James W. Cannon (nacido el 30 de enero de 1943) es un matemático estadounidense que trabaja en las áreas de topología de baja dimensión y teoría de grupos geométricos . Fue profesor de matemáticas Orson Pratt en la Universidad Brigham Young .
James W. Cannon | |
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Nació | |
Nacionalidad | americano |
Ciudadanía | Estados Unidos |
alma mater | Doctor. (1969), Universidad de Utah |
Conocido por | trabajo en topología de baja dimensión , teoría de grupos geométricos |
Premios | Miembro de la beca Sloan de la American Mathematical Society |
Carrera científica | |
Campos | Matemáticas |
Instituciones | Universidad de Wisconsin-Madison Universidad Brigham Young |
Asesor de doctorado | Cecil Burgess |
Estudiantes de doctorado | Colin Adams |
Datos biograficos
James W. Cannon nació el 30 de enero de 1943 en Bellefonte , Pensilvania . [1] Cannon recibió un doctorado. en Matemáticas de la Universidad de Utah en 1969, bajo la dirección de C. Edmund Burgess.
Fue profesor en la Universidad de Wisconsin, Madison de 1977 a 1985. [1] En 1986, Cannon fue nombrado profesor de Matemáticas Orson Pratt en la Universidad Brigham Young . [2] Ocupó este cargo hasta su jubilación en septiembre de 2012. [3]
Cannon pronunció un discurso invitado por AMS en la reunión de la American Mathematical Society en Seattle en agosto de 1977, un discurso invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos en Helsinki 1978, y pronunció las Conferencias Hedrick de la Asociación Matemática de América de 1982 en Toronto , Canadá. [1] [4]
Cannon fue elegido miembro del American Mathematical Society Council en 2003 con el término de servicio del 1 de febrero de 2004 al 31 de enero de 2007. [2] [5] En 2012 se convirtió en miembro de la American Mathematical Society . [6]
En 1993, Cannon pronunció la trigésima conferencia anual Karl G. Maeser Distinguished Faculty en la Universidad Brigham Young . [7]
James Cannon es un miembro devoto de La Iglesia de Jesucristo de los Santos de los Últimos Días . [8]
Contribuciones matemáticas
Trabajo temprano
El trabajo inicial de Cannon se centró en los aspectos topológicos de las superficies incrustadas en R 3 y en la comprensión de la diferencia entre superficies "mansas" y "salvajes".
Su primer resultado famoso se produjo a finales de la década de 1970 cuando Cannon dio una solución completa a un problema de "doble suspensión" de larga data planteado por John Milnor . Cannon demostró que la doble suspensión de una esfera de homología es una esfera topológica. [9] [10] RD Edwards ya había probado esto en muchos casos.
Los resultados del artículo de Cannon [10] fueron utilizados por Cannon, Bryant y Lacher para probar (1979) [11] un caso importante de la llamada conjetura de caracterización de variedades topológicas. La conjetura dice que una variedad n generalizada , dónde , que satisface la "propiedad de disco disjunto" es una variedad topológica. Cannon, Bryant y Lacher establecieron [11] que la conjetura es válida bajo el supuesto de que ser una variedad excepto posiblemente en un conjunto de dimensiones . Más tarde, Frank Quinn [12] completó la prueba de que la conjetura de la caracterización es válida incluso si hay un solo punto múltiple. En general, la conjetura es falsa, como lo demostraron John Bryant, Steven Ferry, Washington Mio y Shmuel Weinberger . [13]
Década de 1980: geometría hiperbólica, tres variedades y teoría de grupos geométricos
En la década de 1980, el enfoque del trabajo de Cannon se trasladó al estudio de las variedades tridimensionales , la geometría hiperbólica y los grupos kleinianos, y se le considera una de las figuras clave en el nacimiento de la teoría de grupos geométricos como un tema diferenciado a fines de la década de 1980 y principios de la de 1990. El artículo de Cannon de 1984 "La estructura combinatoria de los grupos hiperbólicos discretos cocompactos" [14] fue uno de los precursores en el desarrollo de la teoría de los grupos hiperbólicos de palabras , una noción que se introdujo y desarrolló tres años después en una monografía seminal de 1987 de Mikhail. Gromov . [15] El artículo de Cannon exploró aspectos combinatorios y algorítmicos de los gráficos de Cayley de grupos kleinianos y los relacionó con las características geométricas de las acciones de estos grupos en el espacio hiperbólico . En particular, Cannon demostró que los grupos kleinianos cocompactos convexos admiten presentaciones finitas donde el algoritmo de Dehn resuelve el problema verbal . La última condición resultó más tarde dar una caracterización equivalente de ser hiperbólico de palabras y, además, la demostración original de Cannon esencialmente se realizó sin cambios para mostrar que el problema de palabras en grupos hiperbólicos de palabras se puede resolver mediante el algoritmo de Dehn. [16] El artículo de Cannon de 1984 [14] también introdujo una noción importante de un tipo de cono de un elemento de un grupo generado finitamente (aproximadamente, el conjunto de todas las extensiones geodésicas de un elemento). Cannon demostró que un grupo kleiniano convexo-cocompacto tiene sólo un número finito de tipos de conos (con respecto a un conjunto generador finito fijo de ese grupo) y mostró cómo utilizar este hecho para concluir que la serie de crecimiento del grupo es una función racional . Estos argumentos también resultaron generalizarse al contexto del grupo de palabras hiperbólicas . [15] Ahora las pruebas estándar [17] del hecho de que el conjunto de palabras geodésicas en un grupo hiperbólico de palabras es un lenguaje regular también usan la finitud del número de tipos de conos.
