El grupo de Lorentz es un grupo de simetrías de Lie del espacio-tiempo de la relatividad especial . Este grupo se puede realizar como una colección de matrices , transformaciones lineales u operadores unitarios en algún espacio de Hilbert ; tiene una variedad de representaciones . [nb 1] Este grupo es significativo porque la relatividad especial junto con la mecánica cuántica son las dos teorías físicas que están mejor establecidas, [nb 2]y la conjunción de estas dos teorías es el estudio de las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz. Estos tienen importancia histórica en la física convencional, así como conexiones con teorías actuales más especulativas.
Desarrollo
La teoría completa de las representaciones de dimensión finita del álgebra de Lie del grupo de Lorentz se deduce utilizando el marco general de la teoría de la representación de las álgebras de Lie semisimples . Las representaciones de dimensión finita del componente conectadodel grupo de Lorentz completo O (3; 1) se obtienen empleando la correspondencia de Lie y la matriz exponencial . La teoría de la representación de dimensión finita completa del grupo de cobertura universal (y también el grupo de espín , una doble cobertura) de se obtiene, y se da explícitamente en términos de acción sobre un espacio funcional en representaciones de y . Los representantes de la inversión del tiempo y la inversión del espacio se dan en la inversión del espacio y la inversión del tiempo , completando la teoría de dimensión finita para el grupo de Lorentz completo. Se describen las propiedades generales de las representaciones ( m , n ) . Se considera la acción sobre los espacios funcionales , con la acción sobre los armónicos esféricos y las funciones P de Riemann que aparecen como ejemplos. El caso de dimensión infinita de representaciones unitarias irreductibles se realiza para el la serie principal y la serie complementaria . Finalmente, la fórmula de Plancherel parase da, y las representaciones de SO (3, 1) se clasifican y realizan para álgebras de Lie.
El desarrollo de la teoría de la representación ha seguido históricamente el desarrollo de la teoría más general de la teoría de la representación de los grupos semisimple , en gran parte debido a Élie Cartan y Hermann Weyl , pero el grupo de Lorentz también ha recibido una atención especial debido a su importancia en la física. Contribuyentes notables son el físico EP Wigner y el matemático Valentine Bargmann con su programa Bargmann-Wigner , [1] una conclusión del cual es, aproximadamente, una clasificación de todas las representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo equivale a una clasificación de todas las posibles ecuaciones de onda relativistas . [2] La clasificación de las representaciones de dimensión infinita irreductibles del grupo de Lorentz fue establecida por el estudiante de doctorado en física teórica de Paul Dirac , Harish-Chandra , luego convertido en matemático, [nb 3] en 1947. La clasificación correspondiente parafue publicado de forma independiente por Bargmann e Israel Gelfand junto con Mark Naimark en el mismo año.
Aplicaciones
Muchas de las representaciones, tanto de dimensión finita como de dimensión infinita, son importantes en la física teórica. Aparecen representaciones en la descripción de campos en la teoría de campos clásica , sobre todo el campo electromagnético , y de partículas en la mecánica cuántica relativista , así como de partículas y campos cuánticos en la teoría cuántica de campos y de varios objetos en la teoría de cuerdas y más allá. La teoría de la representación también proporciona la base teórica para el concepto de giro . La teoría entra en la relatividad general en el sentido de que en regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo, la física es la de la relatividad especial. [3]
Las representaciones no unitarias irreductibles de dimensión finita junto con las representaciones unitarias de dimensión infinita irreductibles del grupo de Lorentz no homogéneo , el grupo de Poincaré, son las representaciones que tienen relevancia física directa. [4] [5]
Las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz aparecen por restricción de las irreductibles representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Poincaré que actúan sobre los espacios de Hilbert de la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos . Pero estos también son de interés matemático y de potencial relevancia física directa en otros roles que el de una mera restricción. [6] Hubo teorías especulativas, [7] [8] (los tensores y espinores tienen contrapartes infinitas en los expansores de Dirac y los explicadores de Harish-Chandra) consistentes con la relatividad y la mecánica cuántica, pero no han encontrado una aplicación física probada. Las teorías especulativas modernas potencialmente tienen ingredientes similares según se indica a continuación.
Teoría de campo clásica
Si bien el campo electromagnético junto con el campo gravitacional son los únicos campos clásicos que proporcionan descripciones precisas de la naturaleza, también son importantes otros tipos de campos clásicos. En el enfoque de la teoría cuántica de campos (QFT) denominado segunda cuantificación , el punto de partida es uno o más campos clásicos, donde, por ejemplo, las funciones de onda que resuelven la ecuación de Dirac se consideran campos clásicos antes de la (segunda) cuantificación. [9] Si bien la segunda cuantificación y el formalismo lagrangiano asociado con ella no es un aspecto fundamental de QFT, [10] es cierto que hasta ahora todas las teorías cuánticas de campos pueden abordarse de esta manera, incluido el modelo estándar . [11] En estos casos, existen versiones clásicas de las ecuaciones de campo que siguen a las ecuaciones de Euler-Lagrange derivadas del Lagrangiano utilizando el principio de mínima acción . Estas ecuaciones de campo deben ser relativistas invariantes, y sus soluciones (que se calificarán como funciones de onda relativistas de acuerdo con la definición siguiente) deben transformarse bajo alguna representación del grupo de Lorentz.
La acción del grupo de Lorentz en el espacio de configuraciones de campo (una configuración de campo es la historia espaciotemporal de una solución particular, por ejemplo, el campo electromagnético en todo el espacio durante todo el tiempo es una configuración de campo) se asemeja a la acción en los espacios de Hilbert de cuántica mecánica, excepto que los soportes del conmutador se reemplazan por soportes de Poisson teóricos de campo . [9]
Mecánica cuántica relativista
Para los presentes propósitos, se hace la siguiente definición: [12] Una función de onda relativista es un conjunto de n funciones ψ α en el espacio-tiempo que se transforma bajo una transformación de Lorentz apropiada arbitraria Λ como
donde D [Λ] es una matriz n- dimensional representativa de Λ perteneciente a alguna suma directa de las representaciones ( m , n ) que se introducirán a continuación.
Las teorías de una partícula de la mecánica cuántica relativista más útiles (no existen tales teorías totalmente consistentes) son la ecuación de Klein-Gordon [13] y la ecuación de Dirac [14] en su contexto original. Son relativísticamente invariantes y sus soluciones se transforman bajo el grupo de Lorentz como escalares de Lorentz ( ( m , n ) = (0, 0) ) y bispinores respectivamente ( (0,1/2) ⊕ ( 1/2, 0) ). El campo electromagnético es una función de onda relativista según esta definición, transformándose en (1, 0) ⊕ (0, 1) . [15]
Las representaciones de dimensión infinita se pueden utilizar en el análisis de la dispersión. [dieciséis]
Teoría cuántica de campos
En la teoría cuántica de campos , la demanda de invariancia relativista entra, entre otras formas, en que la matriz S necesariamente debe ser invariante de Poincaré. [17] Esto tiene la implicación de que hay una o más representaciones de dimensión infinita del grupo de Lorentz actuando en el espacio de Fock . [nb 4] Una forma de garantizar la existencia de tales representaciones es la existencia de una descripción lagrangiana (con modestos requisitos impuestos, ver la referencia) del sistema utilizando el formalismo canónico, a partir de la cual se puede realizar una realización de los generadores del grupo de Lorentz. ser deducido. [18]
Las transformaciones de los operadores de campo ilustran el papel complementario que juegan las representaciones de dimensión finita del grupo de Lorentz y las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Poincaré, atestiguando la profunda unidad entre matemáticas y física. [19] A modo de ilustración, considere la definición de un operador de campo de n componentes : [20] Un operador de campo relativista es un conjunto de n funciones valoradas por el operador en el espacio-tiempo que se transforma bajo las transformaciones de Poincaré adecuadas (Λ, a ) de acuerdo con [21] [ 22]
Aquí U [Λ, a] es el operador unitario que representa (Λ, a) en el espacio de Hilbert en el que se define Ψ y D es una representación n- dimensional del grupo de Lorentz. La regla de transformación es el segundo axioma de Wightman de la teoría cuántica de campos.
Por consideraciones de restricciones diferenciales a las que el operador de campo debe estar sujeto para describir una sola partícula con masa definida my spin s (o helicidad), se deduce que [23] [nb 5]
( X1 )
donde a † , a se interpretan como operadores de creación y aniquilación respectivamente. El operador de creación a † se transforma según [23] [24]
y de manera similar para el operador de aniquilación. El punto a destacar es que el operador de campo se transforma de acuerdo con una representación no unitaria de dimensión finita del grupo de Lorentz, mientras que el operador de creación se transforma bajo la representación unitaria de dimensión infinita del grupo de Poincaré caracterizado por la masa y el espín ( m , s ) de la partícula. La conexión entre los dos son las funciones de onda , también llamadas funciones de coeficiente
que llevan tanto los índices ( x , α ) operados por las transformaciones de Lorentz como los índices ( p , σ ) operados por las transformaciones de Poincaré. Esto puede llamarse la conexión de Lorentz-Poincaré. [25] Para exhibir la conexión, someta ambos lados de la ecuación (X1) a una transformación de Lorentz que resulte, por ejemplo , en u ,
donde D es el no unitario Lorentz grupo representativo de Λ y D ( s ) es un representante unitaria de la llamada rotación Wigner R asociado a Λ y p que se deriva de la representación del grupo de Poincaré, y es es el giro de la partícula.
