En dinámica de fluidos , una onda cnoidal es una solución de onda periódica no lineal y exacta de la ecuación de Korteweg-de Vries . Estas soluciones están en términos de la función elíptica de Jacobi cn , por lo que se denominan ondas cn oidales. Se utilizan para describir ondas de gravedad superficiales de longitud de onda bastante larga , en comparación con la profundidad del agua.
Las soluciones de ondas cnoidales fueron derivadas por Korteweg y de Vries , en su artículo de 1895 en el que también proponen su ecuación dispersiva de onda larga, ahora conocida como ecuación de Korteweg-de Vries. En el límite de la longitud de onda infinita , la onda cnoidal se convierte en una onda solitaria .
La ecuación de Benjamin-Bona-Mahony ha mejorado el comportamiento de la longitud de onda corta , en comparación con la ecuación de Korteweg-de Vries, y es otra ecuación de onda unidireccional con soluciones de onda cnoidal. Además, dado que la ecuación de Korteweg-de Vries es una aproximación a las ecuaciones de Boussinesq para el caso de la propagación de ondas en un sentido, las ondas cnoidales son soluciones aproximadas a las ecuaciones de Boussinesq.
Las soluciones de ondas cnoidales también pueden aparecer en otras aplicaciones además de las ondas de gravedad superficiales, por ejemplo, para describir ondas acústicas de iones en la física del plasma . [1]
Fondo
Ecuaciones de Korteweg-de Vries y Benjamin-Bona-Mahony
La ecuación de Korteweg-de Vries ( ecuación KdV) se puede utilizar para describir la propagación unidireccional de ondas largas y débilmente no lineales, donde onda larga significa: tener longitudes de onda largas en comparación con la profundidad media del agua, de ondas de gravedad superficiales en un fluido. capa. La ecuación KdV es una ecuación de onda dispersiva , que incluye tanto los efectos de dispersión de frecuencia como de dispersión de amplitud . En su uso clásico, la ecuación KdV es aplicable para longitudes de onda λ superiores a unas cinco veces la profundidad media del agua h , por lo que para λ > 5 h ; y para el período τ mayor quecon g la fuerza de la aceleración gravitacional . [3] Para visualizar la posición de la ecuación KdV dentro del alcance de las aproximaciones de onda clásicas, se distingue de las siguientes maneras:
- Ecuación de Korteweg – de Vries - describe la propagación hacia adelante de ondas dispersivas y débilmente no lineales, para ondas largas con λ > 7 h .
- Ecuaciones de aguas poco profundas : también son no lineales y tienen dispersión de amplitud, pero no dispersión de frecuencia; son válidos para ondas muy largas, λ > 20 h .
- Ecuaciones de Boussinesq : tienen el mismo rango de validez que la ecuación KdV (en su forma clásica), pero permiten la propagación de ondas en direcciones arbitrarias, por lo que no solo las ondas que se propagan hacia adelante. El inconveniente es que las ecuaciones de Boussinesq suelen ser más difíciles de resolver que la ecuación KdV; y en muchas aplicaciones, las reflexiones de las ondas son pequeñas y pueden pasarse por alto.
- Teoría de ondas aéreas : tiene dispersión de frecuencia completa, por lo que es válida para profundidad y longitud de onda arbitrarias, pero es una teoría lineal sin dispersión de amplitud, limitada a ondas de baja amplitud.
- Teoría de ondas de Stokes : un enfoque de series de perturbaciones para la descripción de ondas dispersivas y débilmente no lineales, especialmente exitoso en aguas más profundas para longitudes de onda relativamente cortas, en comparación con la profundidad del agua. Sin embargo, para ondas largas, a menudo se prefiere el enfoque de Boussinesq, como también se aplica en la ecuación de KdV. Esto se debe a que en aguas poco profundas la serie de perturbaciones de Stokes necesita muchos términos antes de la convergencia hacia la solución, debido a las crestas puntiagudas y los valles largos y planosde las ondas no lineales. Mientras que los modelos KdV o Boussinesq dan buenas aproximaciones para estas ondas largas no lineales.
