En matemáticas , una función iterada es una función X → X (es decir, una función de algún conjunto X a sí misma) que se obtiene componiendo otra función f : X → X consigo misma un cierto número de veces. El proceso de aplicar repetidamente la misma función se llama iteración . En este proceso, partiendo de algún número inicial, el resultado de aplicar una función dada se vuelve a alimentar en la función como entrada, y este proceso se repite.
Las funciones iteradas son objetos de estudio en informática , fractales , sistemas dinámicos , matemáticas y física de grupos de renormalización .
Definición
La definición formal de una función iterada en un conjunto X sigue.
Sea X un conjunto y f : X → X una función .
Definiendo f n como la n -ésima iteración de f (una notación introducida por Hans Heinrich Bürmann [ cita requerida ] [1] [2] y John Frederick William Herschel [3] [1] [4] [2] ), donde n es un número entero no negativo, por:
y
donde id X es la función de identidad en X y f ○ g denota la composición de la función . Es decir,
- ( f ○ g ) ( x ) = f ( g ( x )) ,
siempre asociativo .
Debido a que la notación f n puede referirse tanto a la iteración (composición) de la función f como a la exponenciación de la función f (esta última se usa comúnmente en trigonometría ), algunos matemáticos [ cita requerida ] eligen usar ∘ para denotar el significado compositivo, escribiendo f ∘ n ( x ) para la n -ésima iteración de la función f ( x ) , como en, por ejemplo, f ∘3 ( x ) que significa f ( f ( f ( x ))) . Con el mismo propósito, Benjamin Peirce [5] [2] utilizó f [ n ] ( x ) mientras que Alfred Pringsheim y Jules Molk sugirieron n f ( x ) en su lugar. [6] [2] [nb 1]
Propiedades abelianas y secuencias de iteración
En general, la siguiente identidad se mantiene para todos no negativo números enteros m y n ,
Esto es estructuralmente idéntico a la propiedad de exponenciación de que a m a n = a m + n , es decir, el caso especial f ( x ) = ax .
En general, para en general arbitraria (negativo, no entero, etc.) los índices m y n , esta relación se llama la traducción ecuación funcional , cf. Ecuación de Schröder y ecuación de Abel . En una escala logarítmica, esto se reduce a la propiedad de anidamiento de los polinomios de Chebyshev , T m ( T n ( x )) = T m n ( x ) , ya que T n ( x ) = cos ( n arccos ( x )) .
La relación ( f m ) n ( x ) = ( f n ) m ( x ) = f mn ( x ) también se cumple, análoga a la propiedad de exponenciación de que ( a m ) n = ( a n ) m = a mn .
La secuencia de funciones f n se llama secuencia de Picard , [7] [8] lleva el nombre de Charles Émile Picard .
Para una x dada en X , la secuencia de valores f n ( x ) se llama órbita de x .
Si f n ( x ) = f n + m ( x ) para algún número entero m , la órbita se llama órbita periódica . El valor más pequeño de m para una x dada se llama período de la órbita . El propio punto x se llama punto periódico . El problema de detección de ciclos en la informática es el problema algorítmico de encontrar el primer punto periódico en una órbita y el período de la órbita.
Puntos fijos
Si f ( x ) = x para alguna x en X (es decir, el período de la órbita de x es 1), entonces x se llama un punto fijo de la secuencia iterada. El conjunto de puntos fijos a menudo se denota como Fix ( f ). Existe una serie de teoremas de punto fijo que garantizan la existencia de puntos fijos en diversas situaciones, incluido el teorema de punto fijo de Banach y el teorema de punto fijo de Brouwer .
Existen varias técnicas para la aceleración de la convergencia de las secuencias producidas por la iteración de punto fijo . [9] Por ejemplo, el método de Aitken aplicado a un punto fijo iterado se conoce como método de Steffensen y produce convergencia cuadrática.
