La ecuación seno-Gordon es una ecuación diferencial parcial hiperbólica no lineal en dimensiones 1 + 1 que involucra al operador de d'Alembert y el seno de la función desconocida. Fue introducido originalmente por Edmond Bour ( 1862 ) en el curso del estudio de superficies de curvatura negativa constante como la ecuación de Gauss-Codazzi para superficies de curvatura -1 en el espacio 3, [1] y redescubierto por Frenkel y Kontorova ( 1939 ) en su estudio de dislocaciones de cristales conocido como modelo de Frenkel-Kontorova . [2]Esta ecuación atrajo mucha atención en la década de 1970 debido a la presencia de soluciones de solitón .
Origen de la ecuación y su nombre
Hay dos formas equivalentes de la ecuación seno-Gordon. En las coordenadas del espacio-tiempo ( reales ) , denotadas ( x , t ), la ecuación dice: [3]
donde las derivadas parciales se indican mediante subíndices. Pasando a las coordenadas del cono de luz ( u , v ), similar a las coordenadas asintóticas donde
la ecuación toma la forma: [4]
Esta es la forma original de la ecuación seno-Gordon, como se consideró en el siglo XIX en el curso de la investigación de superficies de curvatura gaussiana constante K = -1, también llamadas superficies pseudoesféricas . Elija un sistema de coordenadas para dicha superficie en el que la malla de coordenadas u = constante, v = constante viene dada por las líneas asintóticas parametrizadas con respecto a la longitud del arco. La primera forma fundamental de la superficie en estas coordenadas tiene una forma especial
dónde expresa el ángulo entre las líneas asintóticas, y para la segunda forma fundamental , L = N = 0. Entonces, la ecuación de Codazzi-Mainardi que expresa una condición de compatibilidad entre la primera y la segunda forma fundamental da como resultado la ecuación sinusoidal de Gordon. El estudio de esta ecuación y de las transformaciones asociadas de superficies pseudoesféricas en el siglo XIX por Bianchi y Bäcklund condujo al descubrimiento de las transformaciones de Bäcklund . Otra transformación de superficies pseudoesféricas es la transformación de Lie introducida por Sophus Lie en 1879, que corresponde a los aumentos de Lorentz en términos de coordenadas de cono de luz, por lo que la ecuación seno-Gordon es invariante de Lorentz . [5]
El nombre "ecuación seno-Gordon" es un juego de palabras con la conocida ecuación de Klein-Gordon en física: [3]
La ecuación seno-Gordon es la ecuación de Euler-Lagrange del campo cuya densidad lagrangiana está dada por
Usando la expansión de la serie de Taylor del coseno en el lagrangiano,
se puede reescribir como el Klein-Gordon Lagrangiano más términos de orden superior
Soluciones soliton
Una característica interesante de la ecuación seno-Gordon es la existencia de soluciones de solitones y multisolitones.
Soluciones de 1 solitón
La ecuación seno-Gordon tiene las siguientes soluciones de 1 solitón :
dónde
y se asume la forma un poco más general de la ecuación:
La solución de 1 solitón para la que hemos elegido la raíz positiva para se llama torcedura y representa un giro en la variable que toma el sistema de una solución a un adyacente con . Los Estadosse conocen como estados de vacío ya que son soluciones constantes de energía cero. La solución de 1 solitón en la que sacamos la raíz negativa parase llama antikink . La forma de las soluciones de 1 solitón se puede obtener mediante la aplicación de una transformada de Bäcklund a la solución trivial (vacío constante) y la integración de los diferenciales de primer orden resultantes:
para todo el tiempo.
Las soluciones de 1 solitón se pueden visualizar con el uso del modelo de cinta elástica sinusoidal-Gordon como lo discutieron Dodd y sus colaboradores . [6] Aquí tomamos un giro en el sentido de las agujas del reloj (a la izquierda ) de la cinta elástica para que sea una torcedura con carga topológica. El giro alternativo en sentido antihorario ( diestro ) con carga topológica será un antikink.
