Radio de convergencia

En matemáticas , el radio de convergencia de una serie de potencias es el radio del disco más grande en el centro de la serie en el que converge la serie . Es un número real no negativo o . Cuando es positiva, la serie de potencias converge absoluta y uniformemente en conjuntos compactos dentro del disco abierto de radio igual al radio de convergencia, y es la serie de Taylor de la función analítica${\ estilo de visualización \ infinito}$al que converge. En el caso de múltiples singularidades de una función (singularidades son aquellos valores del argumento para los cuales la función no está definida), el radio de convergencia es el más corto o mínimo de todas las distancias respectivas (que son todos números no negativos) calculados a partir de el centro del disco de convergencia a las respectivas singularidades de la función.

El radio de convergencia r es un número real no negativo o tal que la serie converge si${\ estilo de visualización \ infinito}$

En el límite, es decir, donde | z  -  un | = r , el comportamiento de la serie de potencias puede ser complicado y la serie puede converger para algunos valores de z y divergir para otros. El radio de convergencia es infinito si la serie converge para todos los números complejos z . ^[1]

Surgen dos casos. El primer caso es teórico: cuando conoce todos los coeficientes , toma ciertos límites y encuentra el radio de convergencia preciso. El segundo caso es práctico: cuando construyes una solución de serie de potencias de un problema difícil, por lo general solo conocerás un número finito de términos en una serie de potencias, desde un par de términos hasta cien términos. En este segundo caso, la extrapolación de un gráfico estima el radio de convergencia.${\ estilo de visualización c_ {n}}$

El radio de convergencia se puede encontrar aplicando la prueba de la raíz a los términos de la serie. La prueba raíz usa el número

"lim sup" denota el límite superior . La prueba de la raíz establece que la serie converge si C  < 1 y diverge si  C  > 1. De ello se deduce que la serie de potencias converge si la distancia de z al centro a es menor que

Gráficas de la función La línea verde continua es la asíntota en línea recta en la gráfica de Domb-Sykes, ^[2] gráfica (b), que intercepta el eje vertical en −2 y tiene una pendiente de +1. Por lo tanto, hay una singularidad en y, por lo tanto, el radio de convergencia es${\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon ^{3})}{\sqrt {1+2\varepsilon }}}.}$
${\ estilo de visualización \ varepsilon = -1/2}$${\ estilo de visualización r = 1/2.}$

Una gráfica de las funciones explicadas en el texto: Aproximaciones en azul, círculo de convergencia en blanco