En la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos , la ecuación de Joos-Weinberg es una ecuación de onda relativista aplicable a partículas libres de espín arbitrario j , un entero para bosones ( j = 1, 2, 3 ... ) o medio entero para fermiones ( j = 1 ⁄ 2 , 3 ⁄ 2 , 5 ⁄ 2 ... ). Las soluciones de las ecuaciones son funciones de onda., matemáticamente en forma de campos de espino multicomponente . El número cuántico de espín generalmente se denota por s en la mecánica cuántica, sin embargo, en este contexto, j es más típico en la literatura (ver referencias ).
Lleva el nombre de H. Joos y Steven Weinberg , encontrados a principios de la década de 1960. [1] [2]
Declaración
Introduciendo una matriz de 2 (2 j + 1) × 2 (2 j + 1) ; [2]
simétrico en cualesquiera dos índices de tensor, que generaliza las matrices gamma en la ecuación de Dirac, [1] [3] la ecuación es [4] [5]
o
( 4 )
Estructura del grupo Lorentz
Para las ecuaciones de JW, la representación del grupo de Lorentz es [6]
Esta representación tiene un giro definido j . Resulta que una partícula de espín j en esta representación también satisface las ecuaciones de campo. Estas ecuaciones son muy parecidas a las ecuaciones de Dirac. Es adecuado cuando las simetrías de conjugación de carga , simetría de inversión de tiempo y paridad son buenas.
Las representaciones D ( j , 0) y D (0, j ) pueden representar cada una por separado partículas de espín j . Un estado o campo cuántico en tal representación no satisfaría ninguna ecuación de campo excepto la ecuación de Klein-Gordon.
Descripción del tensor covariante de Lorentz de los estados de Weinberg-Joos
El espacio de representación spin-1 de seis componentes,
puede ser etiquetado por un par de índices de Lorentz antisimétricos, [ αβ ] , lo que significa que se transforma como un tensor de Lorentz antisimétrico de segundo rango es decir
El producto de Kronecker j- veces T [ α 1 β 1 ] ... [ α j β j ] de B [ αβ ]
( 8A )
se descompone en una serie finita de espacios de representación irreductibles de Lorentz según
y necesariamente contiene un sector. Este sector se puede identificar instantáneamente mediante un operador de proyector independiente del momento P ( j , 0) , diseñado a partir de C (1) , uno de los elementos de Casimir (invariantes) [7] del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. , que se definen como,
( 8B )
donde M μν son matrices constantes (2 j 1 +1) (2 j 2 +1) × (2 j 1 +1) (2 j 2 +1) que definen los elementos del álgebra de Lorentz dentro delrepresentaciones. Las etiquetas de las letras mayúsculas en latín indican [8] la dimensionalidad finita de los espacios de representación en consideración que describen los grados de libertad del momento angular interno ( giro ).
Los espacios de representación son vectores propios de C (1) en ( 8B ) según,
Aquí definimos:
para ser el valor propio C (1) delsector. Usando esta notación definimos el operador del proyector, P ( j , 0) en términos de C (1) : [8]
( 8C )
Estos proyectores se pueden emplear para buscar a través de T [ α 1 β 1 ] ... [ α j β j ] paray excluir a todos los demás. Las ecuaciones de onda relativistas de segundo orden para cualquier j se obtienen entonces directamente al identificar primero lasector en T [ α 1 β 1 ] ... [ α j β j ] en ( 8A ) por medio del proyector de Lorentz en ( 8C ) y luego imponiendo sobre el resultado la condición de capa de masa.
Este algoritmo está libre de condiciones auxiliares. El esquema también se extiende a giros de medio entero,en cuyo caso el producto de Kronecker de T [ α 1 β 1 ] ... [ α j β j ] con el espinor de Dirac,
tiene que ser considerado. La elección del tensor de Lorentz totalmente antisimétrico de segundo rango, B [ α i β i ] , en la ecuación anterior ( 8A ) es solo opcional. Es posible comenzar con múltiples productos de Kronecker de tensores de Lorentz de segundo rango totalmente simétricos, A α i β i . La última opción debería ser de interés en las teorías en las que los Los campos de Joos-Weinberg se acoplan preferiblemente a tensores simétricos, como el tensor métrico en la gravedad.
Un ejemplo [8]
La
transformándose en el tensor espinor de Lorenz de segundo rango,
Los generadores del grupo de Lorentz dentro de este espacio de representación se denotan por y dado por:
donde 1 [ αβ ] [ γδ ] representa la identidad en este espacio, 1 S y M S μν son el operador unitario respectivo y los elementos del álgebra de Lorentz dentro del espacio de Dirac, mientras que γ μ son las matrices gamma estándar . Los generadores de [ M AT μν ] [ αβ ] [ γδ ] se expresan en términos de los generadores en el cuatro-vector,
como
Entonces, la expresión explícita para el invariante de Casimir C (1) en ( 8B ) toma la forma,
y el proyector de Lorentz en (3 / 2,0) ⊕ (0,3 / 2) viene dado por,
En efecto, los (3 / 2,0) ⊕ (0,3 / 2) grados de libertad, denotados por
se encuentran para resolver la siguiente ecuación de segundo orden,
Las expresiones para las soluciones se pueden encontrar en. [8]
Ver también
- Matrices gamma de mayor dimensión
- Ecuaciones de Bargmann-Wigner , ecuaciones alternativas que describen partículas libres de cualquier espín
Referencias
- ^ a b E.A. Jeffery (1978). "Minimización de componentes de la función de onda Bargman-Wigner" . Revista australiana de física . Melbourne: CSIRO. 31 (2): 137. Bibcode : 1978AuJPh..31..137J . doi : 10.1071 / ph780137 . NB: La convención para los cuatro gradientes en este artículo es ∂ μ = (∂ / ∂ t , ∇) , igual que el artículo de Wikipedia. Las convenciones de Jeffery son diferentes: ∂ μ = (- i ∂ / ∂ t , ∇) . También Jeffery utiliza recoge las x y Y componentes del operador del momento: p ± = p 1 ± ip 2 = p x ± ip y . Los componentes p ± no deben confundirse con los operadores de escalera ; los factores de ± 1, ± i se producen a partir de las matrices gamma .
- ^ a b Weinberg, S. (1964). "Reglas de Feynman para cualquier giro" (PDF) . Phys. Rev . 133 (5B): B1318 – B1332. Código Bibliográfico : 1964PhRv..133.1318W . doi : 10.1103 / PhysRev.133.B1318 .; Weinberg, S. (1964). "Reglas de Feynman para cualquier giro. II. Partículas sin masa" (PDF) . Phys. Rev . 134 (4B): B882 – B896. Código Bibliográfico : 1964PhRv..134..882W . doi : 10.1103 / PhysRev.134.B882 .; Weinberg, S. (1969). "Reglas de Feynman para cualquier giro. III" (PDF) . Phys. Rev . 181 (5): 1893–1899. Código Bibliográfico : 1969PhRv..181.1893W . doi : 10.1103 / PhysRev.181.1893 .
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