Todas las fórmulas anteriores, incluida la definición del operador de campo en términos de operadores de creación y aniquilación, así como las ecuaciones diferenciales satisfechas por el operador de campo para una partícula con masa especificada, espín y la representación ( m , n ) bajo la cual se supone que se transforma, [nb 6] y también el de la función de onda, puede derivarse únicamente de consideraciones teóricas de grupo una vez que se dan los marcos de la mecánica cuántica y la relatividad especial. [nb 7]
Teorías especulativas
En las teorías en las que el espacio-tiempo puede tener más de D = 4 dimensiones, los grupos de Lorentz generalizados O ( D - 1; 1) de la dimensión apropiada toman el lugar de O (3; 1) . [nb 8]
El requisito de la invariancia de Lorentz adquiere quizás su efecto más dramático en la teoría de cuerdas . Las cadenas relativistas clásicas se pueden manejar en el marco lagrangiano usando la acción Nambu-Goto . [26] Esto da como resultado una teoría relativista invariante en cualquier dimensión del espacio-tiempo. [27] Pero resulta que la teoría de cuerdas bosónicas abiertas y cerradas (la teoría de cuerdas más simple) es imposible de cuantificar de tal manera que el grupo de Lorentz esté representado en el espacio de estados (un espacio de Hilbert ) a menos que la dimensión del espacio-tiempo es 26. [28] El resultado correspondiente para la teoría de supercuerdas se deduce de nuevo exigiendo invariancia de Lorentz, pero ahora con supersimetría . En estas teorías, el álgebra de Poincaré se reemplaza por un álgebra de supersimetría que es un álgebra de Lie de grado Z 2 que extiende el álgebra de Poincaré. La estructura de tal álgebra está fijada en gran medida por las demandas de la invariancia de Lorentz. En particular, los operadores fermiónicos (grado 1 ) pertenecen a a (0, 1/2) o ( 1/2, 0) espacio de representación del álgebra de Lorentz Lie (ordinaria). [29] La única dimensión posible del espacio-tiempo en tales teorías es 10. [30]
Representaciones de dimensión finita
La teoría de la representación de los grupos en general, y de los grupos de Lie en particular, es un tema muy rico. El grupo de Lorentz tiene algunas propiedades que lo hacen "agradable" y otras que lo hacen "poco agradable" dentro del contexto de la teoría de la representación; el grupo es simple y, por lo tanto , semisimple , pero no está conectado , y ninguno de sus componentes está simplemente conectado . Además, el grupo de Lorentz no es compacto . [31]
Para las representaciones de dimensión finita, la presencia de semisimplicidad significa que el grupo de Lorentz puede tratarse de la misma manera que otros grupos semisimplejos utilizando una teoría bien desarrollada. Además, todas las representaciones se construyen a partir de las irreducibles , ya que el álgebra de Lie posee la propiedad de reducibilidad completa . [nb 9] [32] Pero, la falta de compacidad del grupo de Lorentz, en combinación con la falta de conexión simple, no puede tratarse en todos los aspectos como en el marco simple que se aplica a grupos compactos simplemente conectados. La no compacidad implica, para un grupo de Lie simple conectado, que no existen representaciones unitarias de dimensión finita no triviales . [33] La falta de conexión simple da lugar a representaciones de espín del grupo. [34] La falta de conexión significa que, para las representaciones del grupo de Lorentz completo, la inversión del tiempo y la inversión del espacio deben tratarse por separado. [35] [36]
Historia
El desarrollo de la teoría de la representación de dimensión finita del grupo de Lorentz sigue principalmente al del sujeto en general. La teoría de Lie se originó con Sophus Lie en 1873. [37] [38] En 1888, Wilhelm Killing completó esencialmente la clasificación de las álgebras de Lie simples . [39] [40] En 1913 el teorema de mayor peso para las representaciones de álgebras de Lie simples, el camino que se seguirá aquí, fue completado por Élie Cartan . [41] [42] Richard Brauer fue 1935-1938 en gran parte responsable del desarrollo de las matrices de Weyl-Brauer que describen cómo las representaciones de espín del álgebra de Lorentz Lie pueden integrarse en las álgebras de Clifford . [43] [44] El grupo de Lorentz también ha recibido históricamente especial atención en la teoría de la representación, ver Historia de las representaciones unitarias de dimensión infinita a continuación, debido a su importancia excepcional en la física. Los matemáticos Hermann Weyl [41] [45] [37] [46] [47] y Harish-Chandra [48] [49] y los físicos Eugene Wigner [50] [51] y Valentine Bargmann [52] [53] [54] hizo contribuciones sustanciales tanto a la teoría de la representación general como en particular al grupo de Lorentz. [55] El físico Paul Dirac fue quizás el primero en unir todo de manera manifiesta en una aplicación práctica de gran importancia duradera con la ecuación de Dirac en 1928. [56] [57] [nb 10]
El álgebra de mentira
Las irreductibles representaciones lineales complejas de la complexificación , del álgebra de mentira del grupo de Lorentz. Una base conveniente paraestá dada por los tres generadores J i de rotaciones y los tres generadores K i de impulsos . Se dan explícitamente en convenciones y bases de álgebra de Lie .
El álgebra de Lie se complejiza y la base se cambia a los componentes de sus dos ideales [58]
Los componentes de A = ( A 1 , A 2 , A 3 ) y B = ( B 1 , B 2 , B 3 ) satisfacen por separado las relaciones de conmutación del álgebra de Lie s tu ( 2 ) {\ Displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)} y, además, se desplazan entre sí [59].
donde i , j , k son índices, cada uno de los cuales toma valores 1, 2, 3 y ε ijk es el símbolo tridimensional de Levi-Civita . Dejar y denotar el tramo lineal complejo de A y B respectivamente.
Uno tiene los isomorfismos [60] [nb 11]
( A1 )
dónde es la complejidad de
La utilidad de estos isomorfismos proviene del hecho de que todas las representaciones irreductibles de s tu ( 2 ) {\ Displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)} , y por tanto todas las representaciones lineales complejas irreductibles de son conocidos. La irreductible representación lineal compleja dees isomorfo a una de las representaciones de mayor peso . Estos se dan explícitamente en representaciones lineales complejas de s l ( 2 , C ) . {\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C}).}
El truco unitario
El álgebra de mentira es el álgebra de Lie de Contiene el subgrupo compacto SU (2) × SU (2) con álgebra de Lie Este último es una forma real compacta de Así, desde el primer enunciado del truco unitario, las representaciones de SU (2) × SU (2) están en correspondencia biunívoca con las representaciones holomórficas de
Por compacidad, el teorema de Peter-Weyl se aplica a SU (2) × SU (2) , [61] y, por tanto, se puede apelar a la ortonormalidad de caracteres irreducibles . Las representaciones unitarias irreductibles de SU (2) × SU (2) son precisamente los productos tensoriales de las representaciones unitarias irreductibles de SU (2) . [62]
Apelando a la simple conexión, se aplica la segunda afirmación del truco unitario. Los objetos de la siguiente lista están en correspondencia uno a uno:
- Representaciones holomorfas de
- Representaciones suaves de SU (2) × SU (2)
- Representaciones lineales reales de
- Representaciones lineales complejas de
Los productos tensoriales de las representaciones aparecen en el nivel de álgebra de Lie como [nb 12]
( A0 )
donde Id es el operador de identidad. Aquí, se pretende la última interpretación, que se sigue de (G6) . Las representaciones de mayor peso deson indexados por μ para μ = 0, 1/2, 1, ... . (Los pesos más altos son en realidad 2 μ = 0, 1, 2, ... , pero la notación aquí está adaptada a la de) Los productos tensoriales de dos factores lineales complejos forman entonces las representaciones lineales complejas irreducibles de
Finalmente, el -representaciones lineales de las formas reales de la extrema izquierda,, y la extrema derecha, [nb 13] en (A1) se obtienen de la-representaciones lineales de caracterizado en el párrafo anterior.
Las representaciones ( μ , ν ) de sl (2, C)
Las complejas representaciones lineales de la complejificación de obtenidos a través de isomorfismos en (A1) , están en correspondencia uno a uno con las representaciones lineales reales de[63] El conjunto de todaslas representaciones irreductibles lineales reales depor lo tanto, están indexados por un par ( μ , ν ) . Los lineales complejos, que corresponden precisamente a la complexificación del lineal real.representaciones, son de la forma ( μ , 0) , mientras que las lineales conjugadas son las (0, ν ) . [63] Todos los demás son únicamente lineales reales. Las propiedades de linealidad se derivan de la inyección canónica, el extremo derecho en (A1) , deen su complejidad. Las representaciones en la forma ( ν , ν ) o ( μ , ν ) ⊕ ( ν , μ ) están dadas por matrices reales (estas últimas no son irreducibles). Explícitamente, las representaciones lineales reales ( μ , ν ) de están
dónde son las complejas representaciones lineales irreductibles de y sus complejas representaciones conjugadas. (El etiquetado se encuentra generalmente en la literatura matemática 0, 1, 2, ... , pero aquí se eligen semieros para ajustarse al etiquetado delÁlgebra de mentira.) Aquí el producto tensorial se interpreta en el sentido anterior de (A0) . Estas representaciones se realizan concretamente a continuación.
Las representaciones ( m , n ) de so (3; 1)
A través de los isomorfismos mostrados en (A1) y el conocimiento de las complejas representaciones lineales irreductibles deal resolver para J y K , todas las representaciones irreductibles de y, por restricción, los de son obtenidas. Las representaciones deobtenidos de esta manera son reales lineales (y no complejos o conjugados lineales) porque el álgebra no se cierra en la conjugación, pero siguen siendo irreducibles. [60] Desdees semisimple , [60] todas sus representaciones pueden construirse como sumas directas de las irreductibles.
Así, las representaciones irreducibles de dimensión finita de la Lorentz álgebra se clasifican por un par ordenado de medio-enteros m = μ y n = ν , convencionalmente escrito como una de
donde V es un espacio vectorial de dimensión finita. Estos son, hasta una transformación de similitud , dados únicamente por [nb 14]
( A2 )
donde 1 n es la matriz unitaria n- dimensional y
son las representaciones (2 n + 1) -dimensionales irreductibles de s o ( 3 ) ≅ s tu ( 2 ) {\ Displaystyle {\ mathfrak {so}} (3) \ cong {\ mathfrak {su}} (2)} también denominadas matrices de espín o matrices de momento angular . Estos se dan explícitamente como [64]
donde δ denota el delta de Kronecker . En componentes, con - m ≤ a , a ′ ≤ m , - n ≤ b , b ′ ≤ n , las representaciones vienen dadas por [65]
Representaciones comunes
m = 0 | 1/2 | 1 | 3/2 | |
---|---|---|---|---|
n = 0 | Escalar (1) | Weyl spinor zurdo (2) | Auto-dual de 2 formas (3) | (4) |
1/2 | Weyl spinor diestro (2) | 4 vectores (4) | (6) | (8) |
1 | Anti-auto-dual de 2 formas (3) | (6) | Tensor simétrico sin trazas (9) | (12) |
3/2 | (4) | (8) | (12) | (dieciséis) |
- La representación (0, 0) es la representación trivial unidimensional y es llevada a cabo por teorías relativistas de campo escalar .
- Los generadores de supersimetría fermiónica se transforman bajo uno de los (0, 1/2) o ( 1/2, 0) representaciones (espinores de Weyl). [29]
- El cuatro momento de una partícula (sin masa o masiva ) se transforma bajo el ( 1/2, 1/2) representación, un cuatro-vector.
- Un ejemplo físico de un campo tensor simétrico sin trazas (1,1) es la parte sin trazas [nb 15] del tensor de energía-momento T μν . [66] [nb 16]
Sumas directas fuera de la diagonal
Dado que para cualquier representación irreducible para la cual m ≠ n es fundamental operar sobre el campo de números complejos , la suma directa de las representaciones ( m , n ) y ( n , m ) tienen especial relevancia para la física, ya que permite utilizar lineales operadores sobre números reales .
- ( 1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) es la representación del bispinor . Véase también espinor de Dirac y espinores y bispinos de Weyl a continuación.
- (1, 1/2) ⊕ ( 1/2, 1) es la representación del campo de Rarita-Schwinger .
- ( 3/2, 0) ⊕ (0, 3/2) sería la simetría del gravitino hipotético . [nb 17] Puede obtenerse de la (1, 1/2) ⊕ ( 1/2, 1) representación. [67]
- (1, 0) ⊕ (0, 1) es la representación de un campo de forma 2 invariante de paridad (también conocido como forma de curvatura ). El tensor de campo electromagnético se transforma bajo esta representación.
