En el análisis armónico en matemáticas , una función de oscilación media acotada , también conocida como función BMO , es una función de valor real cuya oscilación media es acotada (finita). El espacio de funciones de oscilación media acotada ( BMO ), es un espacio de funciones que, en algún sentido preciso, juega el mismo papel en la teoría de los espacios de Hardy H p que el espacio L ∞ de funciones esencialmente acotadas juega en la teoría de L p -espacios : también se le llamaEspacio de John-Nirenberg , en honor a Fritz John y Louis Nirenberg , quienes lo introdujeron y estudiaron por primera vez.
Según Nirenberg (1985 , p. 703 y p. 707), [1] John (1961 , pp. 410–411) introdujo el espacio de funciones de oscilación media acotada en relación con sus estudios de aplicaciones de un conjunto acotado . Ω perteneciente a R n en R n y los problemas correspondientes que surgen de la teoría de la elasticidad , precisamente del concepto de deformación elástica : la notación básica fue introducida en un artículo muy cercano por John & Nirenberg (1961) , [2]donde se probaron varias propiedades de los espacios de esta función. El siguiente paso importante en el desarrollo de la teoría fue la prueba de Charles Fefferman [3] de la dualidad entre BMO y el espacio de Hardy H 1 , en el destacado artículo Fefferman & Stein 1972 : una prueba constructiva de este resultado, introduciendo nuevos métodos y comenzando un mayor desarrollo de la teoría, fue dado por Akihito Uchiyama . [4]
Definición 1. La oscilación media de una función localmente integrable u sobre un hipercubo [5] Q en R n se define como el valor de la siguiente integral :
Definición 2. Una función BMO es una función localmente integrable u cuyo supremo de oscilación media , tomado sobre el conjunto de todos los cubos Q contenidos en R n , es finito.
nota 1 . El supremo de la oscilación media se denomina norma BMO de u . [6] y se denota por || tu || BMO (y en algunos casos también se denota || u || ∗ ).
nota 2 . El uso de cubos Q en R n como los dominios de integración en los que se calcula la oscilación media no es obligatorio: Wiegerinck (2001) usa pelotas en su lugar y, como señaló Stein (1993 , p. 140), al hacerlo, un surge una definición equivalente de funciones de oscilación media acotada.