Limitar el comportamiento
Tras la iteración, uno puede encontrar que hay conjuntos que se encogen y convergen hacia un solo punto. En tal caso, el punto al que converge se conoce como un punto fijo atractivo . Por el contrario, la iteración puede dar la apariencia de puntos que se alejan de un solo punto; este sería el caso de un punto fijo inestable . [10] Cuando los puntos de la órbita convergen a uno o más límites, el conjunto de puntos de acumulación de la órbita se conoce como conjunto de límites o conjunto de límites ω .
Las ideas de atracción y repulsión se generalizan de manera similar; uno puede categorizar itera en conjuntos estables y conjuntos inestables , de acuerdo con el comportamiento de pequeños vecindarios bajo iteración. (Consulte también Composiciones infinitas de funciones analíticas ).
Son posibles otros comportamientos limitantes; por ejemplo, los puntos errantes son puntos que se alejan y nunca vuelven ni siquiera cerca de donde comenzaron.
Medida invariante
Si se considera la evolución de una distribución de densidad, en lugar de la dinámica de puntos individuales, entonces el comportamiento limitante viene dado por la medida invariante . Puede visualizarse como el comportamiento de una nube de puntos o una nube de polvo en repetidas iteraciones. La medida invariante es un estado propio del operador de Ruelle-Frobenius-Perron o del operador de transferencia , correspondiente a un valor propio de 1. Los valores propios más pequeños corresponden a estados inestables en descomposición.
En general, debido a que la iteración repetida corresponde a un turno, el operador de transferencia y su adjunto, el operador de Koopman puede interpretarse como la acción de los operadores de turno en un espacio de turno . La teoría de los subdesplazamientos de tipo finito proporciona una visión general de muchas funciones iteradas, especialmente las que conducen al caos.
Iteraciones y flujos fraccionales e iteraciones negativas
La noción f 1 / n debe usarse con cuidado cuando la ecuación g n ( x ) = f ( x ) tiene múltiples soluciones, que es normalmente el caso, como en la ecuación de Babbage de las raíces funcionales del mapa de identidad. Por ejemplo, para n = 2 y f ( x ) = 4 x - 6 , tanto g ( x ) = 6 - 2 x como g ( x ) = 2 x - 2 son soluciones; por lo que la expresión f ½ ( x ) no denota una función única, al igual que los números tienen múltiples raíces algebraicas. El problema es bastante similar a la expresión " 0/0 " en aritmética. Siempre se puede obtener una raíz trivial de f si el dominio de f puede extenderse lo suficiente, cf. imagen. Las raíces elegidas son normalmente las que pertenecen a la órbita en estudio.
Se puede definir la iteración fraccional de una función: por ejemplo, la mitad de una iteración de una función f es una función g tal que g ( g ( x )) = f ( x ) . [11] Esta función g ( x ) se puede escribir usando la notación de índice como f ½ ( x ) . De manera similar, f ⅓ ( x ) es la función definida tal que f ⅓ ( f ⅓ ( f ⅓ ( x ))) = f ( x ) , mientras que f ⅔ ( x ) puede definirse como igual af ⅓ ( f ⅓ ( x )) , y así sucesivamente, todo basado en el principio, mencionado anteriormente, de que f m ○ f n = f m + n . Esta idea se puede generalizar de modo que el recuento de iteraciones n se convierta en un parámetro continuo , una especie de "tiempo" continuo de una órbita continua . [12] [13]
En tales casos, uno se refiere al sistema como un flujo . (cf. Sección sobre conjugación a continuación).
Las iteraciones negativas corresponden a las funciones inversas y sus composiciones. Por ejemplo, f −1 ( x ) es el inverso normal de f , mientras que f −2 ( x ) es el inverso compuesto de sí mismo, es decir, f −2 ( x ) = f −1 ( f −1 ( x )) . Las iteraciones fraccionarias negativas se definen de manera análoga a las fraccionarias positivas; por ejemplo, f −½ ( x ) se define de manera que f - ½ ( f −½ ( x )) = f −1 ( x ) , o, de manera equivalente, tal que f −½ ( f ½ ( x )) = f 0 ( x ) = x .