El grupo
El enfoque en esta sección se basa en teoremas que, a su vez, se basan en la correspondencia fundamental de Lie . [68] La correspondencia de Lie es en esencia un diccionario entre grupos de Lie conectados y álgebras de Lie. [69] El vínculo entre ellos es el mapeo exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie, denotado
Si para algún espacio vectorial V es una representación, una representación Π del componente conectado de G se define por
( G2 )
Esta definición se aplica tanto si la representación resultante es proyectiva como si no.
Supervivencia del mapa exponencial para SO (3, 1)
Desde un punto de vista práctico, es importante si la primera fórmula en (G2) se puede utilizar para todos los elementos del grupo . Se mantiene para todos, sin embargo, en el caso general, por ejemplo, para , no todos los g ∈ G están en la imagen de exp .
Pero es sobreyectiva. Una forma de mostrar esto es hacer uso del isomorfismosiendo este último el grupo de Möbius . Es un cociente de(ver el artículo vinculado). El mapa de cocientes se denota con El mapa está en. [70] Aplicar (Lie) siendo π el diferencial de p en la identidad. Luego
Dado que el lado izquierdo es sobreyectivo (tanto exp como p son), el lado derecho es sobreyectivo y por lo tantoes sobreyectiva. [71] Finalmente, recicla el argumento una vez más, pero ahora con el isomorfismo conocido entre SO (3; 1) + ypara encontrar que exp está en para el componente conectado del grupo de Lorentz.
Grupo fundamental
El grupo de Lorentz está doblemente conectado , es decir, π 1 (SO (3; 1)) es un grupo con dos clases de equivalencia de bucles como sus elementos.
Exhibir el grupo fundamental de SO (3; 1) + , la topología de su grupo de cobertura SL ( 2 , C ) {\ Displaystyle {\ text {SL}} (2, \ mathbb {C})} se considera. Según el teorema de la descomposición polar , cualquier matrizpuede expresarse de forma única como [72]
donde u es unitario con determinante uno, por lo tanto en SU (2) , y h es hermitiano con traza cero. La traza y las condiciones determinantes implican: [73]
El mapa uno a uno manifiestamente continuo es un homeomorfismo con inverso continuo dado por (el locus de u se identifica con)
exhibiendo explícitamente que está simplemente conectado. Pero dónde es el centro de . Identificar λ y - λ equivale a identificar u con - u , que a su vez equivale a identificar puntos antípodas enAsí, topológicamente, [73]
donde el último factor no está simplemente conectado: Geométricamente, se ve (para fines de visualización, puede ser reemplazado por ) que un camino de u a - u en hay un bucle enya que u y - u son puntos antípodas, y que no es contraíble hasta cierto punto. Pero un camino de u a - u , de allí a u otra vez, un bucle eny un bucle doble (considerando p ( ue h ) = p (- ue h ) , donde es el mapa de cobertura) en que se puede contraer hasta un punto (alejarse continuamente de - u "arriba" eny encoger el camino hasta el punto u ). [73] Así, π 1 (SO (3; 1)) es un grupo con dos clases de equivalencia de bucles como sus elementos, o dicho de forma más simple, SO (3; 1) está doblemente conectado .
Representaciones proyectivas
Dado que π 1 (SO (3; 1) + ) tiene dos elementos, algunas representaciones del álgebra de Lie producirán representaciones proyectivas . [74] [nb 18] Una vez que se sabe si una representación es proyectiva, la fórmula (G2) se aplica a todos los elementos del grupo y todas las representaciones, incluidas las proyectivas, en el entendimiento de que el representante de un elemento del grupo dependerá de qué elemento en el álgebra de Lie (la X en (G2) ) se usa para representar el elemento de grupo en la representación estándar.
Para el grupo de Lorentz, la representación ( m , n ) es proyectiva cuando m + n es un medio entero. Consulte la sección espinores .
Para una representación proyectiva Π de SO (3; 1) + , sostiene que [73]
( G5 )
ya que cualquier bucle en SO (3; 1) + atravesado dos veces, debido a la doble conexión, es contráctil hasta un punto, de modo que su clase de homotopía es la de un mapa constante. De ello se deduce que Π es una función de doble valor. No es posible elegir consistentemente un signo para obtener una representación continua de todo SO (3; 1) + , pero esto es posible localmente alrededor de cualquier punto. [33]
El grupo de cobertura SL (2, C)
Considerar como un álgebra de mentira real con base
donde los sigmas son las matrices de Pauli . De las relaciones
( J1 )
es obtenido
( J2 )
que son exactamente de la forma de la 3 versión dimensional de las relaciones de conmutación de(ver convenciones y bases del álgebra de Lie a continuación). Así, el mapa J i ↔ j i , K i ↔ k i , extendido por linealidad es un isomorfismo. Desdeestá simplemente conectado, es el grupo de cobertura universal de SO (3; 1) + .
Una vista geométrica
Let p g ( t ), 0 ≤ t ≤ 1 ser una ruta de 1 ∈ SO (3; 1) + a g ∈ SO (3; 1) + , denotar su clase homotopy por [ p g ] y dejar π g ser el conjunto de todas esas clases de homotopía. Definir el conjunto
( C1 )
y dotarlo de la operación de multiplicación
( C2 )
dónde es la multiplicación del camino de y :
Con esta multiplicación, G se convierte en un grupo isomorfo a[75] el grupo de cobertura universal de SO (3; 1) + . Dado que cada π g tiene dos elementos, según la construcción anterior, hay un mapa de cobertura 2: 1 p : G → SO (3; 1) + . Según lateoría de grupos de cobertura , las álgebras de Lie y de G son todos isomorfos. El mapa de cobertura p : G → SO (3; 1) + viene dado simplemente por p ( g , [ p g ]) = g .
Una vista algebraica
Para una vista algebraica del grupo de cobertura universal, dejemos actuar sobre el conjunto de todas las matrices hermitianas 2 × 2por la operación [73]
( C3 )
La acción en es lineal. Un elemento de puede estar escrito en la forma
( C4 )
El mapa P es un homomorfismo de grupo en Por lo tanto es una representación en 4 dimensiones de . Su núcleo debe, en particular, llevar consigo la matriz identidad, A † IA = A † A = I y, por lo tanto, A † = A −1 . Por tanto, AX = XA para A en el núcleo, por lo que, según el lema de Schur , [nb 19] A es un múltiplo de la identidad, que debe ser ± I ya que det A = 1 . [76] El espaciose asigna al espacio Minkowski M 4 , a través de
( C5 )
La acción de P ( A ) sobreconserva los determinantes. La representación inducida p de en a través del isomorfismo anterior, dado por
( C6 )
conserva el producto interior de Lorentz ya que
Esto significa que p ( A ) pertenece al grupo de Lorentz completo SO (3; 1) . Según el teorema principal de la conectividad , ya queestá conectada, su imagen bajo p en SO (3; 1) está conectada, y por lo tanto está contenida en SO (3; 1) + .
Se puede mostrar que el mapa de Lie de es un isomorfismo del álgebra de Lie: [nb 20] El mapa P también está sobre. [nb 21]
Por lo tanto , ya que simplemente está conectado, es el grupo de cobertura universal de SO (3; 1) + , isomorfo al grupo G de arriba.
No sobreyectividad del mapeo exponencial para SL (2, C)
El mapeo exponencial no está en. [77] La matriz
( S6 )
es en pero no hay tal que q = exp ( Q ) . [nb 22]
En general, si g es un elemento de un grupo de Lie conectado G con álgebra de Lieluego, por (Mentira) ,
( S7 )
La matriz q se puede escribir
( S8 )
Realización de representaciones de SL (2, C) y sl (2, C) y sus álgebras de Lie
Las complejas representaciones lineales de y son más fáciles de obtener que los representaciones. Pueden escribirse (y normalmente lo están) desde cero. Las representaciones de grupos holomórficos (lo que significa que la representación de álgebra de Lie correspondiente es lineal compleja) están relacionadas con las representaciones de álgebra de Lie lineal compleja por exponenciación. Las representaciones lineales reales deson exactamente las representaciones ( μ , ν ) . También se pueden exponenciar. Las representaciones ( μ , 0) son lineales complejas y son (isomórficas a) las representaciones de peso más altas. Por lo general, se indexan con un solo número entero (pero aquí se usan medios enteros).
La convención matemática se utiliza en esta sección por conveniencia. Los elementos del álgebra de Lie difieren en un factor de i y no hay un factor de i en el mapeo exponencial en comparación con la convención física utilizada en otros lugares. Dejemos que la base deser [78]
( S1 )
Esta elección de base y la notación es estándar en la literatura matemática.
Representaciones lineales complejas
Las representaciones holomórficas irreductibles ( n + 1) -dimensionalesse puede realizar en el espacio de polinomio homogéneo de grado n en 2 variables[79] [80] cuyos elementos son
La acción de viene dado por [81] [82]
( S2 )
El asociado -acción es, utilizando (G6) y la definición anterior, para los elementos básicos de[83]
( S5 )
Con una elección de base para , estas representaciones se convierten en álgebras matriciales de Lie.
Representaciones lineales reales
Las representaciones ( μ , ν ) se realizan en un espacio de polinomios en homogéneo de grado μ eny homogéneo de grado ν en[80] Las representaciones vienen dadas por [84]
( S6 )
Empleando (G6) nuevamente se encuentra que
( S7 )
En particular para los elementos básicos,
( S8 )
Propiedades de las representaciones ( m , n )
Las representaciones ( m , n ) , definidas anteriormente mediante (A1) (como restricciones a la forma real) de los productos tensoriales de representaciones lineales complejas irreducibles π m = μ y π n = ν deson irreductibles, y son las únicas representaciones irreductibles. [61]
- La irreductibilidad se sigue del truco unitario [85] y que una representación Π de SU (2) × SU (2) es irreducible si y solo si Π = Π μ ⊗ Π ν , [nb 23] donde Π μ , Π ν son irreductibles representaciones de SU (2) .
- La unicidad se deriva de que Π m son las únicas representaciones irreductibles de SU (2) , que es una de las conclusiones del teorema de mayor peso. [86]
Dimensión
Las representaciones ( m , n ) son (2 m + 1) (2 n + 1) -dimensionales. [87] Esto resulta más fácil de contar las dimensiones en cualquier realización concreta, como la que se da en las representaciones de SL ( 2 , C ) {\ Displaystyle {\ text {SL}} (2, \ mathbb {C})} y s l ( 2 , C ) {\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})} . Para un álgebra general de mentirala fórmula de la dimensión de Weyl , [88]
se aplica, donde R + es el conjunto de raíces positivas, ρ es el peso más alto y δ es la mitad de la suma de las raíces positivas. El producto interior es el del álgebra de Lie invariante bajo la acción del grupo Weyl en la subálgebra de Cartan . Las raíces (realmente elementos de se identifican a través de este producto interno con elementos de Para la fórmula se reduce a dim π μ = 2 μ + 1 = 2 m + 1 , donde debe tenerse en cuenta la notación actual . El peso más alto es 2 μ . [89] Al tomar los productos tensoriales, se obtiene el resultado.
Fidelidad
Si una representación Π de un grupo de Lie G no es fiel, entonces N = ker Π es un subgrupo normal no trivial. [90] Hay tres casos relevantes.
- N es no discreto y abeliano .
- N es no discreto y no abeliano.
