En el campo de la geometría diferencial en matemáticas , el flujo de curvatura media es un ejemplo de un flujo geométrico de hipersuperficies en una variedad de Riemann (por ejemplo, superficies lisas en un espacio euclidiano tridimensional ). Intuitivamente, una familia de superficies evoluciona bajo un flujo de curvatura media si la componente normal de la velocidad a la que se mueve un punto de la superficie viene dada por la curvatura media de la superficie. Por ejemplo, una esfera redondaevoluciona bajo el flujo de curvatura media encogiéndose hacia adentro uniformemente (ya que el vector de curvatura media de una esfera apunta hacia adentro). Excepto en casos especiales, el flujo de curvatura media desarrolla singularidades .
Bajo la restricción de que el volumen encerrado es constante, esto se denomina flujo de tensión superficial .
Es una ecuación diferencial parcial parabólica y se puede interpretar como "suavizado".
Existencia y singularidad
Michael Gage y Richard S. Hamilton demostraron lo siguiente como una aplicación del teorema de existencia general de Hamilton para flujos geométricos parabólicos. [1] [2]
Dejar ser un colector compacto y liso, dejemos ser una variedad riemanniana completa y suave, y dejar sea una inmersión suave. Entonces hay un número positivo, que podría ser infinito, y un mapa con las siguientes propiedades:
- es una inmersión suave para cualquier
- como uno tiene en
- para cualquier , la derivada de la curva a es igual al vector de curvatura media de a .
- Si es cualquier otro mapa con las cuatro propiedades anteriores, entonces y para cualquier
Necesariamente, la restricción de a es .
Uno se refiere a como el flujo de curvatura media (máximo extendido) con datos iniciales .
Teoremas de convergencia
Siguiendo el trabajo histórico de Hamilton en 1982 sobre el flujo de Ricci , en 1984 Gerhard Huisken empleó los mismos métodos para el flujo de curvatura media para producir el siguiente resultado análogo: [3]
- Si es el espacio euclidiano , dónde denota la dimensión de , luego es necesariamente finito. Si la segunda forma fundamental de la 'inmersión inicial' es estrictamente positivo, entonces la segunda forma fundamental de la inmersión también es estrictamente positivo para cada , y además si se elige la función tal que el volumen de la variedad de Riemann es independiente de , entonces como las inmersiones convergen suavemente en una inmersión cuya imagen en es una esfera redonda.
Tenga en cuenta que si y es una inmersión suave en hipersuperficie cuya segunda forma fundamental es positiva, luego el mapa de Gauss es un difeomorfismo, por lo que uno sabe desde el principio que es difeomorfo a y, a partir de la topología diferencial elemental, que todas las inmersiones consideradas anteriormente son incrustaciones.
Gage y Hamilton extendieron el resultado de Huisken al caso . Matthew Grayson (1987) demostró que si es cualquier incrustación suave, entonces el flujo de curvatura medio con los datos iniciales eventualmente consiste exclusivamente en incrustaciones con curvatura estrictamente positiva, en cuyo punto se aplica el resultado de Gage y Hamilton. [4] En resumen:
- Si es una incrustación suave, entonces considere el flujo de curvatura media con datos iniciales . Luego es una incrustación suave para cada y existe tal que tiene una curvatura positiva (extrínseca) para cada . Si se selecciona la función como en el resultado de Huisken, entonces como las incrustaciones convergen suavemente a una incrustación cuya imagen es un círculo redondo.
Ejemplos físicos
El ejemplo más conocido de flujo de curvatura media está en la evolución de las películas de jabón . Un fenómeno bidimensional similar son las gotas de aceite en la superficie del agua, que se convierten en discos (límite circular).
El flujo de curvatura media se propuso originalmente como un modelo para la formación de límites de grano en el recocido de metal puro.
Propiedades
El flujo de curvatura media extremaliza el área de la superficie, y las superficies mínimas son los puntos críticos para el flujo de curvatura media; los mínimos resuelven el problema isoperimétrico .
Para las variedades incrustadas en una variedad Kähler-Einstein , si la superficie es una subvarietal lagrangiana , el flujo de curvatura media es de tipo lagrangiano, por lo que la superficie evoluciona dentro de la clase de subvariedades lagrangianas.
La fórmula de monotonicidad de Huisken da una propiedad de monotonicidad de la convolución de un núcleo de calor invertido en el tiempo con una superficie que experimenta el flujo de curvatura media.
