Relación isoperimétrica

En geometría analítica , la razón isoperimétrica de una curva cerrada simple en el plano euclidiano es la razón L ² / A , donde L es la longitud de la curva y A es su área . Es una cantidad adimensional que es invariante bajo las transformaciones de semejanza de la curva.

Según la desigualdad isoperimétrica , la razón isoperimétrica tiene su valor mínimo, 4 π , para un círculo ; cualquier otra curva tiene un valor mayor. ^[1] Por lo tanto, la relación isoperimétrica se puede usar para medir qué tan lejos de circular está una forma.

El flujo de acortamiento de la curva disminuye la relación isoperimétrica de cualquier curva convexa suave de modo que, en el límite a medida que la curva se contrae a un punto, la relación se convierte en 4 π . ^[2]

Para cuerpos de dimensiones superiores de dimensión d , la relación isoperimétrica se puede definir de manera similar como B ^d / V ^{d - 1} donde B es el área de superficie del cuerpo (la medida de su límite) y V es su volumen (la medida de su interior). ^[3] Otras cantidades relacionadas incluyen la constante de Cheeger de una variedad de Riemann y la constante de Cheeger (definida de manera diferente) de un gráfico . ^[4]

Referencias

1. Berger, Marcel (2010), Geometry Revealed: A Jacob's Ladder to Modern Higher Geometry , Springer-Verlag, págs. 295-296, ISBN 9783540709978.
2. Gage, ME (1984), "El acortamiento de la curva hace que las curvas convexas sean circulares", Inventiones Mathematicae , 76 (2): 357–364, doi : 10.1007 / BF01388602 , MR 0742856 .
3. Chow, Bennett; Knopf, Dan (2004), The Ricci Flow: An Introduction , Estudios matemáticos y monografías, 110 , American Mathematical Society, p. 157, ISBN 9780821835159.
4. Grady, Leo J .; Polimeni, Jonathan (2010), Cálculo discreto: análisis aplicado en gráficos para la ciencia computacional , Springer-Verlag, p. 275, ISBN 9781849962902.