Matriz de Jordan

En la disciplina matemática de la teoría de matrices , un bloque de Jordan sobre un anillo R (cuyas identidades son cero 0 y uno 1) es una matriz compuesta de ceros en todas partes excepto en la diagonal, que se llena con un elemento fijo.${\displaystyle \lambda \in R}$, y para la superdiagonal , que se compone de unos. El concepto lleva el nombre de Camille Jordan .

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}}$

Definición

Cada bloque de Jordan especificado por su dimensión ny su valor propio λ y se denota como J _{λ, n} .

Cualquier matriz diagonal de bloques cuyos bloques sean bloques de Jordan se denomina matriz de Jordan ; usando el${\displaystyle \oplus }$o el símbolo " diag ", la matriz cuadrada diagonal del bloque ( n ₁ + ⋯ + n _r ) × ( n ₁ + ⋯ + n _r ) que consta de r bloques diagonales, donde el primero es J _{λ 1 , n 1} , el segundo es J _{λ 2 , n 2} , y así sucesivamente, hasta que la r- ésima sea J _{λ r , n r} , puede indicarse de forma compacta como${\displaystyle J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}}$ o ${\displaystyle \mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},n_{1}},\ldots ,J_{\lambda _{r},n_{r}}\right)}$, respectivamente.

Por ejemplo, la matriz

${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{ccc|cc|cc|ccc}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&i&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{array}}\right]}$

es una matriz de Jordan de 10 × 10 con un bloque de 3 × 3 con valor propio 0 , dos bloques de 2 × 2 con valor propio la unidad imaginaria i , y un bloque de 3 × 3 con valor propio 7. Su estructura de bloque de Jordan también se puede escribir como${\displaystyle J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}}$o diag ( J _0,3 , J _{i , 2} , J _{i , 2} , J _7,3 ) .

Álgebra lineal

Cualquier matriz A n × n cuadrada cuyos elementos estén en un campo K algebraicamente cerrado es similar a una matriz J de Jordan , también en ${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(K)}$, que es único hasta una permutación de sus propios bloques diagonales. J se llama la forma normal de Jordan de A y corresponde a una generalización del procedimiento de diagonalización. ^{[1] [2] [3]} Una matriz diagonalizable es similar, de hecho, a un caso especial de matriz de Jordan: la matriz cuyos bloques son todos 1 × 1 . ^{[4] [5] [6]}

De manera más general, dada una matriz de Jordan ${\displaystyle J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}}$, es decir, cuyo k- ésimo bloque diagonal, 1 ≤ k ≤ N es el bloque de Jordan J _{λ k , m k} y cuyos elementos diagonales λ _k pueden no ser todos distintos, la multiplicidad geométrica de${\displaystyle \lambda \in K}$para la matriz J , indicada como gmul _J λ , corresponde al número de bloques de Jordan cuyo valor propio es λ . Mientras que el índice de un valor propio λ para J , indicado como idx _J λ , se define como la dimensión del bloque de Jordan más grande asociado a ese valor propio.

Lo mismo ocurre con todas las matrices A similares a J , por lo que idx _A λ se puede definir en consecuencia con respecto a la forma normal de Jordan de A para cualquiera de sus valores propios.${\displaystyle \lambda \in \mathrm {spec} A}$. En este caso se puede comprobar que el índice de λ${\displaystyle \lambda }$para A es igual a su multiplicidad como raíz del polinomio mínimo de A (mientras que, por definición, su multiplicidad algebraica para A , mul _A λ , es su multiplicidad como raíz del polinomio característico de A , es decir${\displaystyle \det(A-xI)\in K[x]}$). Una condición equivalente necesaria y suficiente para que A sea ​​diagonalizable en K es que todos sus valores propios tengan un índice igual a 1 , es decir, su polinomio mínimo tiene sólo raíces simples.

