Prueba de raíz

Parte de una serie de artículos sobre
Cálculo
Teorema fundamental Regla integral de Leibniz Límites de funciones Continuidad Teorema del valor medio Teorema de rolle
Diferencial Definiciones Derivado  ( generalizaciones ) Diferencial infinitesimal de una función total Conceptos Notación de diferenciación Segunda derivada Diferenciación implícita Diferenciación logarítmica Tarifas relacionadas Teorema de Taylor Reglas e identidades Suma Producto Cadena Energía Cociente Regla de L'Hôpital Inverso General Leibniz La fórmula de Faà di Bruno
Integral Listas de integrales Transformada integral Definiciones Antiderivada Integral  ( inadecuado ) Integral de Riemann Integración de Lebesgue Integración de contorno Integral de funciones inversas Integración por Partes Discos Carcasas cilíndricas Sustitución  ( trigonométrica , Weierstrass , Euler ) Fórmula de Euler Fracciones parciales Cambio de orden Fórmulas de reducción Diferenciar bajo el signo integral Algoritmo de Risch
Serie Geométrico  ( aritmético-geométrico ) Armónico Alterno Energía Binomio Taylor Pruebas de convergencia Límite de suma (prueba temporal) Proporción Raíz Integral Comparación directa Límite de comparación Serie alternante Condensación de Cauchy Dirichlet Abel
Vector Degradado Divergencia Rizo Laplaciano Derivado direccional Identidades Teoremas Degradado Verduras Stokes ' Divergencia Stokes generalizado
Multivariable Formalismos Matriz Tensor Exterior Geométrico Definiciones Derivada parcial Integral múltiple Integral de línea Integral de superficie Integral de volumen Jacobiano arpillera
Especializado Fraccionario Malliavin Estocástico Variaciones
Diverso Precálculo Historia Glosario Lista de temas Abeja de integración
v t mi

En matemáticas , la prueba de la raíz es un criterio para la convergencia (una prueba de convergencia ) de una serie infinita . Depende de la cantidad

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

donde están los términos de la serie, y establece que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que uno, pero diverge si es mayor que uno. Es particularmente útil en conexión con series de potencia .${\displaystyle a_{n}}$

Explicación de la prueba de raíz

Diagrama de decisión para la prueba de raíz

La prueba de la raíz fue desarrollada primero por Augustin-Louis Cauchy, quien la publicó en su libro de texto Cours d'analyse (1821). ^[1] Por lo tanto, a veces se conoce como prueba de raíz de Cauchy o prueba radical de Cauchy . Para una serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

la prueba de raíz usa el número

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

donde "lim sup" denota el límite superior , posiblemente ∞ +. Tenga en cuenta que si

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

converge, entonces es igual a C y, en su lugar, puede usarse en la prueba de raíz.

La prueba raíz establece que:

• si C <1 entonces la serie converge absolutamente ,
• si C > 1 entonces la serie diverge ,
• si C = 1 y el límite se acerca estrictamente desde arriba, entonces la serie diverge,
• de lo contrario, la prueba no es concluyente (la serie puede divergir, converger absolutamente o converger condicionalmente ).

Hay algunas series para las que C = 1 y la serie converge, por ejemplo , y hay otras para las que C = 1 y la serie diverge, por ejemplo .${\displaystyle \textstyle \sum 1/{n^{2}}}$${\displaystyle \textstyle \sum 1/n}$

Aplicación a Power Series

Esta prueba se puede utilizar con una serie de potencias

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}}$

donde los coeficientes c _n y el centro p son números complejos y el argumento z es una variable compleja.

Los términos de esta serie vendrían entonces dados por a _n = c _n ( z - p ) ⁿ . Luego, se aplica la prueba de raíz a la a _n como se _indicó anteriormente. Tenga en cuenta que a veces una serie como esta se denomina serie de potencias "alrededor de p ", porque el radio de convergencia es el radio R del intervalo o disco más grande centrado en p, de modo que la serie convergerá para todos los puntos z estrictamente en el interior ( la convergencia en el límite del intervalo o disco generalmente debe comprobarse por separado). Un corolariode la prueba de la raíz aplicada a tal serie de potencias es el teorema de Cauchy-Hadamard : el radio de convergencia es exactamente teniendo cuidado de que realmente queremos decir ∞ si el denominador es 0.${\displaystyle 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

Prueba

La prueba de la convergencia de una serie Σ a _n es una aplicación de la prueba de comparación . Si para todo n ≥ N ( N algún número natural fijo ) tenemos entonces . Dado que la serie geométrica converge, también lo hace la prueba de comparación. Por tanto, Σ a _n converge absolutamente. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq k<1,}$${\displaystyle |a_{n}|\leq k^{n}<1}$ ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}}$${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|}$

Si para una cantidad infinita de n , entonces una _n no converge a 0, por lo tanto, la serie es divergente.${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}$

Prueba del corolario : Para una serie de potencias Σ a _n = Σ c _n ( z  -  p ) ⁿ , vemos por lo anterior que la serie converge si existe un N tal que para todo n ≥ N tenemos

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,}$

equivalente a

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1}$

para todo n ≥ N , lo que implica que para que la serie converja debemos tener para todo n suficientemente grande . Esto es equivalente a decir${\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$

${\displaystyle |z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

así que ahora el único otro lugar donde la convergencia es posible es cuando${\displaystyle R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1,}$

(dado que los puntos> 1 divergirán) y esto no cambiará el radio de convergencia ya que estos son solo los puntos que se encuentran en el límite del intervalo o disco, por lo que

${\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

Ejemplos

Ejemplo 1:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {2^{i}}{i^{9}}}}$

Aplicando la prueba de raíz y usando el hecho de que ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }n^{1/n}=1,}$

${\displaystyle C={\sqrt[{n}]{|{\frac {2^{n}}{n^{9}}}|}}={\frac {\sqrt[{n}]{2^{n}}}{\sqrt[{n}]{n^{9}}}}={\frac {2}{(n^{1/n})^{9}}}=2}$

Dado que la serie diverge. ^[2]${\displaystyle C=2>1,}$

Ejemplo 2:

${\displaystyle 1+1+0.5+0.5+0.25+0.25+0.125+0.125+...}$

La prueba de la raíz muestra convergencia porque

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|.5^{n}|}}=.5<1.}$

Este ejemplo muestra cómo la prueba de raíz es más fuerte que la prueba de razón . La prueba de razón no es concluyente para esta serie si es impar, entonces (aunque no si es par), porque ${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=.5^{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle r=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {2\cdot .5^{n}}{2\cdot .5^{n}}}\right|=1.}$

Ver también

• Prueba de razón
• Serie convergente

Referencias

1. Bottazzini, Umberto (1986), El cálculo superior: una historia del análisis real y complejo de Euler a Weierstrass , Springer-Verlag, págs.  116-117 , ISBN 978-0-387-96302-0. Traducido del italiano por Warren Van Egmond.
2. Briggs, William; Cochrane, Lyle (2011). Cálculo: principios trascendentales . Addison Wesley. pag. 571.

• Knopp, Konrad (1956). "§ 3.2". Secuencias y series infinitas . Publicaciones de Dover, Inc., Nueva York. ISBN 0-486-60153-6.
• Whittaker, ET y Watson, GN (1963). "§ 2.35". Un curso de análisis moderno (cuarta ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-58807-3.

Este artículo incorpora material de la prueba raíz de Proof of Cauchy en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .