Transformada de dispersión inversa
En matemáticas , la transformada de dispersión inversa es un método para resolver algunas ecuaciones diferenciales parciales no lineales . El método es un análogo no lineal, y en cierto sentido una generalización, de la transformada de Fourier , que a su vez se aplica para resolver muchas ecuaciones diferenciales parciales lineales. El nombre "método de dispersión inversa" proviene de la idea clave de recuperar la evolución temporal de un potencial a partir de la evolución temporal de sus datos de dispersión: la dispersión inversa se refiere al problema de recuperar un potencial de su matriz de dispersión, en contraposición a la dispersión directa. problema de encontrar la matriz de dispersión del potencial.
La transformada de dispersión inversa se puede aplicar a muchos de los llamados modelos exactamente solubles , es decir, sistemas de dimensión infinita completamente integrables .
La transformada de dispersión inversa fue introducida por primera vez por Clifford S. Gardner, John M. Greene y Martin D. Kruskal et al. ( 1967 , 1974 ) para la ecuación de Korteweg-de Vries , y pronto se extendió a la ecuación no lineal de Schrödinger , la ecuación de Sine-Gordon y la ecuación de retícula de Toda . Más tarde se utilizó para resolver muchas otras ecuaciones, como la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili , la ecuación de Ishimori , la ecuación de Dym , etc. Una familia adicional de ejemplos la proporcionan las ecuaciones de Bogomolny (para un grupo de calibre dado y el triple de Riemann orientado), elcuyas soluciones son monopolos magnéticos .
Una característica de las soluciones obtenidas por el método de dispersión inversa es la existencia de solitones , soluciones que se asemejan tanto a partículas como a ondas, que no tienen análogo para las ecuaciones diferenciales parciales lineales. El término "solitón" surge de la óptica no lineal.
El problema de la dispersión inversa se puede escribir como un problema de factorización de Riemann-Hilbert , al menos en el caso de ecuaciones de una dimensión espacial. Esta formulación se puede generalizar a operadores diferenciales de orden superior a 2 y también a potenciales periódicos. En dimensiones espaciales superiores, uno tiene en cambio un problema de factorización "no local" de Riemann-Hilbert (con convolución en lugar de multiplicación) o un problema de barra d.
La ecuación de Korteweg-de Vries es una ecuación diferencial parcial de evolución dispersiva no lineal para una función u ; de dos variables reales , una variable de espacio x y una variable de tiempo t :