Algunas fórmulas para iteración fraccionaria
Uno de los varios métodos para encontrar una fórmula en serie para la iteración fraccionaria, haciendo uso de un punto fijo, es el siguiente. [14]
- Primero, determine un punto fijo para la función tal que f ( a ) = a .
- Defina f n ( a ) = a para todos los n que pertenecen a los reales. Esta, de alguna manera, es la condición adicional más natural para colocar sobre las iteraciones fraccionarias.
- Expanda f n ( x ) alrededor del punto fijo a como una serie de Taylor ,
- Expandir
- Sustituye f k ( a ) = a , para cualquier k ,
- Usa la progresión geométrica para simplificar términos,
- Hay un caso especial cuando f '(a) = 1 ,
Esto puede llevarse a cabo indefinidamente, aunque de manera ineficiente, ya que estos últimos términos se vuelven cada vez más complicados. En la siguiente sección sobre Conjugado se describe un procedimiento más sistemático .
Ejemplo 1
Por ejemplo, establecer f ( x ) = Cx + D da el punto fijo a = D / (1 - C ) , por lo que la fórmula anterior termina en solo
que es trivial de comprobar.
Ejemplo 2
Encuentra el valor de donde esto se hace n veces (y posiblemente los valores interpolados cuando n no es un número entero). Tenemos f ( x ) = √ 2 x . Un punto fijo es a = f (2) = 2 .
Entonces, establezca x = 1 y f n (1) expandido alrededor del valor de punto fijo de 2 es entonces una serie infinita,
lo cual, tomando sólo los primeros tres términos, es correcto hasta el primer lugar decimal cuando n es positivo — cfr. Tetración : f n (1) = n √ 2 . (El uso del otro punto fijo a = f (4) = 4 hace que la serie diverja).
Para n = −1 , la serie calcula la función inversa 2 +en x/En 2.
Ejemplo 3
Con la función f ( x ) = x b , expanda alrededor del punto fijo 1 para obtener la serie
que es simplemente la serie de Taylor de x ( b n ) expandida alrededor de 1.
Conjugado
Si f y g son dos funciones iteradas, y existe un homeomorfismo h tal que g = h −1 ○ f ○ h , entonces se dice que f y g están topológicamente conjugadas .
Claramente, la conjugación topológica se conserva en iteración, como g n = h −1 ○ f n ○ h . Por lo tanto, si uno puede resolver para un sistema de función iterada, también tiene soluciones para todos los sistemas conjugados topológicamente. Por ejemplo, el mapa de la tienda está topológicamente conjugado con el mapa logístico . Como caso especial, tomando f ( x ) = x + 1 , se tiene la iteración de g ( x ) = h −1 ( h ( x ) + 1) como
- g n ( x ) = h −1 ( h ( x ) + n ) , para cualquier función h .
Al hacer la sustitución x = h −1 ( y ) = ϕ ( y ) se obtiene
- g ( ϕ ( y )) = ϕ ( y +1) , una forma conocida como la ecuación de Abel .
Incluso en ausencia de un homeomorfismo estricto, cerca de un punto fijo, aquí se considera que está en x = 0, f (0) = 0, a menudo se puede resolver [15] la ecuación de Schröder para una función Ψ, lo que hace que f ( x ) conjugar localmente a una mera dilatación, g ( x ) = f '(0) x , es decir
- f ( x ) = Ψ −1 ( f '(0) Ψ ( x )) .
Por lo tanto, su órbita de iteración, o flujo, según las disposiciones adecuadas (por ejemplo, f '(0) ≠ 1 ), equivale al conjugado de la órbita del monomio,
- Ψ -1 ( f '(0) n Ψ ( x )) ,
donde n en esta expresión sirve como un exponente simple: ¡la iteración funcional se ha reducido a una multiplicación! Aquí, sin embargo, el exponente n ya no necesita ser entero o positivo, y es un "tiempo" continuo de evolución para la órbita completa: [16] el monoide de la secuencia de Picard (cf. semigrupo de transformación ) se ha generalizado a un continuo completo grupo . [17]
Este método (determinación perturbativa de la función propia principal Ψ, cf. matriz de Carleman ) es equivalente al algoritmo de la sección anterior, aunque, en la práctica, más potente y sistemático.