Tenga en cuenta que conocer el espectro de una matriz con todas sus multiplicidades e índices algebraicos / geométricos no siempre permite el cálculo de su forma normal de Jordan (esto puede ser una condición suficiente solo para matrices espectralmente simples, generalmente de baja dimensión): la descomposición de Jordan es, en general, una tarea desafiante desde el punto de vista informático. Desde el punto de vista del espacio vectorial , la descomposición de Jordan es equivalente a encontrar una descomposición ortogonal (es decir, a través de sumas directas de espacios propios representados por bloques de Jordan) del dominio en el que se basan los vectores propios generalizados asociados .

Funciones de matrices

Dejar ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$(es decir, una matriz compleja n × n ) y${\displaystyle C\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$sea ​​el cambio de matriz base a la forma normal de Jordan de A , es decir, A = C ⁻¹ JC . Ahora sea f  ( z ) una función holomórfica en un conjunto abierto Ω tal que${\displaystyle \mathrm {spec} A\subset {\mathit {\Omega }}\subseteq \mathbb {C} }$, es decir, el espectro de la matriz está contenido dentro del dominio de holomorfia de f . Dejar

${\displaystyle f(z)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}(z-z_{0})^{h}}$

ser la expansión de la serie de potencia de f alrededor${\displaystyle z_{0}\in {\mathit {\Omega }}\setminus \mathrm {spec} A}$, que en lo sucesivo se supondrá que es 0 por simplicidad. La matriz f  ( A ) se define mediante la siguiente serie de potencias formales

${\displaystyle f(A)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}A^{h}}$

y es absolutamente convergente con respecto a la norma euclidiana de${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$. Para decirlo de otra manera, f  ( A ) converge absolutamente para cada matriz cuadrada cuyo radio espectral es menor que el radio de convergencia de f alrededor de 0 y es uniformemente convergente en cualquier subconjunto compacto de${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$satisfaciendo esta propiedad en la topología del grupo de Lie matricial .

La forma normal de Jordan permite el cálculo de funciones de matrices sin calcular explícitamente una serie infinita , que es uno de los principales logros de las matrices de Jordan. Usando los hechos de que la k- ésima potencia (${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$) de una matriz de bloques diagonales es la matriz de bloques diagonales cuyos bloques son las k- ésimas potencias de los bloques respectivos, es decir${\displaystyle \left(A_{1}\oplus A_{2}\oplus A_{3}\oplus \cdots \right)^{k}=A_{1}^{k}\oplus A_{2}^{k}\oplus A_{3}^{k}\oplus \cdots }$, y que A ^k = C ⁻¹ J ^k C , la serie de potencias de la matriz anterior se convierte en

${\displaystyle f(A)=C^{-1}f(J)C=C^{-1}\left(\bigoplus _{k=1}^{N}f\left(J_{\lambda _{k},m_{k}}\right)\right)C}$

donde la última serie no necesita calcularse explícitamente a través de series de potencia de cada bloque de Jordan. De hecho, si${\displaystyle \lambda \in {\mathit {\Omega }}}$, cualquier función holomórfica de un bloque de Jordan f  ( J _{λ, n} ) es la siguiente matriz triangular superior :

${\displaystyle f(J_{\lambda ,n})={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&{\frac {f^{\prime \prime }(\lambda )}{2}}&\cdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}&{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}&{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&f(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-4)}(\lambda )}{(n-4)!}}&{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )\\0&0&0&\cdots &0&f(\lambda )\\\end{bmatrix}}.}$

Como consecuencia de esto, el cálculo de cualquier función de una matriz es sencillo siempre que se conocen su forma normal de Jordan y su matriz de cambio de base. Además, spec  f ( A ) = f  (spec  A ) , es decir, cada valor propio${\displaystyle \lambda \in \mathrm {spec} A}$ corresponde al valor propio ${\displaystyle f(\lambda )\in \mathrm {spec} f(A)}$, pero tiene, en general, diferente multiplicidad algebraica , multiplicidad geométrica e índice. Sin embargo, la multiplicidad algebraica se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle {\text{mul}}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in {\text{spec}}A\cap f^{-1}(f(\lambda ))}~{\text{mul}}_{A}\mu .}$

La función f  ( T ) de una transformación lineal T entre espacios vectoriales se puede definir de manera similar según el cálculo funcional holomórfico , donde las teorías del espacio de Banach y de la superficie de Riemann juegan un papel fundamental. En el caso de los espacios de dimensión finita, ambas teorías encajan perfectamente.

