiniones a veces distribuidas de acuerdo con variables aleatorias exponenciales independientes (esto da un proceso de Poisson localmente; tenga en cuenta que, en general, hay una cantidad infinita de votantes, por lo que no se puede usar un proceso de Poisson global). En momentos de reconsideración, un votante elige un vecino uniformemente entre todos los vecinos y toma la opinión de ese vecino. Se puede generalizar el proceso permitiendo que la selección de vecinos sea algo diferente al uniforme.${\displaystyle \eta (x)}$

Proceso de tiempo discreto

En el modelo de votante de tiempo discreto en una dimensión, representa el estado de la partícula en el tiempo . De manera informal, cada individuo está organizado en una línea y puede "ver" a otros individuos que están dentro de un radio . Si más de una cierta proporción de estas personas no están de acuerdo, entonces el individuo cambia su actitud; de lo contrario, la mantiene igual. Durrett y Steif (1993) y Steif (1994) muestran que para radios grandes existe un valor crítico tal que si la mayoría de los individuos nunca cambian, y en el límite, la mayoría de los sitios están de acuerdo. (Ambos resultados asumen que la probabilidad de es la mitad).${\displaystyle \xi _{t}(x):\mathbb {Z} \to \{0,1\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta _{c}}$${\displaystyle \theta >\theta _{c}}$${\displaystyle \theta \in (1/2,\theta _{c})}$${\displaystyle \xi _{0}(x)=1}$

Este proceso tiene una generalización natural a más dimensiones, algunos resultados para esto se discuten en Durrett y Steif (1993).

Proceso de tiempo continuo

El proceso de tiempo continuo es similar en el sentido de que imagina que cada individuo tiene una creencia a la vez y la cambia en función de las actitudes de sus vecinos. El proceso es descrito informalmente por Liggett (1985, 226), "Periódicamente (es decir, en tiempos exponenciales independientes), un individuo reevalúa su punto de vista de una manera bastante simple: elige un 'amigo' al azar con ciertas probabilidades y adopta su posición . " Holley y Liggett (1975) construyeron un modelo con esta interpretación .

Este proceso es equivalente a un proceso sugerido por primera vez por Clifford y Sudbury (1973) donde los animales están en conflicto por el territorio y están igualmente emparejados. Se selecciona un sitio para ser invadido por un vecino en un momento dado.

Referencias

• Clifford, Peter; Aidan Sudbury (1973). "Un modelo de conflicto espacial". Biometrika . 60 (3): 581–588. doi : 10.1093 / biomet / 60.3.581 .
• Durrett, Richard ; Jeffrey E. Steif (1993). "Resultados de fijación para sistemas electorales de umbral" . Los anales de la probabilidad . 21 (1): 232–247. doi : 10.1214 / aop / 1176989403 .
• Holley, Richard A .; Thomas M. Liggett (1975). "Teoremas ergódicos para sistemas infinitos que interactúan débilmente y el modelo del votante" . Los anales de la probabilidad . 3 (4): 643–663. doi : 10.1214 / aop / 1176996306 .
• Steif, Jeffrey E. (1994). "El autómata del votante de umbral en un punto crítico" . Los anales de la probabilidad . 22 (3): 1121-1139. doi : 10.1214 / aop / 1176988597 .
• Liggett, Thomas M. (1997). "Modelos estocásticos de sistemas interactivos" . Los anales de la probabilidad . Instituto de Estadística Matemática. 25 (1): 1–29. doi : 10.1214 / aop / 1024404276 . ISSN  0091-1798 .
• Liggett, Thomas M. (1985). Sistemas de partículas interactuantes . Nueva York: Springer Verlag. ISBN 0-387-96069-4.