Desigualdad isoperimétrica

En matemáticas, la desigualdad isoperimétrica es una desigualdad geométrica que involucra el perímetro de un conjunto y su volumen. En el espacio dimensional, la desigualdad limita el área de la superficie o el perímetro de un conjunto por su volumen ,${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\displaystyle \operatorname {por} (S)}$${\displaystyle S\subconjunto \mathbb {R} ^{n}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {vol} (S)}$

donde es una esfera unidad . La igualdad se mantiene solo cuando es una esfera en .${\displaystyle B_{1}\subconjunto \mathbb {R} ^{n}}$${\ estilo de visualización S}$${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n}}$

En un plano, es decir cuando , la desigualdad isoperimétrica relaciona el cuadrado de la circunferencia de una curva cerrada y el área de una región plana que encierra. Isoperimétrico significa literalmente "que tiene el mismo perímetro ". Específicamente en , la desigualdad isoperimétrica establece, para la longitud L de una curva cerrada y el área A de la región plana que encierra, que${\ estilo de visualización n = 2}$${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {2}}$

El problema isoperimétrico consiste en determinar una figura plana de la mayor área posible cuyo límite tenga una longitud específica. ^[1] El problema de Dido, estrechamente relacionado , pide una región del área máxima delimitada por una línea recta y un arco curvilíneo cuyos extremos pertenecen a esa línea. Lleva el nombre de Dido , la legendaria fundadora y primera reina de Cartago . La solución al problema isoperimétrico viene dada por un círculo y ya se conocía en la Antigua Grecia. Sin embargo, la primera prueba matemáticamente rigurosa de este hecho se obtuvo recién en el siglo XIX. Desde entonces, se han encontrado muchas otras pruebas.

El problema isoperimétrico se ha extendido de múltiples maneras, por ejemplo, a curvas en superficies y regiones en espacios de mayor dimensión. Quizás la manifestación física más familiar de la desigualdad isoperimétrica tridimensional es la forma de una gota de agua. Es decir, una gota adoptará típicamente una forma redonda simétrica. Dado que la cantidad de agua en una gota es fija, la tensión superficial obliga a la gota a adoptar una forma que minimiza el área superficial de la gota, es decir, una esfera redonda.

El problema isoperimétrico clásico se remonta a la antigüedad. ^[2] El problema se puede plantear de la siguiente manera: entre todas las curvas cerradas en el plano de perímetro fijo, ¿cuál curva (si la hay) maximiza el área de su región cerrada? Se puede demostrar que esta pregunta es equivalente al siguiente problema: entre todas las curvas cerradas en el plano que encierra un área fija, ¿cuál curva (si la hay) minimiza el perímetro?

Si una región no es convexa, se puede "voltear" una "abolladura" en su límite para aumentar el área de la región sin cambiar el perímetro.

Una forma alargada se puede hacer más redonda manteniendo fijo su perímetro y aumentando su área.