Cadenas de Markov
Si la función es lineal y puede describirse mediante una matriz estocástica , es decir, una matriz cuyas filas o columnas suman uno, entonces el sistema iterado se conoce como cadena de Markov .
Ejemplos de
Hay muchos mapas caóticos . Las funciones iteradas más conocidas incluyen el conjunto de Mandelbrot y los sistemas de funciones iteradas .
Ernst Schröder , [19] en 1870, elaboró casos especiales del mapa logístico , como el caso caótico f ( x ) = 4 x (1 - x ) , de modo que Ψ ( x ) = arcsin 2 ( √ x ) , por tanto, f n ( x ) = sen 2 (2 n arcsin ( √ x )) .
Un caso no caótico que Schröder también ilustró con su método, f ( x ) = 2 x (1 - x ) , arrojó Ψ ( x ) = - 1/2 ln (1-2 x ) , y por tanto f n ( x ) = - 1/2((1-2 x ) 2 norte - 1) .
Si f es la acción de un elemento de grupo en un conjunto, entonces la función iterada corresponde a un grupo libre .
La mayoría de las funciones no tienen expresiones generales explícitas de forma cerrada para la n -ésima iteración. La siguiente tabla enumera algunos [19] que sí lo hacen. Tenga en cuenta que todas estas expresiones son válidas incluso para no entero y negativo n , así como un número entero no negativo n .
(ver nota) | dónde: |
(ver nota) | dónde: |
( ecuación de diferencia racional ) [20] | dónde: |
( ecuación genérica de Abel ) | |
|
Nota: estos dos casos especiales de ax 2 + bx + c son los únicos casos que tienen una solución de forma cerrada. La elección de b = 2 = - una y b = 4 = - una , respectivamente, les reduce aún más a los casos logísticos nonchaotic y caóticas discutido antes de la tabla.
Algunos de estos ejemplos están relacionados entre sí por simples conjugaciones. En la ref. [21]
Medios de estudio
Las funciones iteradas se pueden estudiar con la función zeta de Artin-Mazur y con operadores de transferencia .
En ciencias de la computación
En ciencias de la computación , las funciones iteradas ocurren como un caso especial de funciones recursivas , que a su vez anclan el estudio de temas tan amplios como el cálculo lambda , o temas más específicos, como la semántica denotacional de los programas de computación.
Definiciones en términos de funciones iteradas
Se pueden definir dos funcionales importantes en términos de funciones iteradas. Estos son resumen :
y el producto equivalente:
Derivado funcional
La derivada funcional de una función iterada viene dada por la fórmula recursiva:
Ecuación de transporte de datos de Lie
Las funciones iteradas surgen en la expansión en serie de funciones combinadas, como g ( f ( x )) .
Dada la velocidad de iteración , o función beta (física) ,
para el n º iterate de la función f , tenemos [22]
Por ejemplo, para la advección rígida, si f ( x ) = x + t , entonces v ( x ) = t . En consecuencia, g ( x + t ) = exp ( t ∂ / ∂ x ) g ( x ) , acción de un operador de cambio simple .
A la inversa, se puede especificar f ( x ) dado un v ( x ) arbitrario , a través de la ecuación genérica de Abel discutida anteriormente,
dónde
Esto es evidente al señalar que
Para el índice de iteración continua t , entonces, ahora escrito como un subíndice, esto equivale a la célebre realización exponencial de Lie de un grupo continuo,
La velocidad de flujo inicial v es suficiente para determinar todo el flujo, dada esta realización exponencial que proporciona automáticamente la solución general a la ecuación funcional de traslación , [23]
Ver también
- Rotación irracional
- Sistema de funciones iteradas
- Método iterativo
- Número de rotación
- Teorema de Sarkovskii
- Cálculo fraccional
- Relación de recurrencia
- Ecuación de Schröder
- Raíz cuadrada funcional
- Función abel
- Composiciones infinitas de funciones analíticas
- Flujo (matemáticas)
- Tetración
Notas
- ↑ La notación n f ( x ) de Alfred Pringsheim y Jules Molk (1907)para denotar composiciones de funciones no debe confundirse con la notación n x de Rudolf von Bitter Rucker (1982), introducida por Hans Maurer (1901) y Reuben Louis Goodstein (1947) para la tetración , o con lanotación n x pre-superíndice de David Patterson Ellerman (1995)para las raíces .
