Relación reflexiva

A binary relation over a set in which every element is related to itself

En matemáticas , una relación binaria R en un conjunto X es reflexiva si relaciona cada elemento de X consigo mismo. ^{[1] [2]}

Un ejemplo de una relación reflexiva es la relación " es igual a " en el conjunto de números reales , ya que todo número real es igual a sí mismo. Se dice que una relación reflexiva tiene la propiedad reflexiva o se dice que posee reflexividad . Junto con la simetría y la transitividad , la reflexividad es una de las tres propiedades que definen las relaciones de equivalencia .

Definiciones

Relaciones binarias
Simétrico Antisimétrico Conectado Bien fundado Tiene uniones Tiene cumple Relación de equivalencia ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Orden parcial ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ Reserva total ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ Orden total ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✗ Ordenamiento previo ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ Bien casi ordenado ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Bien ordenado ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ Enrejado ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✓ Unión-semirrejilla ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ Encuentro-semilattice ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓
Un " ✓ " indica que la propiedad de la columna es necesaria en la definición de la fila. Por ejemplo, la definición de una relación de equivalencia requiere que sea simétrica. Todas las definiciones requieren tácitamente transitividad y reflexividad .

Sea una relación binaria en un conjunto , que por definición es solo un subconjunto de Para cualquiera, la notación significa que mientras "no " significa que${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X.}$${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle (x,y)\in R}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle (x,y)\not \in R.}$

La relación se llama reflexiva si para todos o de manera equivalente, si donde denota la relación de identidad en El cierre reflexivo de es la unión que se puede definir de manera equivalente como la relación reflexiva más pequeña (con respecto a ) que es un superconjunto de Una relación es reflexiva si y solo si es igual a su cierre reflexivo. ${\displaystyle R}$${\displaystyle xRx}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R\cup \operatorname {I} _{X},}$${\displaystyle \,\subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle R}$

La reducción reflexiva o núcleo irreflexivo de es la relación más pequeña (con respecto a ) sobre que tiene el mismo cierre reflexivo que Es igual a. El núcleo irreflexivo de puede, en cierto sentido, ser visto como una construcción que es "opuesta" a El cierre reflexivo de Por ejemplo, el cierre reflexivo de la desigualdad estricta canónica en los reales es la desigualdad no estricta habitual, mientras que la reducción reflexiva de es${\displaystyle R}$${\displaystyle \,\subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \,<.}$

Definiciones relacionadas

Existen varias definiciones relacionadas con la propiedad reflexiva. La relación se llama:${\displaystyle R}$

Irreflexivo oAntirreflejos

Si no relaciona ningún elemento consigo mismo; es decir, si no para cada A la relación es irreflexiva si y sólo si su complemento en es reflexivo. Una relación asimétrica es necesariamente irreflexiva. Una relación transitiva e irreflexiva es necesariamente asimétrica.${\displaystyle xRx}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle X\times X}$

Cuasi reflexivo izquierdo

Si siempre son tales que entonces necesariamente ^[3]${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy,}$${\displaystyle xRx.}$

Cuasi reflexivo derecho

Si siempre son tales que entonces necesariamente${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy,}$${\displaystyle yRy.}$

Cuasi reflexivo

Si cada elemento que está relacionado con algún elemento también está relacionado con él mismo. Explícitamente, esto significa que siempre que sean tales que entonces necesaria y Equivalentemente, una relación binaria es cuasi-reflexiva si y solo si es a la vez cuasirreflexiva izquierda y cuasi reflexiva derecha. Una relación es cuasi reflexiva si y solo si su cierre simétrico es cuasi reflexivo a la izquierda (o a la derecha).${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy,}$${\displaystyle xRx}$ ${\displaystyle yRy.}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\cup R^{\operatorname {T} }}$

Antisimétrico

Si siempre es tal que y entonces necesariamente${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRx,}$${\displaystyle x=y.}$

Coreflexivo

Si siempre son tales que entonces necesariamente ^[4] Una relación es coreflexiva si y sólo si su cierre simétrico es antisimétrico .${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy,}$${\displaystyle x=y.}$${\displaystyle R}$

Una relación reflexiva en un conjunto no vacío no puede ser irreflexiva, ni asimétrica ( se llama asimétrica si implica no ), ni antitransitiva ( es antitransitiva si e implica no ).${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRx}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRz}$${\displaystyle xRz}$

Ejemplos

Ejemplos de relaciones reflexivas incluyen:

