En matemáticas , un grupo topológico localmente compacto G tiene propiedad (T) si la representación trivial es un punto aislado en su dual unitario equipado con la topología Fell . De manera informal, esto significa que si G actúa unitariamente en un espacio de Hilbert y tiene "vectores casi invariantes", entonces tiene un vector invariante distinto de cero . La definición formal, introducida por David Kazhdan ( 1967 ), le da a esto un significado cuantitativo preciso.
Aunque originalmente se definió en términos de representaciones irreductibles , la propiedad (T) a menudo se puede verificar incluso cuando hay poco o ningún conocimiento explícito del dual unitario. La propiedad (T) tiene aplicaciones importantes en la teoría de representación de grupos , celosías en grupos algebraicos sobre campos locales , teoría ergódica , teoría de grupos geométricos , expansores , álgebras de operadores y teoría de redes .
Definiciones
Deje que G sea una, σ-compacto localmente compacto grupo topológico y π: G → U ( H ) una representación unitaria de G en un (complejo) espacio de Hilbert H . Si ε> 0 y K es un subconjunto compacto de G , entonces un vector unitario ξ en H se denomina vector invariante (ε, K ) si
Las siguientes condiciones en G son todas equivalentes a que G tenga la propiedad (T) de Kazhdan , y cualquiera de ellas puede usarse como la definición de propiedad (T).
(1) La representación trivial es un punto aislado del dual unitario de G con topología Fell .
(2) Cualquier secuencia de continuas funciones definidas positivas en G que converge a 1 uniformemente sobre subconjuntos compactos , converge a 1 de manera uniforme en G .
(3) Toda representación unitaria de G que tiene un vector unitario invariante (ε, K ) para cualquier ε> 0 y cualquier subconjunto compacto K , tiene un vector invariante distinto de cero.
(4) Existe un ε> 0 y un subconjunto compacto K de G tal que cada representación unitaria de G que tiene un vector unitario invariante (ε, K ), tiene un vector invariante distinto de cero.
(5) Toda acción isométrica afín continua de G en un espacio real de Hilbert tiene un punto fijo ( propiedad (FH) ).
Si H es un subgrupo cerrado de G , se dice que el par ( G , H ) tiene propiedad relativa (T) de Margulis si existe un ε> 0 y un subconjunto compacto K de G tal que siempre que una representación unitaria de G tenga un (ε, K ) unidad -invariant vector, entonces se tiene un vector distinto de cero fijado por H .
Discusión
La definición (4) implica evidentemente la definición (3). Para mostrar lo contrario, sea G un grupo localmente compacto que satisface (3), suponga por contradicción que para cada K y ε hay una representación unitaria que tiene un vector unitario invariante ( K , ε) y no tiene un vector invariante . Mire la suma directa de todas esas representaciones y eso negará (4).
La equivalencia de (4) y (5) (Propiedad (FH)) es el teorema de Delorme-Guichardet. El hecho de que (5) implique (4) requiere la suposición de que G es σ-compacto (y localmente compacto) (Bekka et al., Teorema 2.12.4).
Propiedades generales
- La propiedad (T) se conserva bajo cocientes: si G tiene la propiedad (T) y H es un grupo de cocientes de G, entonces H tiene la propiedad (T). De manera equivalente, si una imagen homomorphic de un grupo G no no tiene la propiedad (T), entonces G en sí no tiene propiedad (T).
- Si G tiene la propiedad (T), entonces G / [ G , G ] es compacto.
- Cualquier grupo discreto contable con propiedad (T) se genera de forma finita.
- Un grupo dócil que tiene la propiedad (T) es necesariamente compacto . La amenazabilidad y la propiedad (T) son, en un sentido aproximado, opuestas: hacen que los vectores casi invariantes sean fáciles o difíciles de encontrar.
- Teorema de Kazhdan : Si Γ es una red en un grupo de Lie G, entonces Γ tiene propiedad (T) si y solo si G tiene propiedad (T). Por tanto, para n ≥ 3, el grupo lineal especial SL ( n , Z ) tiene la propiedad (T).
Ejemplos de
- Los grupos topológicos compactos tienen propiedad (T). En particular, el grupo circular , el grupo aditivo Z p de p -enteros ádicos, los grupos unitarios especiales compactos SU ( n ) y todos los grupos finitos tienen propiedad (T).
