- Este artículo usa la convención de suma de Einstein para índices de tensor / espinor y usa sombreros para operadores cuánticos .
En la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos , las ecuaciones de Bargmann-Wigner describen partículas libres de espín arbitrario j , un número entero para bosones ( j = 1, 2, 3 ... ) o medio entero para fermiones ( j = 1 ⁄ 2 , 3 ⁄ 2 , 5 ⁄ 2 ... ). Las soluciones a las ecuaciones son funciones de onda , matemáticamente en forma de campos de espinor multicomponente . .
Llevan el nombre de Valentine Bargmann y Eugene Wigner .
Historia
Paul Dirac publicó por primera vez la ecuación de Dirac en 1928, y más tarde (1936) la extendió a partículas de cualquier giro medio entero antes de que Fierz y Pauli encontraran posteriormente las mismas ecuaciones en 1939, y aproximadamente una década antes que Bargman y Wigner. [1] Eugene Wigner escribió un artículo en 1937 sobre las representaciones unitarias del grupo no homogéneo de Lorentz , o el grupo de Poincaré . [2] Wigner señala que Ettore Majorana y Dirac utilizaron operadores infinitesimales aplicados a funciones. Wigner clasifica las representaciones en irreductibles, factoriales y unitarias.
En 1948, Valentine Bargmann y Wigner publicaron las ecuaciones que ahora llevan su nombre en un artículo sobre una discusión teórica en grupo de las ecuaciones de onda relativistas. [3]
Declaración de las ecuaciones
Para una partícula libre de espín j sin carga eléctrica , las ecuaciones BW son un conjunto de 2 j ecuaciones diferenciales parciales lineales acopladas , cada una con una forma matemática similar a la ecuación de Dirac . El conjunto completo de ecuaciones es [1] [4] [5]
que siguen el patrón;
( 1 )
para r = 1, 2, ... 2 j . (Algunos autores, por ejemplo, Loide y Saar [4], utilizan n = 2 j para eliminar factores de 2. Además, el número cuántico de espín generalmente se denota por s en la mecánica cuántica, sin embargo, en este contexto, j es más típico en la literatura). La función de onda completa ψ = ψ ( r , t ) tiene componentes
y es un campo espinor de 4 componentes de rango 2 j . Cada índice toma los valores 1, 2, 3 o 4, por lo que hay 4 2 j componentes de todo el campo espinor ψ , aunque una función de onda completamente simétrica reduce el número de componentes independientes a 2 (2 j + 1) . Además, γ μ = (γ 0 , γ ) son las matrices gamma , y
es el operador de 4 momentos .
El operador que constituye cada ecuación, (−γ μ P μ + mc ) = (- iħ γ μ ∂ μ + mc ) , es una matriz de 4 × 4 , debido a las matrices γ μ , y el término mc escalar multiplica el 4 Matriz de identidad × 4 (generalmente no se escribe por simplicidad). Explícitamente, en la representación de Dirac de las matrices gamma : [1]
donde σ = (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) = (σ x , σ y , σ z ) es un vector de las matrices de Pauli , E es el operador de energía , p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) = ( p x , p y , p z ) es el operador de 3 momentos , I 2 denota la matriz identidad de 2 × 2 , los ceros (en la segunda línea) son en realidad bloques de 2 × 2 de matrices cero .
El operador de matriz anterior se contrae con un índice bispinor de ψ a la vez (ver multiplicación de matrices ), por lo que algunas propiedades de la ecuación de Dirac también se aplican a las ecuaciones de BW:
- las ecuaciones son covariantes de Lorentz,
- todos los componentes de las soluciones ψ también satisfacen la ecuación de Klein-Gordon y, por tanto, cumplen la relación relativista energía-momento ,
- todavía es posible una segunda cuantificación .
