En matemáticas, la convergencia compacta (o convergencia uniforme en conjuntos compactos ) es un tipo de convergencia que generaliza la idea de convergencia uniforme . Está asociado con la topología compacta-abierta .
Definición
Dejar ser un espacio topológico yser un espacio métrico . Una secuencia de funciones
- ,
se dice que converge de forma compacta como a alguna función si, para cada set compacto ,
uniformemente en como . Esto significa que para todos los compactos,
Ejemplos de
- Si y con sus topologías habituales, con , luego converge de forma compacta a la función constante con valor 0, pero no de manera uniforme.
- Si , y , luego converge puntualmente a la función que es cero en y uno en , pero la secuencia no converge de forma compacta.
- Una herramienta muy poderosa para mostrar la convergencia compacta es el teorema de Arzelà-Ascoli . Hay varias versiones de este teorema, en términos generales, establece que cada secuencia de mapas equicontinuos y uniformemente delimitados tiene una subsecuencia que converge de forma compacta a algún mapa continuo.
Propiedades
- Si uniformemente, entonces de forma compacta.
- Si es un espacio compacto y de forma compacta, entonces uniformemente.
- Si es localmente compacto , entonces de forma compacta si y solo si localmente de manera uniforme.
- Si es un espacio generado de forma compacta , de forma compacta, y cada es continuo , entonces es continuo.
Ver también
Referencias
- R. Remmert Teoría de funciones complejas (Springer 1991) p. 95