- Los grupos de Lie reales simples de rango real al menos dos tienen propiedad (T). Esta familia de grupos incluye los grupos lineales especiales SL ( n , R ) para n ≥ 3 y los grupos ortogonales especiales SO ( p , q ) para p > q ≥ 2 y SO ( p , p ) para p ≥ 3. Más generalmente , esto es válido para grupos algebraicos simples de rango al menos dos en un campo local .
- Los pares ( R n ⋊ SL ( n , R ), R n ) y ( Z n ⋊ SL ( n , Z ), Z n ) tienen propiedad relativa (T) para n ≥ 2.
- Para n ≥ 2, el grupo de Lie no compacto Sp ( n , 1) de isometrías de una forma hermitiana cuaterniónica de firma ( n , 1) es un grupo de Lie simple de rango real 1 que tiene propiedad (T). Según el teorema de Kazhdan, las celosías de este grupo tienen propiedad (T). Esta construcción es significativa porque estas redes son grupos hiperbólicos ; así, hay grupos que son hiperbólicos y tienen propiedad (T). Los enrejados aritméticos en Sp ( n , 1) y ciertos grupos de reflexión cuaterniónicos proporcionan ejemplos explícitos de grupos en esta categoría .
Ejemplos de grupos que no tienen propiedad (T) incluyen
- Los grupos aditivos de números enteros Z , de números reales R y de p -números ádicos Q p .
- Los grupos lineales especiales SL (2, Z ) y SL (2, R ), como resultado de la existencia de representaciones en series complementarias cercanas a la representación trivial, aunque SL (2, Z ) tiene propiedad (τ) con respecto a la congruencia principal subgrupos, por el teorema de Selberg.
- Grupos solubles no compactos .
- Grupos libres no triviales y grupos abelianos libres .
Grupos discretos
Históricamente, la propiedad (T) se estableció para grupos discretos Γ incrustándolos como rejillas en grupos de Lie reales o p-ádicos con propiedad (T). Ahora hay varios métodos directos disponibles.
- El método algebraico de Shalom se aplica cuando Γ = SL ( n , R ) con R un anillo yn ≥ 3; el método se basa en el hecho de que Γ puede generarse de forma acotada , es decir, puede expresarse como un producto finito de subgrupos más fáciles, como los subgrupos elementales que consisten en matrices que difieren de la matriz de identidad en una posición fuera de la diagonal dada.
- El método geométrico tiene su origen en las ideas de Garland, Gromov y Pierre Pansu . Su versión combinatoria simple es debido a Zuk: que Γ ser un grupo discreto generado por un subconjunto finito S , cerrado bajo teniendo inversas y que no contiene la identidad, y definir un finito gráfico con vértices S y un borde entre g y h cuando g - 1 h mentiras en S . Si esta gráfica está conectada y el valor propio más pequeño distinto de cero del laplaciano de la caminata aleatoria simple correspondiente es mayor que ½, entonces Γ tiene la propiedad (T). Una versión geométrica más general, debida a Zuk y Ballmann & Swiatkowski (1997) , establece que si un grupo discreto Γ actúa correctamente de manera discontinua y cocompacta sobre un complejo simplicial bidimensional contractible con las mismas condiciones teóricas de grafos colocadas en el vínculo en cada vértice , entonces Γ tiene la propiedad (T). Se pueden exhibir muchos ejemplos nuevos de grupos hiperbólicos con propiedad (T) usando este método.
- El método asistido por computadora se basa en una sugerencia de Narutaka Ozawa y ha sido implementado con éxito por varios investigadores. Se basa en la caracterización algebraica de la propiedad (T) en términos de una desigualdad en el álgebra de grupo real , para la cual se puede encontrar una solución resolviendo numéricamente un problema de programación semidefinido en una computadora. En particular, este método ha confirmado la propiedad (T) para el grupo de automorfismo del grupo libre de rango al menos 5. No se conoce ninguna prueba humana para este resultado.
Aplicaciones
- Grigory Margulis utilizó el hecho de que SL ( n , Z ) (para n ≥ 3) tiene la propiedad (T) para construir familias explícitas de gráficos en expansión , es decir, gráficos con la propiedad de que cada subconjunto tiene un "límite" uniformemente grande. Esta conexión llevó a varios estudios recientes que dieron una estimación explícita de las constantes de Kazhdan , cuantificando la propiedad (T) para un grupo particular y un grupo electrógeno.
