En matemáticas, específicamente en topología algebraica y geometría algebraica , un functor de imagen inverso es una construcción contravariante de haces ; aquí "contravariante" en el sentido dado a un mapa, La imagen inversa funtor es un funtor de la categoría de haces en Y a la categoría de haces en X . El functor de imagen directo es la operación principal en poleas, con la definición más simple. La imagen inversa exhibe algunas características relativamente sutiles.
Definición
Supongamos que nos dan una gavilla en y que queremos transportar a usando un mapa continuo .
Llamaremos al resultado imagen inversa o haz de retroceso. . Si intentamos imitar la imagen directa configurando
para cada juego abierto de , inmediatamente nos encontramos con un problema: no está necesariamente abierto. Lo mejor que podemos hacer es aproximarlo por conjuntos abiertos, e incluso así obtendremos una gavilla y no una gavilla. En consecuencia, definimosser la gavilla asociada a la antesala :
(Aquí es un subconjunto abierto de y el colimit corre sobre todos los subconjuntos abiertos de conteniendo .)
Por ejemplo, si es solo la inclusión de un punto de , luego es solo el tallo de en este punto.
Los mapas de restricción, así como la functoriality de la imagen inversa de la siguiente propiedad universal de los límites directos .
Cuando se trata de morfismos de espacios anillados localmente , por ejemplo esquemas en geometría algebraica , a menudo se trabaja con haces de-módulos , donde es la estructura de la gavilla de . Entonces el functor es inapropiado, porque en general ni siquiera da gavillas de -módulos. Para remediar esto, se define en esta situación por un haz de-módulos su imagen inversa por
- .
Propiedades
- Tiempo es más complicado de definir que , los tallos son más fáciles de calcular: dado un punto, uno tiene .
- es un funtor exacto , como puede verse en el cálculo anterior de los tallos.
- es (en general) solo correcto exacto. Sies exacta, f se llama plana .
- es el adjunto izquierdo del functor de imagen directo . Esto implica que hay morfismos naturales de unidad y cuenta. y . Estos morfismos producen una correspondencia de adjunción natural:
- .
Sin embargo, los morfismos y casi nunca son isomorfismos. Por ejemplo, si denota la inclusión de un subconjunto cerrado, el tallo de en un punto es canónicamente isomorfo a Si es en y de lo contrario. Un adjunto similar es válido para el caso de roldanas de módulos, reemplazando por .
Referencias
- Iversen, Birger (1986), Cohomology of gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190. Ver sección II.4.