Los flujos relacionados son:
- Flujo de acortamiento de curvas , el caso unidimensional del flujo de curvatura media
- el flujo de tensión superficial
- el flujo de curvatura media de Lagrange
- el flujo de curvatura media inversa
Flujo de curvatura medio de una superficie tridimensional
La ecuación diferencial para el flujo de curvatura media de una superficie dada por es dado por
con siendo una constante que relaciona la curvatura y la velocidad de la superficie normal, y la curvatura media es
En los limites y , de modo que la superficie es casi plana con su normal casi paralela al eje z, esto se reduce a una ecuación de difusión
Si bien la ecuación de difusión convencional es una ecuación diferencial parcial parabólica lineal y no desarrolla singularidades (cuando se avanza en el tiempo), el flujo de curvatura media puede desarrollar singularidades porque es una ecuación parabólica no lineal. En general, es necesario poner restricciones adicionales en una superficie para evitar singularidades bajo los flujos de curvatura media.
Toda superficie convexa suave se colapsa hasta un punto bajo el flujo de curvatura media, sin otras singularidades, y converge a la forma de una esfera al hacerlo. Para superficies de dimensión dos o más, este es un teorema de Gerhard Huisken ; [5] para el flujo unidimensional de acortamiento de curvas es el teorema de Gage-Hamilton-Grayson. Sin embargo, existen superficies incrustadas de dos o más dimensiones distintas de la esfera que permanecen auto-similares a medida que se contraen hasta un punto bajo el flujo de curvatura media, incluido el toro de Angenent . [6]
Ejemplo: flujo de curvatura medio de esferas m- dimensionales
Un ejemplo simple de flujo de curvatura media lo da una familia de hiperesferas redondas concéntricas en. La curvatura media de un-esfera dimensional de radio es .
Debido a la simetría rotacional de la esfera (o en general, debido a la invariancia de la curvatura media bajo isometrías ) la ecuación de flujo de curvatura mediase reduce a la ecuación diferencial ordinaria , para una esfera inicial de radio,
La solución de esta EDO (obtenida, por ejemplo, por separación de variables ) es
- ,
que existe para . [7]
Referencias
- ^ Gage, M .; Hamilton, RS (1986). "La ecuación de calor contrayendo curvas planas convexas" . J. Geom diferencial . 23 (1): 69–96. doi : 10.4310 / jdg / 1214439902 .
- ^ Hamilton, Richard S. (1982). "Tres variedades con curvatura de Ricci positiva". J. Geometría diferencial . 17 (2): 255-306. doi : 10.4310 / jdg / 1214436922 .
- ^ Huisken, Gerhard (1984). "Flujo por curvatura media de superficies convexas en esferas". J. Geom diferencial . 20 (1): 237–266. doi : 10.4310 / jdg / 1214438998 .
- ^ Grayson, Matthew A. (1987). "La ecuación de calor reduce las curvas planas incrustadas a puntos redondos" . J. Geom diferencial . 26 (2): 285–314. doi : 10.4310 / jdg / 1214441371 .
- ^ Huisken, Gerhard (1990), "Comportamiento asintótico para singularidades del flujo de curvatura media" , Journal of Differential Geometry , 31 (1): 285-299, doi : 10.4310 / jdg / 1214444099 , hdl : 11858 / 00-001M-0000 -0013-5CFD-5 , MR 1030675.
- ^ Angenent, Sigurd B. (1992), "Donas que se encogen" (PDF) , Ecuaciones de difusión no lineal y sus estados de equilibrio, 3 (Gregynog, 1989) , Progreso en ecuaciones diferenciales no lineales y sus aplicaciones, 7 , Boston, MA: Birkhäuser, págs. 21–38, MR 1167827.
- ^ Ecker, Klaus (2004), Teoría de la regularidad para el flujo de curvatura media , Progreso en ecuaciones diferenciales no lineales y sus aplicaciones, 57 , Boston, MA: Birkhäuser, doi : 10.1007 / 978-0-8176-8210-1 , ISBN 0-8176-3243-3, MR 2024995.
- Ecker, Klaus (2004), Teoría de la regularidad para el flujo de curvatura media , Progreso en ecuaciones diferenciales no lineales y sus aplicaciones, 57 , Boston, MA: Birkhäuser, doi : 10.1007 / 978-0-8176-8210-1 , ISBN 0-8176-3243-3, MR 2024995.
- Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow , Progress in Mathematics, 290 , Basilea: Birkhäuser / Springer, doi : 10.1007 / 978-3-0348-0145-4 , ISBN 978-3-0348-0144-7, MR 2815949.
- Lu, Conglin; Cao, Yan; Mumford, David (2002), "Evolución de la superficie bajo flujos de curvatura", Journal of Visual Communication and Image Representation , 13 (1–2): 65–81, doi : 10.1006 / jvci.2001.0476. Véanse en particular las ecuaciones 3a y 3b.