La ecuación KdV se puede derivar de las ecuaciones de Boussinesq, pero se necesitan supuestos adicionales para poder dividir la propagación de la onda hacia adelante. Para aplicaciones prácticas, la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony ( ecuación de BBM) es preferible a la ecuación de KdV, un modelo de propagación hacia adelante similar a KdV pero con un comportamiento de dispersión de frecuencia mucho mejor a longitudes de onda más cortas. Se pueden obtener más mejoras en el rendimiento de onda corta comenzando a derivar una ecuación de onda unidireccional a partir de un modelo moderno de Boussinesq mejorado, válido para longitudes de onda aún más cortas. [4]
Ondas cnoidales
Las soluciones de ondas cnoidales de la ecuación KdV fueron presentadas por Korteweg y de Vries en su artículo de 1895, cuyo artículo se basa en la tesis doctoral de De Vries en 1894. [5] Las soluciones de ondas solitarias para ondas largas no lineales y dispersivas se habían encontrado antes. por Boussinesq en 1872, y Rayleigh en 1876. La búsqueda de estas soluciones fue provocada por las observaciones de esta ola solitaria (u "ola de traslación") por Russell , tanto en la naturaleza como en experimentos de laboratorio. [4] Las soluciones de onda cnoidal de la ecuación KdV son estables con respecto a pequeñas perturbaciones. [6]
La elevación de la superficie η ( x , t ), en función de la posición horizontal x y el tiempo t , para una onda cnoidal viene dada por: [7]
donde H es la altura de la ola , λ es la longitud de onda , c es la velocidad de fase y η 2 es la elevación del valle . Además, cn es una de las funciones elípticas de Jacobi y K ( m ) es la integral elíptica completa del primer tipo ; ambos dependen del parámetro elíptico m . Este último, m , determina la forma de la onda cnoidal. Para m igual a cero, la onda cnoidal se convierte en una función coseno , mientras que para valores cercanos a uno, la onda cnoidal obtiene crestas puntiagudas y valles (muy) planos. Para valores de m menores que 0,95, la función cnoidal se puede aproximar con funciones trigonométricas. [8]
Un parámetro adimensional importante para ondas largas no lineales ( λ ≫ h ) es el parámetro Ursell :
Para valores pequeños de U , digamos U <5, [9] se puede usar una teoría lineal, y con valores más altos deben usarse teorías no lineales, como la teoría de ondas cnoidales. La zona de demarcación entre las teorías de ondas de Stokes y de onda cnoidal (de tercer o quinto orden) se encuentra en el rango 10-25 del parámetro de Ursell. [10] Como puede verse en la fórmula del parámetro Ursell, para una altura de ola relativa dada H / h, el parámetro Ursell, y por lo tanto también la no linealidad, crece rápidamente al aumentar la longitud de onda relativa λ / h .
Con base en el análisis del problema no lineal completo de las ondas de gravedad superficiales dentro de la teoría del flujo potencial , las ondas cnoidales anteriores pueden considerarse el término de orden más bajo en una serie de perturbaciones. Las teorías de ondas cnoidales de orden superior siguen siendo válidas para ondas más cortas y no lineales. Fenton desarrolló una teoría de ondas cnoidales de quinto orden en 1979. [11] En el artículo de revisión de Fenton se ofrece una descripción detallada y una comparación de las teorías de ondas cnoidales de quinto orden de Stokes y de quinto orden. [12]
Las descripciones de ondas cnoidales, a través de una renormalización, también se adaptan bien a las ondas en aguas profundas, incluso en aguas infinitas; según lo encontrado por Clamond. [13] [14] Osborne proporcionó en 1994 una descripción de las interacciones de las ondas cnoidales en aguas poco profundas, como se encuentran en mares reales. [15]
Tensión superficial
En caso de que los efectos de la tensión superficial sean (también) importantes, estos pueden incluirse en las soluciones de onda cnoidal para ondas largas. [dieciséis]
Soluciones de ondas periódicas
Ecuación de Korteweg – de Vries
La ecuación de Korteweg – de Vries ( ecuación de KdV), tal como se utiliza para las ondas de agua y en forma dimensional, es: [17]
dónde
η : elevación de la superficie , una función de x y t , con la dirección positiva hacia arriba (gravedad opuesta), X : coordenada horizontal, t : hora, gramo : el valor de la gravedad de la Tierra , h : la profundidad media del agua, y ∂ x y ∂ t : operadores de derivadas parciales con respecto ax y t .