- Alain Connes utilizó grupos discretos con propiedad (T) para encontrar ejemplos de factores de tipo II 1 con grupo fundamental contable , por lo que, en particular, no la totalidad de los reales positivos ℝ + . Sorin Popa utilizó posteriormente la propiedad relativa (T) para grupos discretos para producir un factor de tipo II 1 con un grupo fundamental trivial.
- Los grupos con propiedad (T) conducen a buenas propiedades de mezcla en la teoría ergódica : de nuevo, informalmente, un proceso que se mezcla lentamente deja algunos subconjuntos casi invariantes . [ cita requerida ] [ aclaración necesaria ]
- De manera similar, los grupos con la propiedad (T) se pueden usar para construir conjuntos finitos de matrices invertibles que pueden aproximarse eficientemente a cualquier matriz invertible dada, en el sentido de que cada matriz puede aproximarse, con un alto grado de precisión, por un producto finito de matrices. en la lista o sus inversas, de modo que el número de matrices necesarias sea proporcional al número de dígitos significativos en la aproximación. [ cita requerida ] [ aclaración necesaria ]
- Los grupos con propiedad (T) también tienen la propiedad FA de Serre . [1]
- Toshikazu Sunada observó que la positividad de la parte inferior del espectro de un laplaciano "retorcido" en una variedad cerrada está relacionada con la propiedad (T) del grupo fundamental . [2] Esta observación produce el resultado de Brooks que dice que la parte inferior del espectro del Laplaciano en la variedad de cobertura universal sobre una variedad Riemanniana cerrada M es igual a cero si y solo si el grupo fundamental de M es susceptible . [3]
Referencias
- ^ Watatani, Yasuo (1981). "La propiedad T de Kazhdan implica la propiedad FA de Serre". Matemáticas. Japon . 27 : 97-103. Señor 0649023 . Zbl 0489.20022 .
- ^ Sunada, Toshikazu (1989). "Representaciones unitarias de grupos fundamentales y el espectro de retorcidos laplacianos" . Topología . 28 (2): 125-132. doi : 10.1016 / 0040-9383 (89) 90015-3 .
- ^ Brooks, Robert (1981). "El grupo fundamental y el espectro de los laplacianos". Comentario. Matemáticas. Helv . 56 : 581–598. doi : 10.1007 / bf02566228 .
- Ballmann, W .; Swiatkowski, J. (1997), "L 2 -cohomología y propiedad (T) para grupos de automorfismo de complejos de células poliédricas", GAFA , 7 (4): 615–645, CiteSeerX 10.1.1.56.8641 , doi : 10.1007 / s000390050022
- Bekka, Bachir; de la Harpe, Pierre; Valette, Alain (2008), propiedad de Kazhdan (T) (PDF) , New Mathematical Monographs, 11 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88720-5, MR 2415834
- de la Harpe, P .; Valette, A. (1989), "La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement compactes (con un apéndice de M. Burger)", Astérisque , 175.
- Kazhdan, D. (1967), "Sobre la conexión del espacio dual de un grupo con la estructura de sus subgrupos cerrados", Análisis funcional y sus aplicaciones , 1 (1): 63–65, doi : 10.1007 / BF01075866SEÑOR0209390
- Lubotzky , A. (1994), Grupos discretos, gráficos en expansión y medidas invariantes , Progreso en matemáticas, 125 , Basilea: Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5075-8
- Lubotzky , A. y A. Zuk, On property (τ) , se publicará una monografía.
- Lubotzky , A. (2005), "What is property (τ)" (PDF) , AMS Notices , 52 (6): 626–627.
- Shalom, Y. (2006), "La algebraización de la propiedad (T)" (PDF) , Congreso Internacional de Matemáticos Madrid 2006
- Zuk, A. (1996), "La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes agissant sur les polyèdres", CR Acad. Sci. París , 323 : 453–458.
- Zuk, A. (2003), "Propiedad (T) y constantes de Kazhdan para grupos discretos", GAFA , 13 (3): 643–670, doi : 10.1007 / s00039-003-0425-8.