variedad jacobiana
En matemáticas , la variedad jacobiana J ( C ) de una curva algebraica no singular C de género g es el espacio de módulos de paquetes de líneas de grado 0 . Es el componente conexo de la identidad en el grupo Picard de C , por lo tanto, una variedad abeliana .
La variedad jacobiana lleva el nombre de Carl Gustav Jacobi , quien demostró la versión completa del teorema de Abel-Jacobi , convirtiendo el enunciado de inyectividad de Niels Abel en un isomorfismo. Es una variedad abeliana principalmente polarizada , de dimensión g , y por lo tanto, sobre los números complejos, es un toro complejo . Si p es un punto de C , entonces la curva C se puede mapear a una subvariedad de J con el punto p dado mapeando a la identidad de J , y C genera Jcomo grupo _
Sobre los números complejos, la variedad jacobiana se puede realizar como el espacio cociente V / L , donde V es el dual del espacio vectorial de todos los diferenciales holomorfos globales en C y L es la red de todos los elementos de V de la forma
con incrustado en a través del mapa de arriba. Esto se puede hacer explícitamente con el uso de funciones theta . [1]
El jacobiano de una curva sobre un campo arbitrario fue construido por Weil (1948) como parte de su prueba de la hipótesis de Riemann para curvas sobre un campo finito.
El teorema de Abel-Jacobi establece que el toro así construido es una variedad, el jacobiano clásico de una curva, que efectivamente parametriza los haces de líneas de grado 0, es decir, se puede identificar con su variedad Picard de divisores de grado 0 módulo de equivalencia lineal.