En matemáticas , un álgebra Jónsson-Tarski o álgebra Cantor es una estructura algebraica que codifica una biyección a partir de un conjunto infinito X sobre el producto X × X . Fueron presentados por Bjarni Jónsson y Alfred Tarski ( 1961 , Teorema 5). Smirnov ( 1971 ), los nombró en honor a Georg Cantor debido a la función de emparejamiento de Cantor y el teorema de Cantor de que un conjunto infinito X tiene el mismo número de elementos que X× X . El término álgebra de Cantor también se usa ocasionalmente para referirse al álgebra booleana de todos los subconjuntos abiertos del conjunto de Cantor , o al álgebra booleana de los subconjuntos de Borel de los conjuntos reales módulo magro (a veces llamado álgebra de Cohen ).
El grupo de automorfismos orden de preservación de la libre álgebra Jónsson-Tarski en un generador es el Thompson grupo F .
Definición
Un álgebra de Jónsson-Tarski de tipo 2 es un conjunto A con un producto w de A × A a A y dos mapas de 'proyección' p 1 y p 2 de A a A , satisfaciendo p 1 ( w ( a 1 , a 2 ) ) = a 1 , p 2 ( w ( a 1 , a 2 )) = a 2 , yw ( p 1 ( a ), p 2 ( a )) = a . La definición de tipo> 2 es similar pero con n operadores de proyección.
Ejemplo
Si w es cualquier biyección de A × A a A, entonces puede extenderse a un álgebra de Jónsson-Tarski única haciendo que p i ( a ) sea la proyección de w −1 ( a ) sobre el i- ésimo factor.
Referencias
- Jónsson, Bjarni; Tarski, Alfred (1961), "Sobre dos propiedades de las álgebras libres" , Matemáticas. Scand. , 9 : 95–101, MR 0126399 , Zbl 0111.02002
- Smirnov, DM (1971), "Álgebras de Cantor con un generador. I.", Álgebra y lógica , 10 : 40–49, doi : 10.1007 / BF02217801 , MR 0296006 , Zbl 0223.08006