![]() Viajar torcedura solitón representa la propagación de giro hacia la derecha. [7] | ![]() El solitón antikink que viaja representa un giro en sentido antihorario que se propaga. [7] |
Soluciones de 2 solitones
Multi- solitones soluciones se pueden obtener mediante la aplicación continuada de la Bäcklund transformar a la solución 1-solitón, según lo prescrito por un Bianchi celosía relacionando los resultados transformadas. [8] Las soluciones de 2 solitones de la ecuación seno-Gordon muestran algunos de los rasgos característicos de los solitones. Las torceduras y / o anti-retorcimientos sinusoidales de Gordon que viajan se atraviesan como si fueran perfectamente permeables, y el único efecto observado es un cambio de fase . Dado que los solitones en colisión recuperan su velocidad y forma, este tipo de interacción se denomina colisión elástica .
![]() Colisión Antikink-Kink . [7] | ![]() Colisión retorcida . [7] |
Otras soluciones interesantes de 2 solitones surgen de la posibilidad de un comportamiento acoplado anti-retorcimiento conocido como respiradero . Se conocen tres tipos de respiradores: respirador de pie , respirador de gran amplitud que viaja y respirador de pequeña amplitud que viaja . [9]
![]() El sistema de respiración de pie es un solitón que oscila en el tiempo y se dobla y se contrae. [7] | ![]() Respiradero móvil de gran amplitud . [7] |
![]() Respiradero móvil de pequeña amplitud : parece exótico pero esencialmente tiene un sobre de respiradero. [7] |
Soluciones de 3 solitones
Las colisiones de 3 solitones entre una torcedura que viaja y un respirador de pie o un anti-retorcimiento que viaja y un respirador de pie dan como resultado un cambio de fase del respirador de pie. En el proceso de colisión entre una torcedura en movimiento y un respiradero de pie, el cambio del respiradero es dado por:
dónde es la velocidad de la torcedura, y es la frecuencia del respirador. [9] Si la posición anterior del respirador de pie es, después de la colisión, la nueva posición será .
![]() Colisión de respiradero en movimiento y retorcido . [7] | ![]() Colisión de respiradero antikink-standing en movimiento . [7] |
Simulación de video FDTD (1D) de un solitón con fuerzas
El siguiente video muestra una simulación de dos solitones de estacionamiento. Ambos envían un campo de presión-velocidad con diferente polaridad. Debido a que el final del espacio 1D no termina simétricamente, las ondas se reflejan.
Líneas en el video:
- Cos () parte del solitón.
- Sin () parte del solitón.
- Aceleración angular del solitón.
- Presión-componente del campo con diferente polaridad.
- Componente de velocidad del campo - dependiente de la dirección.
Pasos:
- Los solitones envían energía no ligada en forma de ondas.
- Los solitones envían el campo pv que llega al par.
- Los solitones comienzan a moverse.
- Se encuentran en el medio y aniquilan.
- La masa se distribuye en forma de onda.
Ecuaciones relacionadas
La La ecuación de sinh-Gordon viene dada por [10]
Esta es la ecuación de Euler-Lagrange del Lagrange
Otra ecuación estrechamente relacionada es la ecuación sinusoidal elíptica de Gordon , dada por
dónde es ahora una función de las variables x e y . Esta ya no es una ecuación de solitones, pero tiene muchas propiedades similares, ya que está relacionada con la ecuación seno-Gordon por la continuación analítica (o rotación de Wick ) y = i t .
La ecuación elíptica de Sinh-Gordon se puede definir de manera similar.
La teoría de campo de Toda da una generalización . [11]
Versión cuántica
En la teoría cuántica de campos, el modelo seno-Gordon contiene un parámetro que se puede identificar con la constante de Planck . El espectro de partículas consta de un solitón, un antisolitón y un número finito (posiblemente cero) de respiradores . El número de respiraderos depende del valor del parámetro. Las producciones de partículas múltiples se cancelan en la cáscara en masa La desaparición de dos en cuatro amplitudes se verificó explícitamente en una aproximación de bucle.