- No dimensionalización
Todas las cantidades pueden hacerse adimensionales utilizando la aceleración gravitacional gy la profundidad del agua h :
- y
La forma adimensional resultante de la ecuación KdV es [17]
En el resto, las tildes se eliminarán para facilitar la notación.
- Relación con una forma estándar
La forma
se obtiene a través de la transformación
- y
pero este formulario no se utilizará más en esta derivación.
- Ondas de propagación de forma fija
Se buscan soluciones de ondas periódicas que viajen con velocidad de fase c . Estas ondas permanentes deben ser de las siguientes:
- con la fase de onda :
En consecuencia, las derivadas parciales con respecto al espacio y al tiempo se convierten en:
- y
donde η ' denota la derivada ordinaria de η ( ξ ) con respecto al argumento ξ .
Utilizándolos en la ecuación KdV, se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria de tercer orden : [18]
- Integración a una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
Esto se puede integrar una vez, para obtener: [18]
con r una constante de integración . Después de multiplicar con 4 η ' e integrar una vez más [18]
con s otra constante de integración. Esto está escrito en la forma
- con
( A )
El polinomio cúbico f ( η ) se vuelve negativo para grandes valores positivos de η y positivo para grandes valores negativos de η . Puesto que la elevación de la superficie η se valores reales , también las constantes de integración r y s son reales. El polinomio f se puede expresar en términos de sus raíces η 1 , η 2 y η 3 : [7]
( B )
Debido a que f ( η ) tiene un valor real, las tres raíces η 1 , η 2 y η 3 son las tres reales o, de lo contrario, una es real y las dos restantes son un par de conjugados complejos . En el último caso, con solo una raíz de valor real, solo hay una elevación η en la que f ( η ) es cero. Y, en consecuencia, también solo una elevación en la que la pendiente de la superficie η ' es cero. Sin embargo, buscamos soluciones ondulantes, con dos elevaciones, la cresta y la depresión de la ola (física), donde la pendiente de la superficie es cero. La conclusión es que las tres raíces de f ( η ) deben tener un valor real.
Sin pérdida de generalidad, se asume que las tres raíces reales se ordenan como:
- Solución de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden
Ahora, de la ecuación ( A ) se puede ver que solo existen valores reales para la pendiente si f ( η ) es positivo. Esto se corresponde con η 2 ≤ η ≤ η 1 , que por lo tanto es el rango entre el cual oscila la elevación de la superficie, ver también el gráfico de f ( η ). Esta condición se satisface con la siguiente representación de la elevación η ( ξ ): [7]
( C )
de acuerdo con el carácter periódico de las soluciones de onda buscadas y con ψ ( ξ ) la fase de las funciones trigonométricas sen y cos. De este formulario, se pueden obtener las siguientes descripciones de varios términos en las ecuaciones ( A ) y ( B ):
Utilizándolos en las ecuaciones ( A ) y ( B ), se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria que relaciona ψ y ξ , después de algunas manipulaciones: [7]
con el lado derecho todavía positivo, ya que η 1 - η 3 ≥ η 1 - η 2 . Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que ψ ( ξ ) es una función monótona, ya que f ( η ) no tiene ceros en el intervalo η 2 < η < η 1 . Entonces, la ecuación diferencial ordinaria anterior también se puede resolver en términos de que ξ ( ψ ) sea una función de ψ : [7]
con:
- y
donde m es el llamado parámetro elíptico, [19] [20] que satisface 0 ≤ m ≤ 1 (porque η 3 ≤ η 2 ≤ η 1 ). Si se elige ξ = 0 en la cresta de la onda η (0) = η 1 la integración da [7]
( D )
con F ( ψ | m ) la integral elíptica incompleta del primer tipo . Las funciones elípticas de Jacobi cn y sn son inversas de F ( ψ | m ) dadas por
- y
Con el uso de la ecuación ( C ), se encuentra la solución de onda cnoidal resultante de la ecuación KdV [7]
Lo que queda es determinar los parámetros: η 1 , η 2 , Δ y m .