- N es discreto. En este caso N ⊂ Z , donde Z es el centro de G . [nb 24]
En el caso de SO (3; 1) + , se excluye el primer caso ya que SO (3; 1) + es semi-simple. [nb 25] El segundo caso (y el primer caso) se excluye porque SO (3; 1) + es simple. [nb 26] Para el tercer caso, SO (3; 1) + es isomorfo al cociente Pero es el centro de De ello se deduce que el centro de SO (3; 1) + es trivial, y esto excluye el tercer caso. La conclusión es que toda representación Π: SO (3; 1) + → GL ( V ) y toda representación proyectiva Π: SO (3; 1) + → PGL ( W ) para V , W espacios vectoriales de dimensión finita son fieles.
Al usar la correspondencia fundamental de Lie, los enunciados y el razonamiento anterior se traducen directamente a álgebras de Lie con subgrupos normales no discretos (abelianos) no triviales reemplazados por ideales no triviales (unidimensionales) en el álgebra de Lie, [91] y el centro de SO (3; 1) + reemplazado por el centro deEl centro de cualquier álgebra de Lie semisimple es trivial [92] y es semi-simple y simple, y por lo tanto no tiene ideales no triviales.
Un hecho relacionado es que si la representación correspondiente de es fiel, entonces la representación es proyectiva. Por el contrario, si la representación es no proyectiva, entonces el correspondienteLa representación no es fiel, pero es 2: 1 .
No unitaridad
La representación del álgebra de Lie ( m , n ) no es hermitiana . En consecuencia, la representación (proyectiva) correspondiente del grupo nunca es unitaria . [nb 27] Esto se debe a la falta de compacidad del grupo de Lorentz. De hecho, un grupo de Lie sencilla no compacto conectado no puede tener ningún representaciones de dimensión finita unitarios no triviales. [33] Hay una prueba topológica de esto. [93] Let u : G → GL ( V ) , donde V es de dimensión finita, sea una representación unitaria continua de la simple grupo de Lie conexo no compacto G . Entonces u ( G ) ⊂ U ( V ) ⊂ GL ( V ) donde U ( V ) es el subgrupo compacto de GL ( V ) que consta de transformaciones unitarias de V . El kernel de u es un subgrupo normal de G . Como G es simple, ker u es todo G , en cuyo caso u es trivial, o ker u es trivial, en cuyo caso u es fiel . En el último caso u es un difeomorfismo en su imagen, [94] u ( G ) ≅ G y T ( G ) es un grupo de Lie. Esto significaría que u ( G ) es un subgrupo de Lie no compacto integrado del grupo compacto U ( V ) . Esto es imposible con la topología del subespacio en u ( G ) ⊂ U ( V ) ya que todos los subgrupos de Lie incrustados de un grupo de Lie están cerrados [95] Si u ( G ) estuviera cerrado, sería compacto, [nb 28] y luego G sería compacto, [nb 29] contrario a la suposición. [nb 30]
En el caso del grupo de Lorentz, esto también se puede ver directamente en las definiciones. Las representaciones de A y B utilizadas en la construcción son hermitianas. Esto significa que J es hermitiano, pero K es antihermitiano . [96] La no unitaridad no es un problema en la teoría cuántica de campos, ya que no se requiere que los objetos de interés tengan una norma definida positiva invariante de Lorentz. [97]
Restricción a SO (3)
El ( m , n ) la representación es, sin embargo, unitario cuando restringido al subgrupo rotación SO (3) , pero estas representaciones no son irreducible como representaciones de SO (3). Se puede aplicar una descomposición de Clebsch-Gordan mostrando que una representación ( m , n ) tiene subespacios invariantes SO (3) de mayor peso (espín) m + n , m + n - 1,…, | m - n | , [98] donde cada peso máximo posible (giro) ocurre exactamente una vez. Un subespacio de peso de mayor peso (giro) j es (2 j + 1) -dimensional. Entonces, por ejemplo, el ( 1/2, 1/2) La representación tiene subespacios de espín 1 y espín 0 de dimensión 3 y 1 respectivamente.
Dado que el operador de momento angular viene dado por J = A + B , el espín más alto en la mecánica cuántica de la subrepresentación de rotación será ( m + n ) ℏ y las reglas "habituales" de suma de momentos angulares y el formalismo de 3 Se aplican los símbolos -j , los símbolos 6-j , etc. [99]
Spinors
Son los subespacios invariantes SO (3) de las representaciones irreducibles los que determinan si una representación tiene espín. En el párrafo anterior, se ve que la representación ( m , n ) tiene espín si m + n es medio integral. Los más simples son ( 1/2, 0) y (0, 1/2) , los espinores de Weyl de dimensión 2 . Entonces, por ejemplo, (0, 3/2) y (1, 1/2) son representaciones de espín de dimensiones 2 3/2+ 1 = 4 y (2 + 1) (2 1/2+ 1) = 6 respectivamente. Según el párrafo anterior, hay subespacios con giro tanto3/2 y 1/2en los dos últimos casos, por lo que estas representaciones probablemente no pueden representar una sola partícula física que deba comportarse bien según SO (3) . Sin embargo, no se puede descartar en general que las representaciones con múltiples subrepresentaciones de SO (3) con espín diferente puedan representar partículas físicas con espín bien definido. Puede ser que haya una ecuación de onda relativista adecuada que proyecte componentes no físicos , dejando solo un espín. [100]
Construcción de giro puro norte/2Las representaciones para cualquier n (bajo SO (3) ) de las representaciones irreductibles implican tomar productos tensoriales de la representación de Dirac con una representación sin espín, extraer un subespacio adecuado y finalmente imponer restricciones diferenciales. [101]
Representaciones duales
Los siguientes teoremas se aplican para examinar si la representación dual de una representación irreducible es isomórfica a la representación original:
- El conjunto de pesos de la representación dual de una representación irreductible de un álgebra de Lie semisimple es, incluidas las multiplicidades, el negativo del conjunto de pesos de la representación original. [102]
- Dos representaciones irreductibles son isomorfas si y solo si tienen el mismo peso máximo . [nb 31]
- Para cada álgebra de Lie semisimple existe un elemento único w 0 del grupo de Weyl de modo que si μ es un peso integral dominante, entonces w 0 ⋅ (- μ ) es nuevamente un peso integral dominante. [103]
- Si es una representación irreducible con el peso más alto μ 0 , entoncestiene el peso más alto w 0 ⋅ (- μ ) . [103]
Aquí, los elementos del grupo Weyl se consideran transformaciones ortogonales, actuando por multiplicación de matrices, sobre el espacio vectorial real de raíces . Si - I es un elemento del grupo de Weyl de un álgebra de Lie semisimple, entonces w 0 = - I . En el caso deel grupo de Weyl es W = { I , - I } . [104] De ello se deduce que cada π μ , μ = 0, 1, ... es isomorfo a su dual El sistema raíz de se muestra en la figura de la derecha. [nb 32] El grupo Weyl es generado por dónde es la reflexión en el plano ortogonal a γ ya que γ abarca todas las raíces. [nb 33] espectáculos de inspección que w alpha ⋅ w β = - I de modo - I ∈ W . Usando el hecho de que si π , σ son representaciones de álgebra de Lie y π ≅ σ , entonces Π ≅ Σ , [105] la conclusión para SO (3; 1) + es
Representaciones conjugadas complejas
Si π es una representación de un álgebra de Lie, entonceses una representación, donde la barra denota la conjugación compleja de entrada en las matrices representativas. Esto se sigue de que la conjugación compleja conmuta con la suma y la multiplicación. [106] En general, toda representación irreducible π dese puede escribir de forma única como π = π + + π - , donde [107]
con holomórfico (lineal complejo) y anti-holomórfico (conjugado lineal). Para desde es holomorfo, es anti-holomórfico. Examen directo de las expresiones explícitas para y en la ecuación (S8) a continuación muestra que son holomorfos y anti-holomorfos respectivamente. Un examen más detenido de la expresión (S8) también permite la identificación de y por como
Usando las identidades anteriores (interpretadas como una suma puntual de funciones), para SO (3; 1) + produce
donde la declaración para las representaciones de grupo se sigue de exp ( X ) = exp ( X ) . De ello se deduce que las representaciones irreductibles ( m , n ) tienen representantes de matrices reales si y solo si m = n . Las representaciones reducibles en la forma ( m , n ) ⊕ ( n , m ) también tienen matrices reales.
La representación adjunta, el álgebra de Clifford y la representación del espinor de Dirac
En la teoría de la representación general, si ( π , V ) es una representación de un álgebra de Lie entonces hay una representación asociada de en End ( V ) , también denotado π , dado por
( I1 )
Asimismo, una representación (Π, V ) de un grupo G produce una representación Π en el extremo ( V ) de G , todavía denotado Π , dado por [108]
( I2 )
Si π y Π son las representaciones estándar en y si la acción se limita a entonces las dos representaciones anteriores son la representación adjunta del álgebra de Lie y la representación adjunta del grupo, respectivamente. Las representaciones correspondientes (algunas o ) siempre existen para cualquier grupo de Lie matricial, y son fundamentales para la investigación de la teoría de la representación en general, y para cualquier grupo de Lie dado en particular.
Aplicando esto al grupo de Lorentz, si (Π, V ) es una representación proyectiva, entonces el cálculo directo usando (G5) muestra que la representación inducida en End ( V ) es una representación adecuada, es decir, una representación sin factores de fase.
En la mecánica cuántica Esto significa que si ( π , H ) o (Π, H ) es una representación que actúa sobre un cierto espacio de Hilbert H , entonces la representación inducida correspondiente actúa sobre el conjunto de los operadores lineales en H . Como ejemplo, la representación inducida del espín proyectivo ( 1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) La representación en End ( H ) es el 4-vector no proyectivo ( 1/2, 1/2) representación. [109]
Para simplificar, considere sólo la "parte discreta" de End ( H ) , es decir, dada una base para H , el conjunto de matrices constantes de varias dimensiones, incluidas posiblemente dimensiones infinitas. La representación de 4 vectores inducida de arriba en este extremo simplificado ( H ) tiene un subespacio de 4 dimensiones invariante que está atravesado por las cuatro matrices gamma . [110] (La convención métrica es diferente en el artículo vinculado.) De manera correspondiente, el álgebra de Clifford completa del espacio-tiempo , cuya complejidad es generado por las matrices gamma se descompone como una suma directa de espacios de representación de una representación escalar irreducible (irrep), el (0, 0) , un irrep pseudoescalar , también el (0, 0) , pero con valor propio de inversión de paridad -1 , ver la siguiente sección a continuación, el vector irrep ya mencionado , ( 1/2, 1/2) , un pseudovector irrep, ( 1/2, 1/2) con valor propio de inversión de paridad +1 (no -1), y un tensor irrep, (1, 0) ⊕ (0, 1) . [111] Las dimensiones suman 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16 . En otras palabras,
( I3 )
donde, como es habitual , se confunde una representación con su espacio de representación.