La cuantificación semiclásica del modelo sinusoidal de Gordon fue realizada por Ludwig Faddeev y Vladimir Korepin . [12] La matriz de dispersión cuántica exacta fue descubierta por Alexander Zamolodchikov . Este modelo es S-dual con el modelo Thirring .
En volumen finito y en media línea
También se puede considerar el modelo seno-Gordon en un círculo, en un segmento de línea o en una media línea. Es posible encontrar condiciones de contorno que preserven la integrabilidad del modelo. En una media línea, el espectro contiene estados de límite además de los solitones y respiradores.
Modelo supersimétrico sinusoidal de Gordon
También existe una extensión supersimétrica del modelo sinusoidal de Gordon. También se puede encontrar la integrabilidad que preserva las condiciones de frontera para esta extensión.
Ver también
- Efecto Josephson
- Fluxon
- Forma ondas
Referencias
- ↑ Bour E (1862). "Théorie de la déformation des surface". Journal de l'École Impériale Polytechnique . 19 : 1-48.
- ^ Frenkel J, Kontorova T (1939). "Sobre la teoría de la deformación plástica y el hermanamiento". Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Seriya Fizicheskaya . 1 : 137-149.
- ^ a b Rajaraman, R. (1989). Solitones e instantones: una introducción a los solitones e instantones en la teoría cuántica de campos . Biblioteca personal de Holanda Septentrional. 15 . Holanda Septentrional. págs. 34–45. ISBN 978-0-444-87047-6.
- ^ Polyanin, Andrei D .; Valentin F. Zaitsev (2004). Manual de ecuaciones diferenciales parciales no lineales . Chapman & Hall / CRC Press. págs. 470–492. ISBN 978-1-58488-355-5.
- ^ Terng, CL y Uhlenbeck, K. (2000). "Geometría de solitones" (PDF) . Avisos de AMS . 47 (1): 17-25.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Dodd, Roger K .; JC Eilbeck; JD Gibbon; HC Morris (1982). Solitones y ecuaciones de onda no lineales . Londres: Academic Press. ISBN 978-0-12-219122-0.
- ^ a b c d e f g h yo Georgiev DD, Papaioanou SN, Glazebrook JF (2004). "Sistema neurónico dentro de las neuronas: biología molecular y biofísica de microtúbulos neuronales" . Revisiones biomédicas . 15 : 67–75. doi : 10.14748 / bmr.v15.103 .
- ^ Rogers, C .; WK Schief (2002). Transformaciones de Bäcklund y Darboux: geometría y aplicaciones modernas en la teoría de Soliton . Textos de Cambridge en Matemática Aplicada. Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-01288-1.
- ^ a b Miroshnichenko A, Vasiliev A, Dmitriev S. Solitons y Soliton Collisions .
- ^ Polyanin, Andrei D .; Zaitsev, Valentin F. Manual de ecuaciones diferenciales parciales no lineales (Segunda ed.). Boca Ratón: CRC Press. pag. 485. ISBN 978-1-4200-8723-9.
- ^ Yuanxi, Xie; Tang, Jiashi (febrero de 2006). "Un método unificado para resolver ecuaciones de tipo sinh-Gordon". Nuovo Cimento B Il . 121 (2): 115-121. Código Bibliográfico : 2006NCimB.121..115X . doi : 10.1393 / ncb / i2005-10164-6 .
- ^ Faddeev LD, Korepin VE (1978). "Teoría cuántica de los solitones". Informes de física . 42 (1): 1–87. Código Bibliográfico : 1978PhR .... 42 .... 1F . doi : 10.1016 / 0370-1573 (78) 90058-3 .
enlaces externos
- ecuación seno-Gordon en EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- Ecuación de Sinh-Gordon en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
- ecuación seno-Gordon en NEQwiki, la enciclopedia de ecuaciones no lineales.