- Relaciones entre los parámetros de la onda cnoidal
Primero, dado que η 1 es la elevación de la cresta y η 2 es la elevación del valle, es conveniente introducir la altura de la ola , definida como H = η 1 - η 2 . En consecuencia, encontramos para my para Δ :
- y entonces
La solución de onda cnoidal se puede escribir como:
En segundo lugar, el valle está ubicado en ψ = ½ π , por lo que la distancia entre ξ = 0 y ξ = ½ λ es, con λ la longitud de onda , de la ecuación ( D ):
- donación
donde K ( m ) es la integral elíptica completa del primer tipo . En tercer lugar, dado que la onda oscila alrededor de la profundidad media del agua, el valor medio de η ( ξ ) tiene que ser cero. Entonces [7]
donde E ( m ) es la integral elíptica completa del segundo tipo . Las siguientes expresiones para η 1 , η 2 y η 3 en función del parámetro elíptico my la altura de onda H resultan: [7]
- y
Cuarto, a partir de las ecuaciones ( A ) y ( B ) se puede establecer una relación entre la velocidad de fase cy las raíces η 1 , η 2 y η 3 : [7]
Los cambios de velocidad de fase relativos se muestran en la figura siguiente. Como puede verse, para m > 0,96 (así que para 1 - m <0,04) la velocidad aumenta de fase con el aumento de altura de ola H . Esto se corresponde con las ondas más largas y no lineales. El cambio no lineal en la velocidad de fase, por fijo m , es proporcional a la altura de onda H . Tenga en cuenta que la velocidad de fase c está relacionada con la longitud de onda λ y el período τ como:
- Currículum de la solución
Todas las cantidades aquí se darán en sus formas dimensionales, como válidas para ondas de gravedad superficiales antes de la no dimensionalización .
La solución de onda cnoidal de la ecuación de KdV es: [7]
con H la altura de la ola: la diferencia entre la elevación de la cresta y la depresión , η 2 la elevación de la depresión, m el parámetro elíptico, c la velocidad de fase y cn una de las funciones elípticas de Jacobi . El nivel valle eta 2 y anchura parámetro Δ se puede expresar en términos de H , h y m : [7]
- y
con K ( m ) la integral elíptica completa del primer tipo y E ( m ) la integral elíptica completa del segundo tipo . Tenga en cuenta que K ( m ) y E ( m ) se indican aquí como una función del parámetro elíptico my no como una función del módulo elíptico k , con m = k 2 .
La longitud de onda λ , la velocidad de fase c y la onda período τ están relacionados con H , h y m por: [7]
- y
con g la gravedad de la Tierra .
Muy a menudo, los parámetros de onda conocidos son la altura de onda H , la profundidad media del agua h , la aceleración gravitacional g , y la longitud de onda λ o el período τ . A continuación, las relaciones anteriores para λ , C y τ se utilizan para encontrar el parámetro elíptica m . Esto requiere una solución numérica mediante algún método iterativo . [3]
Ecuación de Benjamin-Bona-Mahony
La ecuación de Benjamin-Bona-Mahony ( ecuación BBM), o ecuación de onda larga regularizada (RLW), tiene una forma dimensional dada por: [21]
Todas las cantidades tienen el mismo significado que para la ecuación KdV. La ecuación BBM a menudo se prefiere a la ecuación KdV porque tiene un mejor comportamiento de onda corta. [21]
- Derivación
La derivación es análoga a la de la ecuación KdV. [22] La ecuación BBM adimensional no está dimensionalizada utilizando la profundidad media del agua hy la aceleración gravitacional g : [21]
Esto se puede incorporar al formulario estándar.
a través de la transformación:
- y
pero este formulario estándar no se utilizará aquí.
De manera análoga a la derivación de la solución de onda cnoidal para la ecuación de KdV, se consideran las soluciones de onda periódica η ( ξ ), con ξ = x - ct Entonces la ecuación de BBM se convierte en una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, que se puede integrar dos veces, para obtener:
- con
Lo cual solo se diferencia de la ecuación de la ecuación KdV por el factor c delante de ( η ′ ) 2 en el lado izquierdo. Mediante una transformación de coordenadas β = ξ / el factor c puede eliminarse, lo que da como resultado la misma ecuación diferencial ordinaria de primer orden para las ecuaciones de KdV y BBM. Sin embargo, aquí se utiliza la forma dada en la ecuación anterior. Esto da como resultado una formulación diferente para Δ como se encuentra para la ecuación de KdV:
La relación de la longitud de onda λ , en función de H y m , se ve afectada por este cambio en
Por lo demás, la derivación es análoga a la de la ecuación KdV y no se repetirá aquí.