El trabajo de Cannon también introdujo una noción importante de casi convexidad para los gráficos de Cayley de grupos generados finitamente , [18] una noción que condujo a estudios y generalizaciones sustanciales. [19] [20] [21]
Un artículo influyente de Cannon y William Thurston "Group invariant Peano curves", [22] que circuló por primera vez en forma preimpresa a mediados de la década de 1980, [23] introdujo la noción de lo que ahora se llama el mapa Cannon-Thurston . Consideraron el caso de un cerrado hiperbólica 3-colector M que las fibras más el círculo con la fibra de ser una superficie hiperbólica cerrada S . En este caso, la cubierta universal de S , que se identifica con el plano hiperbólico , admite una incrustación en la cubierta universal de M , que es el 3-espacio hiperbólico . Cannon y Thurston demostraron que esta incrustación se extiende a un mapa sobreyectivo continuo π 1 ( S ) -equivariante (ahora llamado mapa de Cannon-Thurston ) desde el límite ideal del plano hiperbólico (el círculo) hasta el límite ideal del hiperbólico 3- espacio (la 2-esfera ). Aunque el artículo de Cannon y Thurston finalmente se publicó solo en 2007, mientras tanto ha generado una considerable investigación adicional y una serie de generalizaciones significativas (tanto en el contexto de los grupos kleinianos como de los grupos hiperbólicos de palabras), incluido el trabajo de Mahan Mitra , [24] [25] Erica Klarreich, [26] Brian Bowditch [27] y otros.
Décadas de 1990 y 2000: grupos automáticos, geometría conforme discreta y conjetura de Cannon
Cannon fue uno de los coautores del libro de 1992 Procesamiento de textos en grupos [17] que introdujo, formalizó y desarrolló la teoría de los grupos automáticos . La teoría de los grupos automáticos trajo nuevas ideas computacionales desde la informática hasta la teoría de grupos geométricos y jugó un papel importante en el desarrollo de la asignatura en la década de 1990.
Un artículo de Cannon de 1994 dio una prueba del " teorema de mapeo combinatorio de Riemann " [28] que fue motivado por el teorema clásico de mapeo de Riemann en el análisis complejo . El objetivo era comprender cuándo una acción de un grupo por homeomorfismos en una 2-esfera es (hasta una conjugación topológica) una acción en la esfera de Riemann estándar por transformaciones de Möbius . El "teorema de mapeo combinatorio de Riemann" de Cannon dio un conjunto de condiciones suficientes cuando una secuencia de subdivisiones combinatorias cada vez más finas de una superficie topológica determina, en el sentido apropiado y después de pasar al límite, una estructura conforme real en esa superficie. Este artículo de Cannon llevó a una conjetura importante, primero formulada explícitamente por Cannon y Swenson en 1998 [29] (pero también sugerida de forma implícita en la Sección 8 del artículo de Cannon de 1994) y ahora conocida como la conjetura de Cannon , con respecto a la caracterización de grupos hiperbólicos de palabras con la 2-esfera como límite. La conjetura (Conjetura 5.1 en [29] ) establece que si el límite ideal de un grupo hiperbólico de palabras G es homeomórfico a la 2-esfera , entonces G admite una acción isométrica cocompacta propiamente discontinua en el 3-espacio hiperbólico (de modo que G es esencialmente un grupo kleiniano tridimensional ). En términos analíticos, la conjetura de Cannon equivale a decir que si el límite ideal de un grupo hiperbólico de palabras G es homeomórfico a la esfera 2, entonces este límite, con la métrica visual que proviene del gráfico de Cayley de G , es cuasimétrico al estándar 2 -esfera.
