La ecuación de Abel , que lleva el nombre de Niels Henrik Abel , es un tipo de ecuación funcional que se puede escribir en la forma
o equivalente,
y controla la iteración de f .
Equivalencia
Estas ecuaciones son equivalentes. Suponiendo que α es una función invertible , la segunda ecuación se puede escribir como
Tomando x = α −1 ( y ) , la ecuación se puede escribir como
Para una función f ( x ) que se supone conocida, la tarea es resolver la ecuación funcional para la función α −1 ≡ h , posiblemente satisfaciendo requisitos adicionales, como α −1 (0) = 1 .
El cambio de variables s α ( x ) = Ψ ( x ) , para un parámetro real s , trae la ecuación de Abel a la célebre ecuación de Schröder , Ψ ( f ( x )) = s Ψ ( x ) .
El cambio adicional F ( x ) = exp ( s α ( x ) ) en la ecuación de Böttcher , F ( f ( x )) = F ( x ) s .
La ecuación de Abel es un caso especial de (y se generaliza fácilmente a) la ecuación de traslación , [1]
por ejemplo, para ,
- . (Observe ω ( x , 0) = x .)
La función de Abel α ( x ) proporciona además la coordenada canónica para los flujos advectivos de Lie ( grupos de Lie de un parámetro ).
Historia
Inicialmente, se informó la ecuación en la forma más general [2] [3] . Incluso en el caso de una sola variable, la ecuación no es trivial y admite un análisis especial. [4] [5] [6]
En el caso de una función de transferencia lineal, la solución se puede expresar de forma compacta. [7]
Casos especiales
La ecuación de tetración es un caso especial de la ecuación de Abel, con f = exp .
En el caso de un argumento entero, la ecuación codifica un procedimiento recurrente, por ejemplo,
y así,
Soluciones
- solución formal: única (a una constante) [8] (No estoy seguro, porque si es la solución, entonces , dónde , también es la solución [9] .)
- soluciones analíticas (coordenadas de Fatou) = aproximación por expansión asintótica de una función definida por series de potencias en los sectores alrededor del punto fijo parabólico [10]
- Existencia: la ecuación de Abel tiene al menos una solución en si y solo si , dónde , n veces. [11]
Las coordenadas de Fatou describen la dinámica local de un sistema dinámico discreto cerca de un punto fijo parabólico .
Ver también
Referencias
- ^ Aczél, János , (1966): Conferencias sobre ecuaciones funcionales y sus aplicaciones , Academic Press , reimpreso por Dover Publications, ISBN 0486445232 .
- ^ Abel, NH (1826). "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f (x, y), welche die Eigenschaft haben, ..." Revista für die reine und angewandte Mathematik . 1 : 11-15.
- ^ AR Schweitzer (1912). "Teoremas de ecuaciones funcionales" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 19 (2): 51–106. doi : 10.1090 / S0002-9904-1912-02281-4 .
- ↑ Korkine, A (1882). "Sur un problema de interpolación", Bull Sci Math & Astron 6 (1) 228—242. en línea
- ^ G. Belitskii; Yu. Lubish (1999). "Las soluciones analíticas reales de las ecuaciones funcionales de Abel" (PDF) . Studia Mathematica . 134 (2): 135-141.
- ^ Jitka Laitochová (2007). "Grupo de iteración para la ecuación funcional de Abel". Análisis no lineal: sistemas híbridos . 1 (1): 95–102. doi : 10.1016 / j.nahs.2006.04.002 .
- ^ G. Belitskii; Yu. Lubish (1998). "La ecuación de Abel y la solubilidad total de ecuaciones funcionales lineales" (PDF) . Studia Mathematica . 127 : 81–89.
- ^ Clasificaciones de gérmenes parabólicos y propiedades fractales de órbitas por Maja Resman, Universidad de Zagreb, Croacia
- ^ R. Tambs Lyche, ÉTUDES SUR L'ÉQUATION FONCTIONNELLE D'ABEL DANS LE CAS DES FONCTIONS RÉELLES., Universidad de Trondlyim, Norvege
- ^ Dudko, Artem (2012). Dinámica de los mapas holomórficos: resurgimiento de las coordenadas de Fatou y computabilidad politemporal de Julia establece Ph.D. Tesis
- ^ R. Tambs Lyche, Sur l'équation fonctionnelle d'Abel, Universidad de Trondlyim, Norvege