Sistemas dinámicos

Ahora suponga que un sistema dinámico (complejo) se define simplemente por la ecuación

${\displaystyle {\dot {\mathbf {z} }}(t)=A(\mathbf {c} )\mathbf {z} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {z} (0)=\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n},}$

donde ${\displaystyle \mathbf {z} :\mathbb {R} _{+}\to {\mathcal {R}}}$es la parametrización de la curva ( n- dimensional) de una órbita en la superficie de Riemann ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$del sistema dinámico, mientras que A ( c ) es una matriz compleja n × n cuyos elementos son funciones complejas de un parámetro d- dimensional${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{d}}$.

Incluso si ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}\left(\mathrm {C} ^{0}\left(\mathbb {C} ^{d}\right)\right)}$(es decir, A depende continuamente del parámetro c ) la forma normal de Jordan de la matriz se deforma continuamente en casi todas partes en${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$pero, en general, no en todas partes: hay alguna subvariedad crítica de${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$en el que la forma de Jordan cambia abruptamente su estructura cada vez que el parámetro se cruza o simplemente "viaja" a su alrededor ( monodromía ). Tales cambios significan que varios bloques de Jordan (pertenecientes a diferentes valores propios o no) se unen en un bloque de Jordan único, o viceversa (es decir, un bloque de Jordan se divide en dos o más diferentes). Muchos aspectos de la teoría de la bifurcación para sistemas dinámicos tanto continuos como discretos se pueden interpretar con el análisis de matrices de Jordan funcionales.

De la dinámica del espacio tangente , esto significa que la descomposición ortogonal del espacio de fase del sistema dinámico cambia y, por ejemplo, diferentes órbitas ganan periodicidad, o la pierden, o cambian de un cierto tipo de periodicidad a otra (como la duplicación del período , cfr. mapa logístico ).

En una oración, el comportamiento cualitativo de tal sistema dinámico puede cambiar sustancialmente como la deformación versal de la forma normal de Jordan de A ( c ) .

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

El ejemplo más simple de un sistema dinámico es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, de coeficiente constante, es decir, sea${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$ y ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {z} }}(t)=A\mathbf {z} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {z} (0)=\mathbf {z} _{0},}$

cuya solución directa de forma cerrada implica el cálculo de la matriz exponencial :

${\displaystyle \mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.}$

De otra forma, siempre que la solución esté restringida al espacio local de Lebesgue de campos vectoriales n- dimensionales${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}}$, es usar su transformada de Laplace ${\displaystyle \mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}[\mathbf {z} ](s)}$. En este caso

${\displaystyle \mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.}$

La función matricial ( A - sI ) ⁻¹ se denomina matriz resolutiva del operador diferencial ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A}$. Es meromórfico con respecto al parámetro complejo${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ya que sus elementos matriciales son funciones racionales cuyo denominador es igual para todos a det ( A - sI ) . Sus singularidades polares son los valores propios de A , cuyo orden es igual a su índice para ella, es decir${\displaystyle \mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda }$.

Ver también

• Descomposición de Jordan
• Jordan forma normal
• Cálculo funcional holomórfico
• Matriz exponencial
• Logaritmo de una matriz
• Sistema dinámico
• Teoría de la bifurcación
• Espacio de estado (controles)

Notas

1. Beauregard y Fraleigh (1973 , págs. 310-316)
2. Golub y Van Loan (1996 , p. 317)
3. Nering (1970 , págs. 118-127)
4. Beauregard y Fraleigh (1973 , págs. 270-274)
5. Golub y Van Loan (1996 , p. 316)
6. Nering (1970 , págs. 113-118)

Referencias

• Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3.a ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2a ed.), Nueva York: Wiley , LCCN  76091646