En la geometría de formas cuadráticas , una línea isotrópica o línea nula es una línea para la cual la forma cuadrática aplicada al vector de desplazamiento entre cualquier par de sus puntos es cero. Una línea isotrópica ocurre solo con una forma cuadrática isotrópica y nunca con una forma cuadrática definida .
Usando geometría compleja , Edmond Laguerre sugirió primero la existencia de dos líneas isotrópicas a través del punto ( α , β ) que dependen de la unidad imaginaria i : [1]
- Primer sistema:
- Segundo sistema:
Laguerre luego interpretó estas líneas como geodésicas :
- Una propiedad esencial de las líneas isotrópicas, y que puede usarse para definirlas, es la siguiente: la distancia entre dos puntos cualesquiera de una línea isótropa situada a una distancia finita en el plano es cero. En otros términos, estas líneas satisfacen la ecuación diferencial d s 2 = 0 . Sobre una superficie arbitraria se pueden estudiar curvas que satisfagan esta ecuación diferencial; estas curvas son las líneas geodésicas de la superficie, y también las llamamos líneas isotrópicas . [1] : 90
En el plano proyectivo complejo , los puntos están representados por coordenadas homogéneas. y líneas por coordenadas homogéneas . Una línea isotrópica en el plano proyectivo complejo satisface la ecuación: [2]
En términos del subespacio afín x 3 = 1 , una línea isotrópica que pasa por el origen es
En geometría proyectiva, las líneas isotrópicas son las que pasan por los puntos circulares en el infinito .
En la geometría ortogonal real de Emil Artin , las líneas isotrópicas ocurren en pares:
- Un plano no singular que contiene un vector isotrópico se denominará plano hiperbólico . Siempre puede estar dividido por un par N, M de vectores que satisfacen
- Llamaremos a cualquiera de estos pares ordenados N, M un par hiperbólico. Si V es un plano no singular con geometría ortogonal y N ≠ 0 es un vector isotrópico de V , entonces existe precisamente un M en V tal que N, M es un par hiperbólico. Los vectores x N y y M son entonces los únicos vectores isotrópicas de V . [3]
Relatividad
Las líneas isotrópicas se han utilizado en la escritura cosmológica para transportar luz. Por ejemplo, en una enciclopedia matemática, la luz consta de fotones : "La línea de mundo de una masa en reposo cero (como un modelo no cuántico de un fotón y otras partículas elementales de masa cero) es una línea isotrópica". [4] Para las líneas isotrópicas que pasan por el origen, un punto particular es un vector nulo , y la colección de todas esas líneas isotrópicas forma el cono de luz en el origen.
Élie Cartan amplió el concepto de líneas isotrópicas a multivectores en su libro sobre espinores en tres dimensiones . [5]
Referencias
- ↑ a b Edmond Laguerre (1870) "Sur l'emploi des imaginaires en la géométrie", Oeuvres de Laguerre 2:89
- ^ CE Springer (1964) Geometría y análisis de espacios proyectivos , página 141, WH Freeman and Company
- ^ Emil Artin (1957) Álgebra geométrica , página 119
- ^ Enciclopedia de la línea del mundo de las matemáticas
- ^ Cartan, Élie (1981) [1938], La teoría de los espinores , Nueva York: Publicaciones de Dover , p. 17, ISBN 978-0-486-64070-9, MR 0631850 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Pete L. Clark, Formas cuadráticas capítulo I: teoría de Witts de la Universidad de Miami en Coral Gables, Florida .
- O. Timothy O'Meara (1963, 2000) Introducción a las formas cuadráticas , página 94