A diferencia de la ecuación de Dirac, que puede incorporar el campo electromagnético a través de un acoplamiento mínimo , el formalismo B – W comprende contradicciones y dificultades intrínsecas cuando se incorpora la interacción del campo electromagnético. En otras palabras, no es posible realizar el cambio P μ → P μ - eA μ , donde e es la carga eléctrica de la partícula y A μ = ( A 0 , A ) es el cuatro potencial electromagnético . [6] [7] Un enfoque indirecto para investigar las influencias electromagnéticas de la partícula es derivar las cuatro corrientes electromagnéticas y los momentos multipolares de la partícula, en lugar de incluir las interacciones en las propias ecuaciones de onda. [8] [9]
Estructura del grupo Lorentz
La representación del grupo de Lorentz para las ecuaciones de BW es [6]
donde cada D r es una representación irreductible. Esta representación no tiene espín definido a menos que j sea igual a 1/2 o 0. Se puede realizar una descomposición de Clebsch-Gordan para encontrar los términos irreductibles ( A , B ) y, por lo tanto, el contenido de espín. Esta redundancia requiere que una partícula de spin definido j que se transforme bajo la representación D BW satisfaga las ecuaciones de campo.
Las representaciones D ( j , 0) y D (0, j ) pueden representar cada una por separado partículas de espín j . Un estado o campo cuántico en tal representación no satisfaría ninguna ecuación de campo excepto la ecuación de Klein-Gordon.
Formulación en espacio-tiempo curvo
Siguiendo a M. Kenmoku, [10] en el espacio local de Minkowski, las matrices gamma satisfacen las relaciones anticonmutación :
donde η ij = diag (−1, 1, 1, 1) es la métrica de Minkowski . Para los índices latinos aquí, i, j = 0, 1, 2, 3 . En el espacio-tiempo curvo son similares:
donde las matrices gamma espaciales se contraen con el vierbein b i μ para obtener γ μ = b i μ γ i , y g μν = b i μ b i ν es el tensor métrico . Para los índices griegos; μ, ν = 0, 1, 2, 3 .
Una derivada covariante de espinores viene dada por
con la conexión Ω dada en términos de la conexión de espín ω por:
La derivada covariante se transforma como ψ :
Con esta configuración, la ecuación ( 1 ) se convierte en:
Ver también
- Ecuación de Dirac de dos cuerpos
- Generalizaciones de matrices de Pauli
- Matriz D de Wigner
- Matrices de Weyl-Brauer
- Matrices gamma de mayor dimensión
- Ecuación de Joos-Weinberg , ecuaciones alternativas que describen partículas libres de cualquier espín
Referencias
Notas
- ^ a b c E.A. Jeffery (1978). "Minimización de componentes de la función de onda Bargman-Wigner" . Revista australiana de física . 31 (2): 137. Bibcode : 1978AuJPh..31..137J . doi : 10.1071 / ph780137 .
- ^ E. Wigner (1937). "Sobre las representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo" (PDF) . Annals of Mathematics . 40 (1): 149-204. Código bibliográfico : 1939AnMat..40..149W . doi : 10.2307 / 1968551 . JSTOR 1968551 .
- ^ Bargmann, V .; Wigner, EP (1948). "Discusión teórica grupal de ecuaciones de onda relativistas" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 34 (5): 211-23. Código Bibliográfico : 1948PNAS ... 34..211B . doi : 10.1073 / pnas.34.5.211 . PMC 1079095 . PMID 16578292 .
- ^ a b RK Loide; I.Ots; R. Saar (2001). "Generalizaciones de la ecuación de Dirac en forma covariante y hamiltoniana". Journal of Physics A . 34 (10): 2031-2039. Código bibliográfico : 2001JPhA ... 34.2031L . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 34/10/307 .
- ^ H. Shi-Zhong; R. Tu-Nan; W. Ning; Z. Zhi-Peng (2002). "Funciones de onda para partículas con giro arbitrario" . Comunicaciones en Física Teórica . 37 (1): 63. Código Bibliográfico : 2002CoTPh..37 ... 63H . doi : 10.1088 / 0253-6102 / 37/1/63 .
- ^ a b T. Jaroszewicz; PS Kurzepa (1992). "Geometría de la propagación espaciotemporal de partículas giratorias". Annals of Physics . 216 (2): 226–267. Código Bibliográfico : 1992AnPhy.216..226J . doi : 10.1016 / 0003-4916 (92) 90176-M .
- ^ CR Hagen (1970). "El método de Bargmann-Wigner en la relatividad de Galilea". Comunicaciones en Física Matemática . 18 (2). págs. 97-108. Código bibliográfico : 1970CMaPh..18 ... 97H . doi : 10.1007 / BF01646089 .