El ( 1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) representación de giro
El espacio de representación en seis dimensiones del tensor (1, 0) ⊕ (0, 1) -representación dentrotiene dos roles. El [112]
( I4 )
dónde son las matrices gamma, las sigmas, de las cuales solo 6 son distintas de cero debido a la antisimetría del corchete, abarcan el espacio de representación tensorial. Además, tienen las relaciones de conmutación del álgebra de Lorentz Lie, [113]
( I5 )
y por lo tanto constituyen una representación (además de abarcar un espacio de representación) sentada dentro el ( 1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) representación de giro. Para obtener más información, consulte álgebra de Bispinor y Dirac .
La conclusión es que cada elemento del complejo en End ( H ) (es decir, cada matriz compleja de 4 × 4 ) tiene propiedades de transformación de Lorentz bien definidas. Además, tiene una representación de espín del álgebra de Lorentz Lie, que al exponenciarse se convierte en una representación de espín del grupo, actuando sobre convirtiéndolo en un espacio de bispinors.
Representaciones reducibles
Hay una multitud de otras representaciones que se pueden deducir de las irreductibles, como las que se obtienen tomando sumas directas, productos tensoriales y cocientes de las representaciones irreductibles. Otros métodos para obtener representaciones incluyen la restricción de una representación de un grupo más grande que contiene el grupo de Lorentz, p. Ej.y el grupo de Poincaré. En general, estas representaciones no son irreductibles.
El grupo de Lorentz y su álgebra de Lie tienen la propiedad de reducibilidad completa . Esto significa que toda representación se reduce a una suma directa de representaciones irreductibles. Por lo tanto, no se discutirán las representaciones reducibles.
Inversión espacial y reversión temporal
La representación (posiblemente proyectiva) ( m , n ) es irreductible como representación SO (3; 1) + , el componente de identidad del grupo de Lorentz, en terminología física el grupo de Lorentz ortocrónico adecuado . Si m = n puede extenderse a una representación de todo O (3; 1) , el grupo de Lorentz completo, incluida la inversión de paridad espacial y la inversión de tiempo . Las representaciones ( m , n ) ⊕ ( n , m ) también se pueden ampliar. [114]
Inversión de paridad espacial
Para la inversión de paridad espacial, la acción adjunta Ad P de P ∈ SO (3; 1) ense considera, donde P es el representante estándar de la inversión de paridad espacial, P = diag (1, −1, −1, −1) , dado por
( F1 )
Es estas propiedades de K y J menores de P que motivan la términos vector para K y pseudovector o vector axial para J . De manera similar, si π es cualquier representación dey Π es su representación de grupo asociado, entonces Π (SO (3; 1) + ) actúa sobre la representación de π por la acción adjunta, π ( X ) ↦ Π ( g ) π ( X ) Π ( g ) −1 para g ∈ SO (3; 1) + . Si P debe incluirse en Π , entonces la coherencia con (F1) requiere que
( F2 )
sostiene, donde A y B se definen como en la primera sección. Esto puede ser válido solo si A i y B i tienen las mismas dimensiones, es decir, solo si m = n . Cuando m ≠ n entonces ( m , n ) ⊕ ( n , m ) puede extenderse a una representación irreducible de SO (3; 1) + , el grupo de Lorentz ortocrónico. El representante de inversión de paridad Π ( P ) no viene automáticamente con la construcción general de las representaciones ( m , n ) . Debe especificarse por separado. La matriz β = i γ 0 (o un múltiplo de módulo −1 veces él) puede usarse en el ( 1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) [115] representación.
Si la paridad se incluye con un signo menos (la matriz 1 × 1 [−1] ) en la representación (0,0) , se denomina representación pseudoescalar .
Inversión del tiempo
Inversión temporal T = diag (−1, 1, 1, 1) , actúa de manera similar enpor [116]
( F3 )
Al incluir explícitamente un representante de T , así como uno de P , se obtiene una representación del grupo de Lorentz completo O (3; 1) . Sin embargo, aparece un problema sutil en su aplicación a la física, en particular a la mecánica cuántica. Al considerar el grupo completo de Poincaré , cuatro generadores más, el P μ , además del J i y K i generan el grupo. Estos se interpretan como generadores de traducciones. El componente de tiempo de P 0 es el hamiltoniano H . El operador T satisface la relación [117]
( F4 )
en analogía a las relaciones anteriores con reemplazado por el álgebra de Poincaré completa . Simplemente cancelando las i , el resultado THT −1 = - H implicaría que para cada estado Ψ con energía positiva E en un espacio de Hilbert de estados cuánticos con invariancia de inversión en el tiempo, habría un estado Π ( T −1 ) Ψ con energía negativa - E . Tales estados no existen. Por lo tanto, el operador Π ( T ) se elige antilineal y antiunitario , de modo que se anticonmuta con i , dando lugar a THT −1 = H , y su acción sobre el espacio de Hilbert también se vuelve antilineal y antiunitario. [118] Puede expresarse como la composición de una conjugación compleja con multiplicación por una matriz unitaria. [119] Esto es matemáticamente correcto, ver el teorema de Wigner , pero con requisitos muy estrictos en terminología, Π no es una representación .
Al construir teorías como QED, que es invariante bajo paridad espacial e inversión de tiempo, se pueden usar espinores de Dirac, mientras que las teorías que no lo hacen, como la fuerza electrodébil , deben formularse en términos de espinores de Weyl. La representación de Dirac, ( 1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) , se suele considerar que incluye tanto la paridad espacial como las inversiones temporales. Sin inversión de paridad espacial, no es una representación irreductible.
La tercera simetría discreta que entra en el teorema CPT junto con P y T , la simetría de conjugación de carga C , no tiene nada que ver directamente con la invariancia de Lorentz. [120]
Acción en espacios funcionales
Si V es un espacio vectorial de funciones de un número finito de variables n , entonces la acción sobre una función escalar dada por
( H1 )
produce otra función Π f ∈ V . Aquí Π x es una representación n- dimensional, y Π es una representación posiblemente de dimensión infinita. Un caso especial de esta construcción es cuando V es un espacio de funciones definidas en el mismo grupo lineal G , visto como una variedad n- dimensional incrustada en(siendo m la dimensión de las matrices). [121] Este es el escenario en el que se formulan el teorema de Peter-Weyl y el teorema de Borel-Weil . El primero demuestra la existencia de una descomposición de Fourier de funciones en un grupo compacto en caracteres de representaciones de dimensión finita. [61] El último teorema, que proporciona representaciones más explícitas, hace uso del truco unitario para producir representaciones de grupos complejos no compactos, p. Ej.
A continuación se ejemplifica la acción del grupo Lorentz y el subgrupo de rotación en algunos espacios funcionales.
Rotaciones euclidianas
El subgrupo SO (3) de rotaciones euclidianas tridimensionales tiene una representación de dimensión infinita en el espacio de Hilbert.
dónde son los armónicos esféricos . Una función integrable al cuadrado arbitrario f una esfera unitaria se puede expresar como [122]
( H2 )
donde la f lm se generaliza coeficientes de Fourier .
La acción del grupo Lorentz se limita a la de SO (3) y se expresa como
( H4 )
donde los D l se obtienen de los representantes de dimensión impar de los generadores de rotación.
El grupo Möbius
El componente de identidad del grupo de Lorentz es isomorfo al grupo M de Möbius . Se puede pensar en este grupo como mapeos conformes del plano complejo o, a través de la proyección estereográfica , de la esfera de Riemann . De esta manera, se puede pensar que el propio grupo de Lorentz actúa de manera conforme en el plano complejo o en la esfera de Riemann.
En el plano, una transformación de Möbius caracterizada por los números complejos a , b , c , d actúa sobre el plano según [123]
- .
( M1 )
y puede representarse mediante matrices complejas
( M2 )
dado que la multiplicación por un escalar complejo distinto de cero no cambia f . Estos son elementos dey son únicos hasta un signo (ya que ± Π f dan la misma f ), por lo tanto
Las funciones P de Riemann
Las funciones P de Riemann , soluciones de la ecuación diferencial de Riemann, son un ejemplo de un conjunto de funciones que se transforman entre sí bajo la acción del grupo de Lorentz. Las funciones P de Riemann se expresan como [124]
( T1 )
donde a , b , c , α , β , γ , α ′ , β ′ , γ ′ son constantes complejas. La función P en el lado derecho se puede expresar usando funciones hipergeométricas estándar . La conexión es [125]
( T2 )
El conjunto de constantes 0, ∞, 1 en la fila superior del lado izquierdo son los puntos singulares regulares de la ecuación hipergeométrica de Gauss . [126] Sus exponentes , es decir, soluciones de la ecuación indicial , para la expansión alrededor del punto singular 0 son 0 y 1 - c , correspondientes a las dos soluciones linealmente independientes, [nb 34] y para la expansión alrededor del punto singular 1 son 0 y c - a - b . [127] Del mismo modo, los exponentes para ∞ son una y b para las dos soluciones. [128]
Uno tiene así
( T3 )
donde la condición (a veces llamada identidad de Riemann) [129]
sobre los exponentes de las soluciones de la ecuación diferencial de Riemann se ha utilizado para definir γ ′ .
El primer conjunto de constantes en el lado izquierdo en (T1) , a , b , c denota los puntos singulares regulares de la ecuación diferencial de Riemann. El segundo conjunto, α , β , γ , son los exponentes correspondientes en a , b , c para una de las dos soluciones linealmente independientes y, en consecuencia, α ′ , β ′ , γ ′ son exponentes en a , b , c para la segunda solución.
Defina una acción del grupo de Lorentz en el conjunto de todas las funciones P de Riemann mediante el primer ajuste
( T4 )
donde A , B , C , D son las entradas en
( T5 )
para Λ = p ( λ ) ∈ SO (3; 1) + una transformación de Lorentz.
Definir
( T6 )
donde P es una función P de Riemann. La función resultante es nuevamente una función P de Riemann. El efecto de la transformación de Möbius del argumento es el de cambiar los polos a nuevas ubicaciones, por lo tanto, cambiar los puntos críticos, pero no hay cambio en los exponentes de la ecuación diferencial que satisface la nueva función. La nueva función se expresa como
( T6 )
dónde
( T7 )
Representaciones unitarias de dimensión infinita
Historia
El grupo de Lorentz SO (3; 1) + y su doble portadaTambién tienen representaciones unitarias de dimensión infinita, estudiadas independientemente por Bargmann (1947) , Gelfand & Naimark (1947) y Harish-Chandra (1947) a instancias de Paul Dirac . [130] [131] Este camino de desarrollo comenzó con Dirac (1936) donde ideó las matrices U y B necesarias para la descripción del espín superior (comparar las matrices de Dirac ), elaborado por Fierz (1939) , ver también Fierz & Pauli (1939) ) y precursores propuestos de las ecuaciones de Bargmann-Wigner . [132] En Dirac (1945) propuso un espacio concreto de representación de dimensión infinita cuyos elementos se denominaron expansores como generalización de tensores. [nb 35] Estas ideas fueron incorporadas por Harish-Chandra y expandidas con expinors como una generalización de dimensión infinita de espinores en su artículo de 1947.
