En cálculo vectorial , un campo vectorial conservador es un campo vectorial que es el gradiente de alguna función . [1] Los campos vectoriales conservadores tienen la propiedad de que la integral de línea es independiente de la ruta; la elección de cualquier camino entre dos puntos no cambia el valor de la integral de línea . La independencia del camino de la integral de línea es equivalente a que el campo vectorial sea conservador. Un campo vectorial conservador también es irrotante ; en tres dimensiones, esto significa que tiene un rizo que se desvanece . Un campo vectorial irrotacional es necesariamente conservador siempre que el dominio seasimplemente conectado .
Los campos vectoriales conservadores aparecen de forma natural en la mecánica : son campos vectoriales que representan fuerzas de sistemas físicos en los que se conserva la energía . [2] Para un sistema conservador, el trabajo realizado al moverse a lo largo de una ruta en el espacio de configuración depende solo de los puntos finales de la ruta, por lo que es posible definir una energía potencial que es independiente de la ruta real tomada.
Trato informal
En un espacio bidimensional y tridimensional, existe una ambigüedad al tomar una integral entre dos puntos, ya que hay infinitos caminos entre los dos puntos; aparte de la línea recta formada entre los dos puntos, se podría elegir un camino curvo de mayor longitud como se muestra en la figura. Por tanto, en general, el valor de la integral depende del camino tomado. Sin embargo, en el caso especial de un campo vectorial conservador, el valor de la integral es independiente de la ruta tomada, que puede considerarse como una cancelación a gran escala de todos los elementos.que no tienen un componente a lo largo de la línea recta entre los dos puntos. Para visualizar esto, imagine a dos personas trepando por un acantilado; uno decide escalar el acantilado subiendo verticalmente, y el segundo decide caminar por un camino sinuoso que es más largo que la altura del acantilado, pero solo en un pequeño ángulo con la horizontal. Aunque los dos excursionistas han tomado diferentes rutas para llegar a la cima del acantilado, en la cima, ambos habrán ganado la misma cantidad de energía potencial gravitacional. Esto se debe a que un campo gravitacional es conservador. Como ejemplo de un campo no conservador, imagine empujar una caja de un extremo a otro de una habitación. Empujar la caja en línea recta a través de la habitación requiere notablemente menos trabajo contra la fricción que a lo largo de un camino curvo que cubre una distancia mayor.
Explicación intuitiva
La impresión litográfica de MC Escher Ascending and Descending ilustra un campo vectorial no conservador, imposiblemente hecho para parecer el gradiente de la altura variable sobre el suelo a medida que uno se mueve a lo largo de la escalera. Es rotacional en el sentido de que uno puede seguir subiendo o bajando mientras da vueltas en círculos. No es conservador en el sentido de que uno puede volver al punto de partida mientras asciende más de uno desciende o viceversa. En una escalera real, la altura sobre el suelo es un campo de potencial escalar: si se vuelve al mismo lugar, se sube exactamente tanto como se baja. Su gradiente sería un campo vectorial conservador y es irrotacional. La situación representada en la pintura es imposible.
Definición
Un campo vectorial , dónde es un subconjunto abierto de , se dice que es conservador si y solo si existe un campo escalar en tal que
Aquí, denota el gradiente de. Cuando se cumple la ecuación anterior,se llama un potencial escalar para.
El teorema fundamental del cálculo vectorial establece que cualquier campo vectorial puede expresarse como la suma de un campo vectorial conservador y un campo solenoide .
Independencia del camino
Una propiedad clave de un campo vectorial conservador es que su integral a lo largo de una ruta depende solo de los puntos finales de esa ruta, no de la ruta particular tomada. Suponer que es un camino rectificable en con punto inicial y punto terminal . Si para algunos campo escalar así que eso es un campo vectorial conservador, entonces el teorema del gradiente establece que
Esto se cumple como consecuencia de la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo .
Una formulación equivalente de esto es que
para cada camino cerrado simple rectificable en . Lo contrario de esta afirmación también es cierto: si la circulación de alrededor de cada camino cerrado simple rectificable en es , luego es un campo vectorial conservador.
Campos de vectores irrotacionales
Dejar , y deja ser un campo vectorial, con abierto como siempre. Luegose llama irrotacional si y solo si su rizo es en todas partes en , es decir, si
Por esta razón, estos campos vectoriales a veces se denominan campos vectoriales sin rizos o campos vectoriales sin rizos . También se denominan campos vectoriales longitudinales .
Es una identidad del cálculo vectorial que para cualquier campo escalar en , tenemos
Por lo tanto, cada campo vectorial conservador en es también un campo de vector irrotacional en .