- ^ Cédric Lorcé (2009). "Propiedades electromagnéticas para partículas de espín arbitrario: parte 1 - Corriente electromagnética y descomposición multipolar". arXiv : 0901,4199 [ hep-ph ].
- ^ Cédric Lorcé (2009). "Propiedades electromagnéticas para partículas de espín arbitrario: parte 2 - momentos naturales y densidades de carga transversal". Physical Review D . 79 (11): 113011. arXiv : 0901.4200 . Código Bibliográfico : 2009PhRvD..79k3011L . doi : 10.1103 / PhysRevD.79.113011 .
- ^ K. Masakatsu (2012). "Problema de superradiancia de bosones y fermiones para rotar agujeros negros en la formulación de Bargmann-Wigner". arXiv : 1208.0644 [ gr-qc ].
Otras lecturas
Libros
- Weinberg, S, La teoría cuántica de los campos, vol II
- Weinberg, S, La teoría cuántica de los campos, vol. III
- R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
Artículos seleccionados
- EN Lorenz (1941). "Una generalización de las ecuaciones de Dirac" . PNAS . 27 (6): 317–322. Código Bibliográfico : 1941PNAS ... 27..317L . doi : 10.1073 / pnas.27.6.317 . PMC 1078329 . PMID 16588466 .
- VV Dvoeglazov (2011). "El formalismo de Bargmann-Wigner modificado para campos de espín superiores y mecánica cuántica relativista". doi : 10.1142 / S2010194511001218 .
- DN Williams (1965). "El álgebra de Dirac para cualquier giro" (PDF) . Conferencias de Física Teórica . 7A . Prensa de la Universidad de Colorado. págs. 139-172.
- H. Shi-Zhong; Z. Peng-Fei; R. Tu-Nan; Z. Yu-Can; Z. Zhi-Peng (2004). "Operador de proyección y propagador de Feynman para una partícula masiva libre de giro arbitrario" . Comunicaciones en Física Teórica . 41 (3): 405–418. Código bibliográfico : 2004CoTPh..41..405H . doi : 10.1088 / 0253-6102 / 41/3/405 .
- VP Neznamov (2006). "Sobre la teoría de los campos interactuantes en la representación de Foldy-Wouthuysen". Phys. Parte. Nucl . 37 (2006): 86–103. arXiv : hep-th / 0411050 . Código Bibliográfico : 2004hep.th ... 11050N . doi : 10.1134 / S1063779606010023 .
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- R. Clarkson; DGC McKeon (2003). "Teoría cuántica de campos" (PDF) . págs. 61–69. Archivado desde el original (PDF) el 30 de mayo de 2009 . Consultado el 27 de octubre de 2016 .
- H. Stumpf (2002). "Eigenstates de ecuaciones generalizadas de Broglie-Bargmann-Wigner para fotones con subestructura partónica" (PDF) . Z. Naturforsch . 57 . págs. 726–736.
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enlaces externos
Ecuaciones de onda relativistas :
- Matrices de Dirac en dimensiones superiores , Proyecto de demostración Wolfram
- Aprendiendo sobre campos de espín-1 , P. Cahill, K. Cahill, Universidad de Nuevo México [ enlace muerto permanente ]
- Ecuaciones de campo para bosones sin masa de un formalismo de Dirac-Weinberg , RW Davies, KTR Davies, P. Zory, DS Nydick, American Journal of Physics
- Teoría cuántica de campos I , Martin Mojžiš
- Ecuación de Bargmann-Wigner: ecuación de campo para giro arbitrario , FarzadQassemi, IPM School and Workshop on Cosmology, IPM, Teherán, Irán
Grupos de Lorentz en física cuántica relativista:
- Representaciones de Lorentz Group , indiana.edu
- Apéndice C: Grupo de Lorentz y álgebra de Dirac , mcgill.ca [ enlace muerto permanente ]
- The Lorentz Group, Relativistic Particles, and Quantum Mechanics , DE Soper, Universidad de Oregon, 2011
- Representaciones de los grupos de Lorentz y Poincaré , J. Maciejko, Universidad de Stanford
- Representaciones del grupo de simetría del espacio-tiempo , K. Drake, M. Feinberg, D. Guild, E. Turetsky, 2009