La fórmula de Plancherel para estos grupos fue obtenida por primera vez por Gelfand y Naimark a través de cálculos complicados. El tratamiento fue posteriormente simplificado considerablemente por Harish-Chandra (1951) y Gelfand & Graev (1953) , basado en un análogo dede la fórmula de integración de Hermann Weyl para grupos de Lie compactos . [133] Se pueden encontrar descripciones elementales de este enfoque en Rühl (1970) y Knapp (2001) .
La teoría de funciones esféricas para el grupo de Lorentz, requerida para el análisis armónico en el modelo hiperboloide del espacio hiperbólico tridimensional que se encuentra en el espacio de Minkowski, es considerablemente más fácil que la teoría general. Solo involucra representaciones de la serie principal esférica y puede tratarse directamente, porque en coordenadas radiales el Laplaciano en el hiperboloide es equivalente al Laplaciano enEsta teoría se discute en Takahashi (1963) , Helgason (1968) , Helgason (2000) y el texto póstumo de Jorgenson & Lang (2008) .
Serie principal para SL (2, C)
La serie principal , o serie principal unitaria , son las representaciones unitarias inducidas a partir de las representaciones unidimensionales del subgrupo triangular inferior B deDado que las representaciones unidimensionales de B corresponden a las representaciones de las matrices diagonales, con entradas complejas distintas de cero z y z −1 , tienen la forma
para k un entero, ν real y con z = re iθ . Las representaciones son irreductibles ; las únicas repeticiones, es decir, isomorfismos de representaciones, ocurren cuando k se reemplaza por - k . Por definición, las representaciones se realizan en L 2 secciones de paquetes de líneas enque es isomorfo a la esfera de Riemann . Cuando k = 0 , estas representaciones constituyen la llamada serie principal esférica .
La restricción de una serie principal al subgrupo compacto máximo K = SU (2) de G también se puede realizar como una representación inducida de K usando la identificación G / B = K / T , donde T = B ∩ K es el toro máximo en K que consta de matrices diagonales con | z | = 1 . Es la representación inducida a partir de la representación unidimensional z k T , y es independiente de ν . Por reciprocidad de Frobenius , en K se descomponen como una suma directa de las representaciones irreductibles de K con dimensiones | k | + 2 m + 1 con m un entero no negativo.
Usando la identificación entre la esfera de Riemann menos un punto y la serie principal se puede definir directamente en por la fórmula [134]
La irreductibilidad se puede comprobar de diversas formas:
- La representación ya es irreducible en B . Esto se puede ver directamente, pero también es un caso especial de resultados generales sobre la irreductibilidad de las representaciones inducidas debido a François Bruhat y George Mackey , basándose en la descomposición de Bruhat G = B ∪ BsB donde s es el elemento del grupo de Weyl [135]
- .
- La acción del álgebra de Lie de G se puede calcular sobre la suma directa algebraica de los subespacios irreductibles de K se puede calcular explícitamente y se puede verificar directamente que el subespacio de menor dimensión genera esta suma directa como un-módulo. [8] [136]
Serie complementaria para SL (2, C)
Para 0 < t <2 , la serie complementaria se define en L 2 ( C ) {\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {C})} para el producto interior [137]
con la acción dada por [138] [139]
Las representaciones en la serie complementaria son irreducibles y no isomorfas por pares. Como representación de K , cada uno es isomorfo a la suma directa del espacio de Hilbert de todas las representaciones irreducibles dimensionales impares de K = SU (2) . La irreductibilidad puede demostrarse analizando la acción desobre la suma algebraica de estos subespacios [8] [136] o directamente sin usar el álgebra de Lie. [140] [141]
Teorema de Plancherel para SL (2, C)
Las únicas representaciones unitarias irreductibles de son la serie principal, la serie complementaria y la representación trivial. Dado que - I actúa como (−1) k en la serie principal y trivialmente en el resto, estos darán todas las representaciones unitarias irreductibles del grupo de Lorentz, siempre que k se considere par.
Para descomponer la representación regular izquierda de G ensolo se requieren las series principales. Esto produce inmediatamente la descomposición en las subrepresentaciones. la representación regular de la izquierda del grupo de Lorentz, y la representación regular en el espacio hiperbólico tridimensional. (El primero solo involucra representaciones de series principales con k par y el segundo solo aquellas con k = 0 ).
La representación regular izquierda y derecha λ y ρ se definen en por
Ahora bien, si f es un elemento de C c ( G ) , el operador definido por
es Hilbert-Schmidt . Defina un espacio de Hilbert H por
dónde
y denota el espacio de Hilbert de los operadores de Hilbert-Schmidt en [nb 36] Entonces el mapa U definido en C c ( G ) por
se extiende a un unitario de en H .
El mapa U satisface la propiedad entrelazada
Si f 1 , f 2 están en C c ( G ) entonces por unitaridad
Así que si denota la convolución de y y luego [142]
Las dos últimas fórmulas mostradas generalmente se denominan fórmula de Plancherel y fórmula de inversión de Fourier , respectivamente.
La fórmula de Plancherel se extiende a todos Según un teorema de Jacques Dixmier y Paul Malliavin , cada función suave y compacta soportada enes una suma finita de convoluciones de funciones similares, la fórmula de inversión se cumple para tales f . Puede extenderse a clases de funciones mucho más amplias que satisfagan condiciones de diferenciación moderadas. [61]
Clasificación de representaciones de SO (3, 1)
La estrategia seguida en la clasificación de las representaciones de dimensión infinita irreductibles es, en analogía con el caso de dimensión finita, asumir que existen e investigar sus propiedades. Por lo tanto, primero suponga que se dispone de una representación infinita dimensional Π H irreducible, fuertemente continua, en un espacio de Hilbert H de SO (3; 1) + . [143] Dado que SO (3) es un subgrupo, Π H también es una representación de él. Cada subrepresentación irreducible de SO (3) es de dimensión finita, y la representación de SO (3) se puede reducir a una suma directa de representaciones unitarias de dimensión finita irreductibles de SO (3) si Π H es unitario. [144]
Los pasos son los siguientes: [145]
- Elija una base adecuada de vectores propios comunes de J 2 y J 3 .
- Calcule los elementos de la matriz de J 1 , J 2 , J 3 y K 1 , K 2 , K 3 .
- Hacer cumplir las relaciones de conmutación del álgebra de Lie.
- Requiere unitaridad junto con ortonormalidad de la base. [nb 37]
Paso 1
Una elección adecuada de base y etiquetado viene dada por
Si esta fuera una representación de dimensión finita , entonces j 0 correspondería al valor propio j ( j + 1) más bajo de J 2 en la representación, igual a | m - n | , y j 1 correspondería al valor propio más alto, igual am + n . En el caso de dimensión infinita, j 0 ≥ 0 conserva este significado, pero j 1 no. [66] Para simplificar, se supone que una j dada ocurre como máximo una vez en una representación dada (este es el caso de las representaciones de dimensión finita), y se puede demostrar [146] que la suposición es posible evitar (con un cálculo un poco más complicado) con los mismos resultados.
Paso 2
El siguiente paso es calcular los elementos de la matriz de los operadores J 1 , J 2 , J 3 y K 1 , K 2 , K 3 que forman la base del álgebra de Lie de Los elementos de la matriz de y ( se entiende el álgebra de Lie compleja ) se conocen a partir de la teoría de la representación del grupo de rotación, y están dadas por [147] [148]
donde las etiquetas j 0 y j 1 se han eliminado ya que son las mismas para todos los vectores base en la representación.
Debido a las relaciones de conmutación
la triple ( K i , K i , K i ) ≡ K es un operador vectorial [149] y el teorema de Wigner-Eckart [150] se aplica para el cálculo de elementos de la matriz entre los estados representados por la base elegida. [151] Los elementos de la matriz de
donde el superíndice (1) significa que las cantidades definidas son los componentes de un operador de tensor esférico de rango k = 1 (que explica el factor √ 2 también) y los subíndices 0, ± 1 se denominan q en las fórmulas siguientes, están dados por [152]
Aquí, los primeros factores en el lado derecho son los coeficientes de Clebsch-Gordan para acoplar j ′ con k para obtener j . Los segundos factores son los elementos reducidos de la matriz . Ellos no dependen de m , m ' o Q , sino que dependen de j , j' y, por supuesto, K . Para obtener una lista completa de ecuaciones que no desaparecen, consulte Harish-Chandra (1947 , p. 375).
Paso 3
El siguiente paso es exigir que se mantengan las relaciones del álgebra de Lie, es decir, que
Esto da como resultado un conjunto de ecuaciones [153] cuyas soluciones son [154]
dónde
Paso 4
La imposición del requisito de unitaridad de la representación correspondiente del grupo restringe los valores posibles para los números complejos arbitrarios j 0 y ξ j . La unitaridad de la representación del grupo se traduce en el requisito de que los representantes del álgebra de Lie sean hermitianos, lo que significa
Esto se traduce en [155]
que lleva a [156]
donde β j es el ángulo de B j en forma polar. Para | B j | ≠ 0 sigue y es elegido por convención. Hay dos casos posibles:
- En este caso j 1 = - iν , ν real, [157]
- Esta es la serie principal . Sus elementos se denotan
- Sigue: [158]
- Dado que B 0 = B j 0 , B2
jes real y positivo para j = 1, 2, ... , lo que lleva a −1 ≤ ν ≤ 1 . Esta es una serie complementaria . Sus elementos se denotan (0, ν ), −1 ≤ ν ≤ 1 .
Esto muestra que las representaciones de arriba son todas representaciones unitarias irreductibles de dimensión infinita.
Fórmulas explícitas
Convenciones y bases del álgebra de Lie
La métrica de elección viene dada por η = diag (−1, 1, 1, 1) , y se utiliza la convención física para las álgebras de Lie y el mapeo exponencial. Estas elecciones son arbitrarias, pero una vez tomadas, fijas. Una posible elección de base para el álgebra de Lie es, en la representación de 4 vectores, dada por:
Las relaciones de conmutación del álgebra de Lie son: [159]
En notación tridimensional, estos son [160]
La elección de la base anterior satisface las relaciones, pero son posibles otras opciones. Se debe observar el uso múltiple del símbolo J arriba y en la secuela.
Weyl spinors y bispinors
Tomando, a su vez, m = 1/2, n = 0 y m = 0, n = 1/2 y estableciendo
en la expresión general (G1) , y usando las relaciones triviales 1 1 = 1 y J (0) = 0 , se sigue
( W1 )
Estas son las representaciones de espinor de Weyl para zurdos y diestros . Actúan mediante la multiplicación de matrices en espacios vectoriales complejos bidimensionales (con una elección de base) V L y V R , cuyos elementos Ψ L y Ψ R se denominan espinores de Weyl zurdos y diestros, respectivamente. Dado
se forma su suma directa como representaciones, [161]
( D1 )
Esto es, hasta una transformación de similitud, el ( 1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) Representación del espinor de Dirac deActúa sobre los elementos de 4 componentes (Ψ L , Ψ R ) de ( V L ⊕ V R ) , llamados bispinos , por multiplicación de matrices. La representación se puede obtener de una manera más general e independiente de la base utilizando álgebras de Clifford . Estas expresiones para bispinores y espinores de Weyl se extienden por linealidad de álgebras de Lie y representaciones a todos los Las expresiones para las representaciones de grupos se obtienen mediante exponenciación.