Siempre que está simplemente conectado , lo contrario de esto también es cierto: cada campo de vector irrotacional en es un campo vectorial conservador en .
La afirmación anterior no es cierta en general sino está simplemente conectado. Dejar ser con el -eje eliminado, es decir, . Ahora, defina un campo vectorial en por
Luego tiene cero rizos en todas partes , es decir, es irritante. Sin embargo, la circulacin de alrededor del círculo unitario en el -plano es . De hecho, tenga en cuenta que en coordenadas polares ,, por lo que la integral sobre el círculo unitario es
Por lo tanto, no tiene la propiedad de independencia de ruta descrita anteriormente y no es conservadora.
En una región abierta simplemente conectada, un campo vectorial irrotacional tiene la propiedad de independencia de ruta. Esto se puede ver si se observa que en una región de este tipo, un campo vectorial irrotacional es conservador y los campos vectoriales conservadores tienen la propiedad de independencia de ruta. El resultado también se puede demostrar directamente mediante el teorema de Stokes . En una región abierta simplemente conectada, cualquier campo vectorial que tenga la propiedad de independencia de ruta también debe ser irrotacional.
De manera más abstracta, en presencia de una métrica de Riemann , los campos vectoriales corresponden a diferenciales-formas . Los campos vectoriales conservadores corresponden a la exacta -formas , es decir, a las formas que son la derivada exterior de una función (campo escalar) en . Los campos de vectores irrotacionales corresponden a los cerrados -formas , es decir, a la-formas tal que . Como, cualquier forma exacta está cerrada, por lo que cualquier campo vectorial conservador es irrotacional. Por el contrario, todo cerrado-los formularios son exactos siestá simplemente conectado .
Vorticidad
La vorticidad de un campo vectorial se puede definir por:
La vorticidad de un campo de irrigación es cero en todas partes. [3] El teorema de la circulación de Kelvin establece que un fluido que es irritante en un flujo no viscoso seguirá siendo irrotante. Este resultado se puede derivar de la ecuación de transporte de vorticidad , obtenida tomando el rizo de las ecuaciones de Navier-Stokes.
Para un campo bidimensional, la vorticidad actúa como una medida de la rotación local de los elementos fluidos. Tenga en cuenta que la vorticidad no implica nada sobre el comportamiento global de un fluido. Es posible que un fluido que viaja en línea recta tenga vorticidad, y es posible que un fluido que se mueve en un círculo sea irrotacional.
Fuerzas conservadoras
Si el campo vectorial asociado a una fuerza es conservadora, entonces se dice que la fuerza es una fuerza conservadora .
Los ejemplos más destacados de fuerzas conservadoras son la fuerza gravitacional y la fuerza eléctrica asociada a un campo electrostático. Según la ley de gravitación de Newton , la fuerza gravitacional actuando en masa debido a una masa , que es una distancia entre ellos, obedece la ecuación
dónde es la constante gravitacional yes un vector unitario que apunta desde hacia . La fuerza de gravedad es conservadora porque, dónde
es la energía potencial gravitacional . Se puede demostrar que cualquier campo vectorial del formulario es conservador, siempre que es integrable.
Para las fuerzas conservadoras , la independencia de la trayectoria se puede interpretar en el sentido de que el trabajo realizado al ir de un punto a un punto es independiente del camino elegido, y que el trabajo hecho al dar la vuelta a un circuito cerrado simple es :
La energía total de una partícula que se mueve bajo la influencia de fuerzas conservadoras se conserva, en el sentido de que una pérdida de energía potencial se convierte en una cantidad igual de energía cinética, o viceversa.
Ver también
- Campo de vector de Beltrami
- Fuerza conservadora
- Sistema conservador
- Campo de vector laminar complejo
- Descomposición de Helmholtz
- Campo de vector laplaciano
- Campos vectoriales longitudinales y transversales
- Campo de vector solenoidal
Referencias
- ^ Marsden, Jerrold ; Tromba, Anthony (2003). Cálculo vectorial (Quinta ed.). WHFreedman and Company. págs. 550–561.
- ^ George B. Arfken y Hans J. Weber, Métodos matemáticos para físicos , sexta edición, Elsevier Academic Press (2005)
- ^ Liepmann, HW ; Roshko, A. (1993) [1957], Elements of Gas Dynamics , Publicaciones de Courier Dover, ISBN 0-486-41963-0, págs. 194-196.
Otras lecturas
- Acheson, DJ (1990). Dinámica de fluidos elemental . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0198596790.