En matemáticas , el elipsoide de John o elipsoide de Löwner-John E ( K ) asociado a un cuerpo convexo K en el espacio euclidiano n - dimensional R n puede referirse al elipsoide n- dimensional de volumen máximo contenido dentro de K o el elipsoide de volumen mínimo que contiene K .
A menudo, el elipsoide de volumen mínimo se denomina elipsoide de Löwner y el elipsoide de volumen máximo como elipsoide de John (aunque John trabajó con el elipsoide de volumen mínimo en su artículo original). [1] También se hace referencia al elipsoide de volumen mínimo circunscrito como el elipsoide exterior de Löwner-John y al elipsoide de volumen máximo inscrito como el elipsoide interior de Löwner-John . [2]
Propiedades
El elipsoide de John lleva el nombre del matemático germano-estadounidense Fritz John , quien demostró en 1948 que cada cuerpo convexo en R n contiene un elipsoide circunscrito único de volumen mínimo y que la dilatación de este elipsoide por el factor 1 / n está contenida dentro del convexo. cuerpo. [3]
El elipsoide interior de Löwner-John E ( K ) de un cuerpo convexo K ⊂ R n es una bola unitaria cerrada B en R n si y solo si B ⊆ K y existe un número entero m ≥ n y, para i = 1,. .., m , números reales c i > 0 y vectores unitarios u i ∈ S n −1 ∩ ∂ K tales que [4]
y, para todo x ∈ R n
Aplicaciones
La computación de elipsoides de Löwner-John tiene aplicaciones en la detección de colisiones de obstáculos para sistemas robóticos, donde la distancia entre un robot y su entorno circundante se estima utilizando un mejor ajuste de elipsoide. [5]
También tiene aplicaciones en optimización de carteras con costos de transacción. [6]
Ver también
- Banach-Mazur compactum : el conjunto de subespacios n-dimensionales de un espacio normado convertido en un espacio métrico compacto.
- Steiner inellipse , el caso especial del elipsoide interior de Löwner-John para un triángulo.
- Objeto gordo , relacionado con el radio de la bola contenida más grande.
Referencias
- ^ Güler, Osman; Gürtuna, Filiz (2012). "Simetría de conjuntos convexos y sus aplicaciones a los elipsoides extremos de cuerpos convexos" . Métodos y software de optimización . 27 (4–5): 735–759. doi : 10.1080 / 10556788.2011.626037 . ISSN 1055-6788 .
- ^ Ben-Tal, A. (2001). Conferencias sobre optimización convexa moderna: análisis, algoritmos y aplicaciones de ingeniería . Nemirovskiĭ, Arkadiĭ Semenovich. Filadelfia, PA: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. ISBN 0-89871-491-5. OCLC 46538510 .
- ^ John, Fritz. "Problemas extremos con las desigualdades como condiciones subsidiarias". Estudios y ensayos presentados a R. Courant en su 60 cumpleaños , 8 de enero de 1948, 187-204. Interscience Publishers, Inc., Nueva York, NY, 1948. OCLC 1871554 Señor30135
- ^ Ball, Keith M. (1992). "Elipsoides de volumen máximo en cuerpos convexos". Geom. Dedicata . 41 (2): 241–250. arXiv : matemáticas / 9201217 . doi : 10.1007 / BF00182424 . ISSN 0046-5755 .
- ^ Rimon, Elon; Boyd, Stephen (1997). "Detección de colisión de obstáculos utilizando el mejor ajuste de elipsoide". Revista de sistemas inteligentes y robóticos . 18 (2): 105-126. doi : 10.1023 / A: 1007960531949 .
- ^ Shen, Weiwei; Wang, junio (2015). "Optimización de la cartera consciente de los costes de transacción mediante una rápida aproximación elipsoide de Löwner-John" (PDF) . Actas de la Vigésima Novena Conferencia de la AAAI sobre Inteligencia Artificial (AAAI2015) : 1854–1860. Archivado desde el original (PDF) el 16 de enero de 2017.
- Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (electrónico). doi : 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2 . ISSN 0273-0979 .
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