Problemas abiertos
La clasificación y caracterización de la teoría de la representación del grupo de Lorentz se completó en 1947. Pero en asociación con el programa Bargmann-Wigner, todavía hay problemas puramente matemáticos sin resolver, vinculados a las representaciones unitarias de dimensión infinita.
Las representaciones unitarias de dimensión infinita irreductibles pueden tener relevancia indirecta para la realidad física en las teorías modernas especulativas, ya que el grupo de Lorentz (generalizado) aparece como el pequeño grupo del grupo de Poincaré de vectores espaciales en una dimensión espaciotemporal superior. Las correspondientes representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo (generalizado) de Poincaré son las denominadas representaciones taquiónicas . Los taquiones aparecen en el espectro de cuerdas bosónicas y están asociados con la inestabilidad del vacío. [162] [163] Aunque es posible que los taquiones no se realicen en la naturaleza, estas representaciones deben entenderse matemáticamente para comprender la teoría de cuerdas. Esto es así porque los estados de taquiones también aparecen en las teorías de supercuerdas en los intentos de crear modelos realistas. [164]
Un problema abierto es la finalización del programa Bargmann-Wigner para el grupo de isometría SO ( D - 2, 1) del espacio-tiempo de De Sitter dS D −2 . Idealmente, los componentes físicos de las funciones de onda se realizarían en el hiperboloide dS D −2 de radio μ > 0 incrustado eny las correspondientes ecuaciones de onda covariante O ( D −2, 1) de la representación unitaria de dimensión infinita por conocer. [163]
Ver también
- Ecuaciones de Bargmann-Wigner
- Centro de masa (relativista)
- Álgebra de Dirac
- Matrices gamma
- Grupo Lorentz
- Transformación de Moebius
- Grupo Poincaré
- Teoría de la representación del grupo de Poincaré
- Simetría en mecánica cuántica
- Clasificación de Wigner
Observaciones
- ^ La forma en que uno representa las simetrías del espacio-tiempo puede tomar muchas formas dependiendo de la teoría en cuestión. Si bien no es el tema actual, se proporcionarán algunos detalles en las notas al pie etiquetadas como "nb" y en la sección de aplicaciones .
- ^ Weinberg 2002 , p. 1 "Si resultara que un sistema no puede ser descrito por una teoría cuántica de campos, sería una sensación; si resultara que no obedecía las reglas de la mecánica cuántica y la relatividad, sería un cataclismo".
- ↑ En 1945, Harish-Chandra vino a ver a Dirac en Cambridge. Se convenció de que no era apto para la física teórica. Harish-Chandra había encontrado un error en una prueba de Dirac en su trabajo sobre el grupo de Lorentz. Dirac dijo: "No me interesan las pruebas, solo me interesa lo que hace la naturaleza".
Harish-Chandra escribió más tarde: "Esta observación confirmó mi creciente convicción de que no tenía el misterioso sexto sentido que uno necesita para tener éxito en la física y pronto decidí pasar a las matemáticas".
Dirac, sin embargo, sugirió el tema de su tesis, la clasificación de las irreductibles representaciones de dimensión infinita del grupo de Lorentz.
Véase Dalitz y Peierls 1986
- ^ Consulte la fórmula (1) en la matriz S # De los estados de partículas libres para ver cómo se transforman los estados de múltiples partículas libres.
- ^ Weinberg 2002 , ecuaciones 5.1.4-5. Weinberg deduce la necesidad de operadores de creación y aniquilación a partir de otra consideración, el principio de descomposición de grupos , Weinberg (2002 , Capítulo 4).
- ^ Es posible que también se requiera una receta sobre cómo debe comportarse la partícula bajo la simetría CPT.
- ^ Por ejemplo, hay versiones (ecuaciones de campo libre, es decir, sin términos de interacción) de la ecuación de Klein-Gordon , la ecuación de Dirac , las ecuaciones de Maxwell , la ecuación de Proca , la ecuación de Rarita-Schwinger y las ecuaciones de campo de Einstein que pueden sistemáticamente deducirse partiendo de una representación dada del grupo de Lorentz. En general, estas son en conjunto las versiones de la teoría cuántica de campos de las ecuaciones de Bargmann-Wigner .
Ver Weinberg (2002 , Capítulo 5), Tung (1985 , Sección 10.5.2) y las referencias dadas en estos trabajos.
Cabe señalar que las teorías de alto giro ( s > 1 ) encuentran dificultades. Véase Weinberg (2002 , Sección 5.8), sobre campos generales ( m , n ) , donde esto se discute con cierta profundidad, y las referencias allí. Las partículas de alto espín existen sin duda alguna , por ejemplo, los núcleos, los conocidos simplemente no son elementales .
- ↑ Para conocer parte de su teoría de la representación, véase Bekaert y Boulanger (2006) , que se dedica a la teoría de la representación del grupo de Poincaré. Estas representaciones se obtienen por el método de las representaciones inducidas o, en el lenguaje de la física, el método del pequeño grupo , iniciado por Wigner en 1939 para este tipo de grupo y que George Mackey puso sobre una base matemática firmeen los años cincuenta.
- ↑ Hall (2015 , Sección 4.4.)
Se dice que un grupo tiene la propiedad de reducibilidad completa si cada representación se descompone como una suma directa de representaciones irreductibles.
- ↑ Dirac sugirió el tema de Wigner (1939) ya en 1928 (como se reconoce en el artículo de Wigner). También publicó uno de los primeros artículos sobre representaciones unitarias explícitas de dimensión infinita en Dirac (1945) ( Langlands 1985 ), y sugirió el tema de la tesis de Harish-Chandra que clasifica las representaciones de dimensión infinita irreductibles ( Dalitz y Peierls 1986 ).
- ^ Knapp 2001 El tercer isomorfismo de aspecto bastante misterioso se demuestra en el capítulo 2, párrafo 4.
- ^ Productos tensoriales de representaciones, π g ⊗ π h de puede, cuando ambos factores provienen del mismo álgebra de Lie o ser considerado como una representación de o .
- ^ Cuando complejizar un complejo álgebra de Lie, se debe considerar como una verdadera álgebra de Lie de dimensión real, el doble de su dimensión compleja. Del mismo modo, una forma real también puede ser compleja como es el caso aquí.
- ^ Combine Weinberg (2002 , Ecuaciones 5.6.7–8, 5.6.14–15) con Hall (2015 , Proposición 4.18) sobre las representaciones de álgebra de Lie de representaciones de productos de tensor de grupo.
- ^ La propiedad "sin rastro" se puede expresar como S αβ g αβ = 0 , o S α α = 0 , o S αβ g αβ = 0 dependiendo de la presentación del campo: covariante, mixto y contravariante respectivamente.
- ^ Esto no necesariamente viene simétrico directamente del Lagrangiano usando el teorema de Noether , pero puede ser simétrico como el tensor de tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld .
- ^ Esto siempre que la paridad sea una simetría. De lo contrario, habría dos sabores, ( 3/2, 0) y (0, 3/2) en analogía con los neutrinos .
- ^ La terminología difiere entre matemáticas y física. En el artículo vinculado el término representación proyectiva tiene un significado ligeramente diferente al de la física, donde una representación proyectiva se piensa como una sección local (un inverso local) del mapa de cobertura desde el grupo de cobertura hasta el grupo que se está cubriendo, compuesto con un apropiado representación del grupo de cobertura. Dado que esto se puede hacer (localmente) de forma continua de dos maneras en el caso que nos ocupa, como se explica a continuación, la terminología de una representación de valor doble o de dos valores es natural.
- ↑ En particular, A conmuta con las matrices de Pauli , por lo tanto, con todo SU (2), lo que hace aplicable el lema de Schur.
- ^ Lo que significa que el núcleo es trivial, para ver esto, recuerde que el núcleo de un homomorfismo del álgebra de Lie es un ideal y, por lo tanto, un subespacio. Dado que p es 2: 1 y ambosy SO (3; 1) + son de 6 dimensiones , el kernel debe ser de 0 dimensiones , por lo tanto {0}.
- ^ El mapa exponencial es uno a uno en un vecindario de la identidad en de ahí la composición donde σ es el isomorfismo del álgebra de Lie, está en una vecindad abierta U ⊂ SO (3; 1) + que contiene la identidad. Tal vecindad genera el componente conectado.
- ^ Rossmann 2002 Del ejemplo 4 en la sección 2.1: Esto se puede ver de la siguiente manera. La matriz q tiene valores propios {-1, −1} , pero no es diagonalizable . Si q = exp ( Q ) , entonces Q tiene valores propios λ , - λ con λ = iπ + 2 πik para algunos k porque los elementos deson sin rastro. Pero entonces Q es diagonalizable, por lo tanto q es diagonalizable, lo cual es una contradicción.
- ^ Rossmann 2002 , Proposición 10, párrafo 6.3. Esto se demuestra más fácilmente usando la teoría del carácter .
- ^ Cualquier subgrupo normal discreta de una conectada camino grupo G está contenido en el centro Z de G .
Hall 2015 , ejercicio 11, capítulo 1.
- ^ Un grupo de Lie semisimple no tiene subgrupos abelianos normales no discretos. Esto puede tomarse como la definición de semisimplicidad.
- ^ Un grupo simple no tiene subgrupos normales no discretos.
- ↑ Por el contrario, hay un truco, también llamado truco unitario de Weyl, pero que no está relacionado con el truco unitario anterior que muestra que todas las representaciones de dimensión finita son, o pueden hacerse, unitarias. Si (Π, V ) es una representación de dimensión finita de ungrupo de Lie compacto G y si (·, ·) es cualquier producto interno en V , defina un nuevo producto interno (·, ·) Π por ( x , y ) Π = ∫ G (Π ( g ) x , Π ( g ) y dμ ( g ) , donde μ es la medida de Haar en G. Entonces Π es unitario con respecto a (·, ·) Π . Véase Hall (2015 , Teorema 4.28. )
Otra consecuencia es que cada grupo de Lie compacto tiene la propiedad de reducibilidad completa , lo que significa que todas sus representaciones de dimensión finita se descomponen como una suma directa de representaciones irreductibles . Hall (2015 , Definición 4.24., Teorema 4.28.)
También es cierto que no existen representaciones unitarias irreductibles de dimensión infinita de grupos de Lie compactos, como se indica, pero no se demuestra en Greiner & Müller (1994 , Sección 15.2.).
- ^ Lee 2003 Lema A.17 (c). Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos.
- ^ Lee 2003 Lema A.17 (a). Si f : X → Y es continuo, X es compacto, entonces f ( X ) es compacto.
- ↑ La no unitaridad es un ingrediente vital en la demostración del teorema de Coleman-Mandula , que tiene la implicación de que, contrariamente a las teorías no relativistas, no puede existir unasimetría ordinaria que relacione partículas de espín diferente. Véase Weinberg (2000)
- ^ Ésta es una de las conclusiones del teorema de Cartan , el teorema de mayor peso. Hall (2015 , Teoremas 9.4-5.)
- ^ Hall 2015 , Sección 8.2 El sistema raíz es la unión de dos copias de A 1 , donde cada copia reside en sus propias dimensiones en el espacio vectorial de incrustación.
