En los campos matemáticos de geometría diferencial y análisis geométrico , el flujo de curvatura media inversa (IMCF) es un flujo geométrico de subvariedades de una variedad riemanniana o pseudo-riemanniana . Se ha utilizado para probar un cierto caso de la desigualdad de Riemannian Penrose , que es de interés en la relatividad general .
Formalmente, dada una variedad pseudo-Riemanniana ( M , g ) y una variedad suave S , un flujo de curvatura media inversa consiste en un intervalo abierto I y un mapa suave F de I × S en M tal que
Si g es riemanniana, si S se cierra con dim( M ) = dim( S ) + 1 , y si una inmersión suave dada f de S en M tiene una curvatura media que en ninguna parte es cero, entonces existe un único flujo de curvatura media inversa cuyo "dato inicial" es f . [1]
Un ejemplo simple de flujo de curvatura media inversa lo da una familia de hiperesferas redondas concéntricas en el espacio euclidiano . Si la dimensión de tal esfera es n y su radio es r , entonces su curvatura media es n / r . Como tal, tal familia de esferas concéntricas forma un flujo de curvatura media inversa si y solo si
Entonces, una familia de hiperesferas redondas concéntricas forma un flujo de curvatura media inversa cuando los radios crecen exponencialmente.
En 1990, Claus Gerhardt demostró que esta situación es característica del caso más general de hipersuperficies lisas en forma de estrella convexa media del espacio euclidiano. En particular, para cualquier dato inicial de este tipo, el flujo de curvatura media inversa existe para todo el tiempo positivo y consiste solo en hipersuperficies suaves convexas medias y en forma de estrella. Además, el área de la superficie crece exponencialmente y, después de un cambio de escala que fija el área de la superficie, las superficies convergen suavemente en una esfera redonda. Las estimaciones geométricas en el trabajo de Gerhardt se derivan del principio máximo ; la redondez asintótica se convierte entonces en una consecuencia del teorema de Krylov-Safonov. Además, los métodos de Gerhardt se aplican simultáneamente a flujos de hipersuperficie basados en curvaturas más generales.