Ecuación de Korteweg-De Vries
En matemáticas , la ecuación de Korteweg-De Vries (KdV) es un modelo matemático de ondas en superficies de aguas poco profundas. Es particularmente notable como el ejemplo prototípico de un modelo exactamente resoluble , es decir, una ecuación diferencial parcial no lineal cuyas soluciones pueden especificarse exacta y precisamente. KdV se puede resolver mediante la transformada de dispersión inversa . La teoría matemática detrás de la ecuación KdV es un tema de investigación activa. La ecuación KdV fue introducida por primera vez por Boussinesq ( 1877 , nota a pie de página en la página 360) y redescubierta por Diederik Korteweg y Gustav de Vries. ( 1895 ). [2]
La ecuación KdV es un no lineal, dispersivo ecuación diferencial parcial de una función de dos adimensionales reales de variables, x y t que son proporcionales al espacio y el tiempo, respectivamente: [3]
La constante 6 delante del último término es convencional pero no tiene gran importancia: multiplicar t , x y por constantes se puede usar para hacer que los coeficientes de cualquiera de los tres términos sean iguales a cualquier constante distinta de cero.
Considere soluciones en las que una forma de onda fija (dada por f ( X )) mantiene su forma mientras viaja hacia la derecha a una velocidad de fase c . Tal solución viene dada por φ ( x , t ) = f ( x - ct - a ) = f ( X ). Sustituirlo en la ecuación KdV da la ecuación diferencial ordinaria
donde A es una constante de integración . Al interpretar la variable independiente X anterior como una variable de tiempo virtual, esto significa que f satisface la ecuación de movimiento de Newton de una partícula de masa unitaria en un potencial cúbico
entonces la función potencial V ( f ) tiene un máximo local en f = 0, hay una solución en la que f ( X ) comienza en este punto en el 'tiempo virtual' −∞, finalmente se desliza hacia abajo hasta el mínimo local , luego vuelve a subir el otro lado, alcanzando una altura igual, luego invierte la dirección, terminando en el máximo local nuevamente en el tiempo ∞. En otras palabras, f ( X ) se acerca a 0 cuando X → ± ∞. Ésta es la forma característica de la solución de onda solitaria .