• "es igual a" ( igualdad )
• "es un subconjunto de" (inclusión de conjuntos)
• "divide" ( divisibilidad )
• "es mayor o igual a"
• "es menor o igual que"

Ejemplos de relaciones irreflexivas incluyen:

• "no es igual a"
• "es coprime a" (para los enteros> 1, ya que 1 es coprime a sí mismo)
• "es un subconjunto adecuado de"
• "es mayor que"
• "es menos que"

Un ejemplo de una relación irreflexiva, lo que significa que no relaciona ningún elemento consigo mismo, es la relación "mayor que" ( ) en los números reales . No toda relación que no sea reflexiva es irreflexiva; es posible definir relaciones donde algunos elementos están relacionados entre sí pero otros no (es decir, ni todos ni ninguno lo están). Por ejemplo, la relación binaria "el producto de y es par" es reflexiva sobre el conjunto de números pares , irreflexiva sobre el conjunto de números impares y ni reflexiva ni irreflexiva sobre el conjunto de números naturales . ${\displaystyle x>y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Un ejemplo de una relación cuasi-reflexiva es "tiene el mismo límite que" en el conjunto de secuencias de números reales: no todas las secuencias tienen un límite y, por lo tanto, la relación no es reflexiva, pero si una secuencia tiene el mismo límite que algunos secuencia, entonces tiene el mismo límite que él mismo. Un ejemplo de una relación cuasi reflexiva izquierda es una relación euclidiana izquierda , que siempre es cuasi reflexiva izquierda pero no necesariamente cuasi reflexiva derecha y, por tanto, no necesariamente cuasi reflexiva. ${\displaystyle R}$

Un ejemplo de una relación coreflexiva es la relación de números enteros en la que cada número impar está relacionado consigo mismo y no hay otras relaciones. La relación de igualdad es el único ejemplo de una relación tanto reflexiva como coreflexiva, y cualquier relación coreflexiva es un subconjunto de la relación de identidad. La unión de una relación coreflexiva y una relación transitiva en el mismo conjunto es siempre transitiva.

Número de relaciones reflexivas

El número de relaciones reflexivas en un conjunto de n elementos es 2 ^{n 2 - n} . ^[5]

Número de relaciones binarias de n elementos de diferentes tipos

Elementos	Alguna	Transitivo	Reflexivo	Hacer un pedido	Orden parcial	Reserva total	Orden total	Relación de equivalencia
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	1	1	1	1	1
2	dieciséis	13	4	4	3	3	2	2
3	512	171	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3.994	4.096	355	219	75	24	15
norte	2 n 2		2 n 2 - n			∑n k = 0  k ! S ( n , k )	n !	∑n k = 0  S ( n , k )
OEIS	A002416	A006905	A053763	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Lógica filosófica

Los autores de lógica filosófica a menudo usan terminología diferente. Las relaciones reflexivas en el sentido matemático se denominan totalmente reflexivas en lógica filosófica, y las relaciones cuasi reflexivas se denominan reflexivas . ^{[6] [7]}

Notas

1. Levy 1979: 74
2. Matemáticas relacionales, 2010
3. La Enciclopedia Británica llama a esta propiedad cuasi-reflexividad.
4. Fonseca de Oliveira, JN y Pereira Cunha Rodrigues, CDJ (2004). Transposición de relaciones: de funciones Maybe a tablas hash. En Matemáticas de la construcción de programas (p. 337).
5. Enciclopedia en línea de secuencias de enteros A053763
6. Alan Hausman; Howard Kahane; Paul Tidman (2013). Lógica y filosofía: una introducción moderna . Wadsworth. ISBN 1-133-05000-X. Aquí: p.327-328
7. DS Clarke; Richard Behling (1998). Lógica deductiva: una introducción a las técnicas de evaluación y la teoría lógica . University Press of America. ISBN 0-7618-0922-8. Aquí: p.187

Referencias

• Levy, A. (1979) Teoría básica de conjuntos , Perspectivas en lógica matemática, Springer-Verlag. Reimpreso en 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5 
• Lidl, R. y Pilz, G. (1998). Álgebra abstracta aplicada , Textos de pregrado en Matemáticas , Springer-Verlag. ISBN 0-387-98290-6 
• Quine, WV (1951). Lógica matemática , edición revisada. Reimpreso en 2003, Harvard University Press. ISBN 0-674-55451-5 
• Gunther Schmidt, 2010. Matemáticas relacionales . Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7 . 

Enlaces externos

• "Reflexividad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]