El tallo de una gavilla es una construcción matemática que captura el comportamiento de una gavilla alrededor de un punto dado.
Motivación y definición
Las poleas se definen en conjuntos abiertos, pero el espacio topológico subyacente consta de puntos. Es razonable intentar aislar el comportamiento de una gavilla en un solo punto fijo de . Hablando conceptualmente, hacemos esto mirando pequeños vecindarios del punto. Si miramos un vecindario suficientemente pequeño de, el comportamiento de la gavilla en ese pequeño vecindario debería ser el mismo que el comportamiento de en ese punto. Por supuesto, ningún vecindario será lo suficientemente pequeño, por lo que tendremos que tomar algún tipo de límite.
La definición precisa es la siguiente: el tallo de a , generalmente denotado , es:
Aquí el límite directo se indexa sobre todos los conjuntos abiertos que contienen, con relación de orden inducida por inclusión inversa (, Si ). Por definición (o propiedad universal ) del límite directo, un elemento del tallo es una clase de equivalencia de elementos., donde dos de esas secciones y se consideran equivalentes si las restricciones de las dos secciones coinciden en alguna vecindad de.
Definición alternativa
Existe otro enfoque para definir un tallo que es útil en algunos contextos. Elige un punto de , y deja ser la inclusión del espacio de un punto dentro . Entonces el talloes lo mismo que el haz de imágenes inversas. Observe que los únicos conjuntos abiertos del espacio de un punto están y y no hay datos sobre el conjunto vacío. Encima, sin embargo, obtenemos:
Observaciones
Para algunas categorías C, es posible que no exista el límite directo utilizado para definir el tallo. Sin embargo, existe para la mayoría de las categorías que ocurren en la práctica, como la categoría de conjuntos o la mayoría de las categorías de objetos algebraicos, como grupos abelianos o anillos , que son cocompletos .
Hay un morfismo natural para cualquier conjunto abierto conteniendo : se necesita una sección en a su germen , es decir, su clase de equivalencia en el límite directo. Se trata de una generalización del concepto habitual de germen , que puede recuperarse observando los tallos del haz de funciones continuas en.
Ejemplos de
Gavillas constantes
La gavilla constante asociado a algún conjunto (o grupo, anillo, etc.). tiene el mismo conjunto o grupo que los tallos en cada punto: para cualquier punto , elija un vecindario abierto y conectado . Las secciones de en un igual abierto conectado y los mapas de restricción son las identidades. Por lo tanto, el límite directo colapsa para ceder como el tallo.
Gavillas de funciones analíticas
Por ejemplo, en el conjunto de funciones analíticas de una variedad analítica , el germen de una función en un punto determina la función en una pequeña vecindad de un punto. Esto se debe a que el germen registra la expansión de la serie de potencias de la función y, por definición, todas las funciones analíticas son localmente iguales a su serie de potencias. Usando la continuación analítica , encontramos que el germen en un punto determina la función en cualquier conjunto abierto conectado donde la función puede definirse en todas partes. (¡Esto no implica que todos los mapas de restricción de esta gavilla sean inyectivos!)
Gavillas de funciones suaves
Por el contrario, para el conjunto de funciones uniformes en un colector uniforme , los gérmenes contienen cierta información local, pero no son suficientes para reconstruir la función en cualquier vecindario abierto. Por ejemplo, dejaser una función de relieve que es idénticamente una en una vecindad del origen e idénticamente cero lejos del origen. En cualquier vecindario suficientemente pequeño que contenga el origen, es idénticamente uno, por lo que en el origen tiene el mismo germen que la función constante con valor 1. Supongamos que queremos reconstruir de su germen. Incluso si sabemos de antemano quees una función de protuberancia, el germen no nos dice qué tan grande es su protuberancia. Por lo que nos dice el germen, el bulto podría ser infinitamente ancho, es decir, podría igualar la función constante con valor 1. Ni siquiera podemos reconstruir en un pequeño vecindario abierto que contiene el origen, porque no podemos decir si la protuberancia de encaja completamente en o si es tan grande que es idénticamente uno en .
Por otro lado, los gérmenes de funciones suaves pueden distinguir entre la función constante con valor uno y la función , porque la última función no es idéntica en ninguna vecindad del origen. Este ejemplo muestra que los gérmenes contienen más información que la expansión de la serie de potencias de una función, porque la serie de potencias dees idénticamente uno. (Esta información adicional está relacionada con el hecho de que el tallo del haz de funciones suaves en el origen es un anillo no noetheriano . El teorema de la intersección de Krull dice que esto no puede suceder para un anillo noetheriano).
Gavillas cuasi coherentes
En un esquema afín , el tallo de una gavilla casi coherente correspondiente a un -módulo en un punto correspondiente a un ideal primo es solo la localización .
Gavilla de rascacielos
En cualquier espacio topológico, el haz de rascacielos asociado a un punto cerrado y un grupo o anillo tiene los tallos 0 apagados y en —De ahí el nombre rascacielos . La misma propiedad es válida para cualquier punto.si el espacio topológico en cuestión es un espacio T 1 , ya que todo punto de un espacio T 1 está cerrado. Esta característica es la base de la construcción de resoluciones de Godement , utilizadas por ejemplo en geometría algebraica para obtener resoluciones inyectivas functoriales de roldanas.
Propiedades del tallo
Como se describe en la introducción, los tallos capturan el comportamiento local de una gavilla. Como se supone que una gavilla está determinada por sus restricciones locales (ver el axioma de pegado ), se puede esperar que los tallos capturen una buena cantidad de información que la gavilla está codificando. De hecho, esto es cierto:
- Un morfismo de gavillas es un isomorfismo , epimorfismo o monomorfismo , respectivamente, si y solo si los morfismos inducidos en todos los tallos tienen la misma propiedad. (Sin embargo, no es cierto que dos gavillas, cuyos tallos son isomórficos, también lo sean, porque puede que no haya un mapa entre las gavillas en cuestión).
En particular:
- Una gavilla es cero (si estamos tratando con gavillas de grupos), si y solo si todos los tallos de la gavilla se desvanecen. Por lo tanto, la exactitud de un funtor dado se puede probar en los tallos, lo que a menudo es más fácil ya que se puede pasar a vecindarios cada vez más pequeños.
Ambas afirmaciones son falsas para antesalas . Sin embargo, los tallos de las gavillas y las prehojas están estrechamente vinculados:
- Dado una gavilla y su gavilla , los tallos de y estar de acuerdo. Esto se sigue del hecho de que la gavilla es la imagen de a través del anexo izquierdo (porque el funtor de gavillado se deja adjunto al funtor de inclusión ) y el hecho de que los adjuntos izquierdos conservan colímites.