En la geometría de Riemann , una variedad isoparamétrica es un tipo de subvariedad (sumergida) del espacio euclidiano cuyo haz normal es plano y cuyas curvaturas principales son constantes a lo largo de cualquier campo vectorial normal paralelo . El conjunto de colectores isoparamétricos es estable bajo el flujo de curvatura media .
Ejemplos de
Una línea recta en el plano es un ejemplo obvio de variedad isoparamétrica. Cualquier subespacio afín del espacio euclidiano n-dimensional también es un ejemplo, ya que las curvaturas principales de cualquier operador de forma son cero. Otro ejemplo más simple de una variedad isoparamétrica es una esfera en el espacio euclidiano.
Otro ejemplo es el siguiente. Supongamos que G es un grupo de Lie y G / H es un espacio simétrico con descomposición canónica
de la álgebra de Lie g de G en una suma directa (ortogonal con respecto a la forma Killing ) de la álgebra de Lie h o H con un subespacio complementaria p . Entonces, una órbita principal de la representación adjunta de H en p es una variedad isoparamétrica en p . Las órbitas no principales son ejemplos de las denominadas subvariedades con curvaturas principales constantes . En realidad, según el teorema de Thorbergsson, cualquier subvariedad isoparamétrica completa, completa e irreducible de codimensión> 2 es una órbita de una representación s, es decir, una órbita H como la anterior donde el espacio simétrico G / H no tiene factor plano.
La teoría de las subvariedades isoparamétricas está profundamente relacionada con la teoría de los grupos de holonomía . En realidad, cualquier subvarietal isoparamétrico es foliado por los tubos de holonomía de una subvariedad con curvaturas principales constantes, es decir, una subvarietal focal. El artículo "Subvariedades con curvaturas principales constantes y grupos de holonomía normales" [1] es una muy buena introducción a dicha teoría. Para obtener explicaciones más detalladas sobre los tubos de holonomía y las focalizaciones, consulte el libro Submanifolds and Holonomy . [2]
Referencias
- ^ E. Heintze, C. Olmos y G. Thorbergsson (1991) Subvariedades con curvaturas de principio constantes y grupos de holonomía normales , International Journal of Mathematics 2: 167–75
- ^ J. Berndt, S. Console y C. Olmos (2003) Subvariedades y holonomía , Chapman y Hall
- Ferus, D, Karcher, H y Münzner, HF (1981). "Cliffordalgebren und neue isoparametrische Hyperflächen". Matemáticas. Z . 177 (4): 479–502. doi : 10.1007 / BF01219082 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Palais, RS y Terng, CL (1987). "Una teoría general de las formas canónicas" . Transacciones de la American Mathematical Society . Transacciones de la American Mathematical Society, vol. 300, núm. 2. 300 (2): 771–789. doi : 10.2307 / 2000369 . JSTOR 2000369 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Terng, CL (1985). "Subvariedades isoparamétricas y sus grupos Coxeter" . Revista de geometría diferencial . 21 : 79-107. doi : 10.4310 / jdg / 1214439466 .
- Thorbergsson, G (1991). "Subvariedades isoparamétricas y sus construcciones". Ana. Matemáticas. 133 : 429–446. doi : 10.2307 / 2944343 . JSTOR 2944343 .