- ^ Rossmann 2002 Esta definición es equivalente a la definición en términos del grupo de Lie conectado cuya álgebra de Lie es el álgebra de Lie del sistema de raíces en consideración.
- ↑ Véase Simmons (1972 , Sección 30) para conocer las condiciones precisas bajo las cuales dos métodos de Frobenius producen dos soluciones linealmente independientes. Si los exponentes no difieren en un número entero, este es siempre el caso.
- ^ "Esto es lo más cercano a la fuente de la teoría de las representaciones de dimensiones infinitas de grupos semisimple y reductivo ..." , Langlands (1985 , p. 204.), refiriéndose a un pasaje introductorio en el artículo de Dirac de 1945.
- ^ Tenga en cuenta que para un espacio de Hilbert H , HS ( H ) puede identificarse canónicamente con el producto del tensor de espacio de Hilbert de H y su espacio conjugado.
- ^ Si se exige la dimensionalidad finita, los resultados son las representaciones ( m , n ) , véase Tung (1985 , problema 10.8). Si no se exige ninguna,se obtieneuna clasificación más amplia de todas las representaciones irreducibles, incluidas las representaciones de dimensión finita y los unitarios. Este enfoque se toma en Harish-Chandra (1947) .
Notas
- ^ Bargmann y Wigner, 1948
- ^ Bekaert y Boulanger, 2006
- ^ Misner, Thorne y Wheeler 1973
- ^ Weinberg 2002 , Sección 2.5, Capítulo 5.
- ^ Tung 1985 , Secciones 10.3, 10.5.
- ^ Tung 1985 , sección 10.4.
- ↑ Dirac, 1945
- ^ a b c Harish-Chandra, 1947
- ^ a b Greiner y Reinhardt 1996 , Capítulo 2.
- ^ Weinberg 2002 , Prólogo e introducción al capítulo 7.
- ^ Weinberg 2002 , Introducción al capítulo 7.
- ^ Tung 1985 , Definición 10.11.
- ^ Greiner y Müller (1994 , Capítulo 1)
- ^ Greiner y Müller (1994 , Capítulo 2)
- ^ Tung 1985 , p. 203.
- ^ Delbourgo, Salam y Strathdee 1967
- ^ Weinberg (2002 , sección 3.3)
- ^ Weinberg (2002 , sección 7.4.)
- ^ Tung 1985 , Introducción al capítulo 10.
- ^ Tung 1985 , definición 10.12.
- ^ Tung 1985 , Ecuación 10.5-2.
- ^ Weinberg 2002 , ecuaciones 5.1.6–7.
- ↑ a b Tung 1985 , Ecuación 10.5-18.
- ^ Weinberg 2002 , ecuaciones 5.1.11-12.
- ^ Tung 1985 , sección 10.5.3.
- ^ Zwiebach 2004 , sección 6.4.
- ^ Zwiebach 2004 , Capítulo 7.
- ^ Zwiebach 2004 , sección 12.5.
- ^ a b Weinberg 2000 , sección 25.2.
- ^ Zwiebach 2004 , último párrafo, sección 12.6.
- ^ Estos hechos se pueden encontrar en la mayoría de los textos de introducción a las matemáticas y la física. Véase, por ejemplo, Rossmann (2002) , Hall (2015) y Tung (1985) .
- ↑ Hall (2015 , Teorema 4.34 y discusión siguiente).
- ^ a b c Wigner, 1939
- ^ Pasillo 2015 , Apéndice D2.
- ^ Greiner y Reinhardt 1996
- ^ Weinberg 2002 , sección 2.6 y capítulo 5.
- ↑ a b Coleman , 1989 , p. 30.
- ↑ Lie 1888 , 1890, 1893. Fuente primaria.
- ^ Coleman , 1989 , p. 34.
- ^ Fuente primaria de la matanza de 1888 .
- ^ a b Rossmann 2002 , curiosidades históricas esparcidas por el texto.
- ^ Cartan 1913 Fuente primaria.
- ^ Verde 1998 , p = 76.
- ^ Brauer & Weyl 1935 Fuente primaria.
- ^ Tung 1985 , Introducción.
- ^ Fuente primaria de Weyl 1931 .
- ^ Fuente primaria de Weyl 1939 .
- ^ Langlands 1985 , págs. 203-205
- ^ Fuente primaria de Harish-Chandra 1947 .
- ^ Tung 1985 , Introducción
- ^ Fuente primaria de Wigner 1939 .
- ^ Klauder 1999
- ^ Bargmann 1947 Fuente primaria.
- ↑ Bargmann también fue matemático . Trabajó comoasistente de Albert Einstein en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton ( Klauder (1999) ).
- ^ Bargmann & Wigner 1948 Fuente primaria.
- ^ Dalitz y Peierls 1986
- ^ Fuente primaria de Dirac 1928 .
- ^ Weinberg 2002 , ecuaciones 5.6.7–8.
- ^ Weinberg 2002 , ecuaciones 5.6.9-11.
- ↑ a b c Hall 2003 , Capítulo 6.
- ^ a b c d Knapp 2001
- ^ Ésta es una aplicación de Rossmann 2002 , Sección 6.3, Proposición 10.
- ↑ a b Knapp , 2001 , p. 32.
- ^ Weinberg 2002 , ecuaciones 5.6.16-17.
- ^ Weinberg 2002 , sección 5.6. Las ecuaciones se derivan de las ecuaciones 5.6.7–8 y 5.6.14–15.
- ^ a b Tung 1985
- ^ Weinberg 2002 Ver nota a pie de página en la p. 232.
- ^ Mentira 1888
- ^ Rossmann 2002 , sección 2.5.
- ↑ Hall 2015 , Teorema 2.10.
- ^ Bourbaki 1998 , p. 424.
- ^ Weinberg 2002 , sección 2.7 p.88.
- ^ a b c d e Weinberg 2002 , sección 2.7.
- ↑ Hall 2015 , Apéndice C.3.
- ^ Wigner , 1939 , pág. 27.
- ↑ Gelfand, Minlos & Shapiro 1963 Esta construcción del grupo de recubrimiento se trata en el párrafo 4, sección 1, capítulo 1 de la Parte II.
- ^ Rossmann 2002 , sección 2.1.
- ^ Hall 2015 , primeras ecuaciones mostradas en la sección 4.6.
- ^ Hall 2015 , ejemplo 4.10.
- ^ a b Knapp 2001 , Capítulo 2.
- ^ Ecuación 2.1 de Knapp 2001 .
- ^ Hall 2015 , Ecuación 4.2.
- ^ Hall 2015 , Ecuación antes de 4.5.
- ^ Ecuación 2.4 de Knapp 2001 .
- ^ Knapp 2001 , sección 2.3.
- ↑ Hall 2015 , Teoremas 9.4-5.
- ^ Weinberg 2002 , Capítulo 5.
- ↑ Hall 2015 , Teorema 10.18.
- ^ Pasillo 2003 , p. 235.
- ^ Consulte cualquier texto sobre teoría de grupos básica.
- ^ Rossmann 2002 Proposiciones 3 y 6 párrafo 2.5.
- ^ Hall 2003 Ver ejercicio 1, Capítulo 6.
- ^ Bekaert y Boulanger 2006 p.4.
- ^ Salón 2003 Proposición 1.20.
- ^ Lee 2003 , Teorema 8.30.
- ^ Weinberg 2002 , sección 5.6, p. 231.
- ^ Weinberg 2002 , sección 5.6.
- ^ Weinberg 2002 , p. 231.
- ^ Weinberg 2002 , Secciones 2.5, 5.7.
- ^ Tung 1985 , sección 10.5.
- ^ Weinberg 2002 Esto se describe (muy brevemente) en la página 232, apenas más que una nota a pie de página.
- ^ Pasillo 2003 , Proposición 7.39.
- ↑ a b Hall , 2003 , Teorema 7.40.
- ^ Pasillo 2003 , sección 6.6.
- ^ Pasillo 2003 , segundo punto de la proposición 4.5.
- ^ Pasillo 2003 , p. 219.
- ^ Rossmann 2002 , ejercicio 3 en el párrafo 6.5.
- ^ Hall 2003 Ver apéndice D.3
- ^ Weinberg 2002 , Ecuación 5.4.8.
- ^ a b Weinberg 2002 , sección 5.4.
- ^ Weinberg 2002 , págs. 215-216.
- ^ Weinberg 2002 , Ecuación 5.4.6.
- ^ Weinberg 2002 Sección 5.4.
- ^ Weinberg 2002 , sección 5.7, págs. 232-233.
- ^ Weinberg 2002 , sección 5.7, p. 233.
- ^ Ecuación de Weinberg 2002 2.6.5.
- ^ Ecuación de Weinberg 2002 después de 2.6.6.
- ^ Weinberg 2002 , sección 2.6.
- ^ Para una discusión detallada del giro 0, 1/2y 1 casos, ver Greiner & Reinhardt 1996 .
- ^ Weinberg 2002 , Capítulo 3.
- ^ Rossmann 2002 Consulte la sección 6.1 para obtener más ejemplos, tanto de dimensión finita como de dimensión infinita.
- ^ Gelfand, Minlos y Shapiro 1963
- ^ Churchill y Brown 2014 , capítulo 8 págs. 307-310.
- ^ González, PA; Vásquez, Y. (2014). "Modos cuasinormales de Dirac de agujeros negros de nuevo tipo en nueva gravedad masiva". EUR. Phys. J. C . 74: 2969 (7): 3. arXiv : 1404.5371 . Código Bibliográfico : 2014EPJC ... 74.2969G . doi : 10.1140 / epjc / s10052-014-2969-1 . ISSN 1434-6044 . S2CID 118725565 .
- ^ Abramowitz y Stegun 1965 , Ecuación 15.6.5.
- ^ Simmons 1972 , Secciones 30, 31.
- ^ Simmons 1972 , Secciones 30.
- ^ Simmons 1972 , sección 31.
- ^ Simmons 1972 , Ecuación 11 en el apéndice E, capítulo 5.
- ^ Langlands 1985 , p. 205.
- ^ Varadarajan 1989 , Secciones 3.1. 4.1.
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- ^ Gelfand, Graev y Pyatetskii-Shapiro 1969
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- ↑ a b Taylor, 1986
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- ↑ Bargmann, 1947
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- ^ Folland 2015 , Teorema 5.2.
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- ^ Tung 1985 , ecuaciones 7.3-13, 7.3-14.
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- ↑ Hall 2015 , Proposición C.7.
- ↑ Hall 2015 , Apéndice C.2.
- ^ Tung 1985 , paso II sección 10.2.
- ^ Tung 1985 , ecuaciones 10.3-5. La notación de Tung para los coeficientes de Clebsch-Gordan difiere de la que se usa aquí.
- ^ Tung 1985 , Ecuación VII-3.
- ^ Tung 1985 , ecuaciones 10.3-5, 7, 8.
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- ^ Weinberg 2002 , Ecuación 2.4.12.
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- ^ Zwiebach 2004 , sección 12.8.
- ↑ a b Bekaert y Boulanger , 2006 , p. 48.
- ^ Zwiebach 2004 , sección 18.8.
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