El artículo de 1998 de Cannon y Swenson [29] dio una aproximación inicial a esta conjetura al demostrar que la conjetura es válida bajo una suposición adicional de que la familia de "discos" estándar en el límite del grupo satisface una propiedad "conforme" combinatoria. El resultado principal del artículo de Cannon de 1994 [28] jugó un papel clave en la demostración. Este enfoque de la conjetura de Cannon y los problemas relacionados fue impulsado más adelante en el trabajo conjunto de Cannon, Floyd y Parry. [30] [31] [32]
La conjetura de Cannon motivó gran parte del trabajo posterior de otros matemáticos y en un grado sustancial informó la interacción posterior entre la teoría de grupos geométricos y la teoría del análisis en espacios métricos. [33] [34] [35] [36] [37] [38] La conjetura de Cannon fue motivada (ver [29] ) por la Conjetura de geometrización de Thurston y al tratar de entender por qué en la dimensión tres la curvatura negativa variable puede promoverse a una constante negativa curvatura. Aunque la conjetura de la geometrización fue resuelta recientemente por Perelman , la conjetura de Cannon permanece abierta y se considera uno de los principales problemas abiertos pendientes en la teoría de grupos geométricos y la topología geométrica .
Aplicaciones a la biología
Las ideas de geometría conformal combinatoria que subyacen a la demostración de Cannon del "teorema de mapeo combinatorio de Riemann", [28] fueron aplicadas por Cannon, Floyd y Parry (2000) al estudio de patrones de crecimiento a gran escala de organismos biológicos. [39] Cannon, Floyd y Parry produjeron un modelo de crecimiento matemático que demostró que algunos sistemas determinados por reglas simples de subdivisión finita pueden dar como resultado objetos (en su ejemplo, un tronco de árbol) cuya forma a gran escala oscila salvajemente con el tiempo a pesar de que el local las leyes de subdivisión siguen siendo las mismas. [39] Cannon, Floyd y Parry también aplicaron su modelo al análisis de los patrones de crecimiento del tejido de las ratas. [39] Sugirieron que la naturaleza "curvada negativamente" (o no euclidiana) de los patrones de crecimiento microscópicos de los organismos biológicos es una de las razones clave por las que los organismos a gran escala no parecen cristales o formas poliédricas, pero de hecho en muchos casos parecen fractales auto-similares . [39] En particular, sugirieron (ver sección 3.4 de [39] ) que tal estructura local "curvada negativamente" se manifiesta en la naturaleza altamente plegada y altamente conectada del cerebro y el tejido pulmonar.
Publicaciones Seleccionadas
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- Cannon, James W. (1987), "Grupos casi convexos", Geometriae Dedicata , 22 (2): 197-210, doi : 10.1007 / BF00181266 , MR 0877210 , S2CID 121345025
- Epstein, David BA; Cannon, James W., Holt, Derek F .; Levy, Silvio V .; Paterson, Michael S .; Thurston, William P. (1992), Procesamiento de textos en grupos. , Boston, MA: Jones y Bartlett Publishers, ISBN 978-0-86720-244-1Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- Cannon, James W. (1994), "El teorema de mapeo combinatorio de Riemann", Acta Mathematica , 173 (2): 155-234, doi : 10.1007 / BF02398434 , MR 1301392
- Cannon, James W .; Thurston, William P. (2007), "Group invariant Peano curves.", Geometry & Topology , 11 (3): 1315-1355, doi : 10.2140 / gt.2007.11.1315 , MR 2326947
Ver también
- Teoría de grupos geométricos
- Topología de baja dimensión
- Grupo hiperbólico de palabras
- Conjetura de geometrización
- Colector hiperbólico
- Grupo kleiniano
Referencias
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enlaces externos
- James W. Cannon en el Proyecto de genealogía matemática
- Página web de James Cannon en BYU