Referencias
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[…] §473. Logaritmos iterados […] Observamos aquí el simbolismo utilizado por Pringsheim y Molk en su artículo conjunto de la Encyclopédie : " 2 log b a = log b (log b a ),…, k +1 log b a = log b ( k log b a ). " [a] […] §533. La notación de John Herschel para funciones inversas, sen −1 x , tan −1 x , etc., fue publicada por él en Philosophical Transactions of London , para el año 1813. Dice ( p. 10 ): "Esta notación cos . −1 e no debe entenderse en el sentido de 1 / cos. E , sino que lo que generalmente se escribe así, arc (cos. = E ). " Admite que algunos autores utilizan cos. m A para (cos. A ) m , pero justifica su propia notación señalando que dado que d 2 x , Δ 3 x , Σ 2 x significan dd x , ΔΔΔ x , ΣΣ x , debemos escribir sin. 2 x por el pecado. pecado. x , log. 3 x para registro. Iniciar sesión. Iniciar sesión. x . Así como escribimos d - n V = ∫ n V, podemos escribir de manera similar sin. −1 x = arco (sin. = X ), log. −1 x . = C x . Algunos años después, Herschel explicó que en 1813 usó f n ( x ), f - n ( x ), sin. −1 x , etc. ", como supuso entonces por primera vez. Sin embargo, el trabajo de un analista alemán, Burmann , ha llegado a su conocimiento dentro de estos pocos meses, en los que el mismo se explica en una fecha considerablemente anterior Él [Burmann], sin embargo, no parece haber notado la conveniencia de aplicar esta idea a las funciones inversas tan −1 , etc., ni parece en absoluto consciente del cálculo inverso de funciones a las que da lugar. " Herschel añade: "La simetría de esta notación y, sobre todo, las nuevas y más amplias visiones que abre sobre la naturaleza de las operaciones analíticas parecen autorizar su adopción universal". [b] […] §535. Persistencia de notaciones rivales para función inversa. - […] El uso de la notación de Herschel sufrió un ligero cambio en los libros de Benjamin Peirce , para eliminar la principal objeción a ellos; Peirce escribió: "cos [-1] x ", "log [-1] x ". [c] […] §537. Potencias de las funciones trigonométricas. —Se han utilizado tres notaciones principales para denotar, digamos, el cuadrado de sen x , a saber, (sen x ) 2 , sen x 2 , sen 2 x . La notación predominante en la actualidad es sen 2 x , aunque es menos probable que la primera se malinterprete. En el caso de sen 2 x se sugieren dos interpretaciones; primero, sen x · sen x ; segundo, [d] sen (sen x ). Como las funciones del último tipo no suelen presentarse por sí mismas, el peligro de una mala interpretación es mucho menor que en el caso de log 2 x , donde log x · log x y log (log x ) son frecuentes en el análisis. […] La notación sen n x para (sen x ) n ha sido ampliamente utilizada y ahora es la predominante. […]
(xviii + 367 + 1 páginas incluyendo 1 página de adenda) (NB. ISBN y enlace para reimpresión de la 2da edición por Cosimo, Inc., Nueva York, EE. UU., 2013). - ^ Herschel, John Frederick William (1813) [12 de noviembre de 1812]. "Sobre una aplicación notable del teorema de Cotes" . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . Londres: Royal Society of London , impreso por W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, vendido por G. y W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Parte 1): 8-26 [10]. doi : 10.1098 / rstl.1813.0005 . JSTOR 107384 . S2CID 118124706 .
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