- Reanudar
Los resultados se presentan en forma dimensional, para ondas de agua sobre una capa fluida de profundidad h .
La solución de onda cnoidal de la ecuación BBM, junto con las relaciones asociadas para los parámetros es: [22]
La única diferencia con la solución de onda cnoidal de la ecuación KdV está en la ecuación para la longitud de onda λ . [22] Para aplicaciones prácticas, generalmente se proporcionan la profundidad del agua h , la altura de las olas H , la aceleración gravitacional g y la longitud de onda λ o, con mayor frecuencia, el período (física) τ . A continuación, el parámetro elíptica m tiene que ser determinado a partir de las relaciones anteriores para λ , c y τ a través de algún método iterativo . [3]
Ejemplo
En este ejemplo, se considera una onda cnoidal según la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV). Se dan los siguientes parámetros de la onda:
- profundidad media del agua h = 5 m (16 pies),
- altura de ola H = 3 m (9,8 pies),
- período de onda τ = 7 s , y
- aceleración gravitacional g = 9,81 m / s 2 (32 pies / s 2 ).
En lugar del período τ , en otros casos, la longitud de onda λ puede aparecer como una cantidad conocida de antemano.
Primero, se calcula el período adimensional:
que es mayor que siete, lo suficientemente largo para que la teoría cnoidal sea válida. La principal incógnita es el parámetro elíptico m . Esto debe determinarse de tal manera que el período de onda τ , calculado a partir de la teoría de ondas cnoidales para la ecuación de KdV:
- y
es consistente con el valor dado de τ ; aquí λ es la longitud de onda y c es la velocidad de fase de la onda. Además, K ( m ) y E ( m ) son integrales elípticas completas del primer y segundo tipo, respectivamente. La búsqueda del parámetro elíptico m se puede realizar mediante ensayo y error , o mediante el uso de un algoritmo numérico de búsqueda de raíces . En este caso, partiendo de una suposición inicial m init = 0,99, por ensayo y error la respuesta
es encontrado. Dentro del proceso, se han calculado la longitud de onda λ y la velocidad de fase c :
- longitud de onda λ = 50,8 m (167 pies), y
- velocidad de fase c = 7,26 m / s (23,8 pies / s).
La velocidad de fase c se puede comparar con su valorsegún las ecuaciones de aguas poco profundas :
mostrando un aumento del 3.8% por efecto de la dispersión de amplitud no lineal , que gana en este caso de la reducción de la velocidad de fase por dispersión de frecuencia .
Ahora que se conoce la longitud de onda, el número de Ursell también se puede calcular:
que no es pequeña, por lo que la teoría de ondas lineales no es aplicable, pero la teoría de ondas cnoidales sí. Finalmente, la relación entre la longitud de onda y la profundidad es λ / h = 10,2> 7, lo que indica de nuevo que esta onda es lo suficientemente larga como para ser considerada como onda cnoidal.
Límite de onda solitaria
Para ondas no lineales muy largas, con el parámetro m cercano a uno, m → 1, la función elíptica de Jacobi cn se puede aproximar mediante [23]
- con
Aquí sinh, cosh, tanh y sech son funciones hiperbólicas . En el límite m = 1:
con sech ( z ) = 1 / cosh ( z ).
Además, para el mismo límite de m → 1, la integral elíptica completa del primer tipo K ( m ) va al infinito, mientras que la integral elíptica completa del segundo tipo E ( m ) va a uno. [24] Esto implica que los valores límite de la velocidad de fase cy la elevación mínima η 2 se convierten en: [25]
- y
En consecuencia, en términos del parámetro de ancho Δ , la solución de onda solitaria para la ecuación de KdV y BBM es: [25]
El parámetro de ancho, como se encuentra para las ondas cnoidales y ahora en el límite m → 1, es diferente para la ecuación KdV y BBM: [25]
: Ecuación de KdV, y : Ecuación de BBM.
Pero la velocidad de fase de la onda solitaria en ambas ecuaciones es la misma, para una cierta combinación de altura H y profundidad h .
Límite de altura de ola infinitesimal
Para una altura de onda infinitesimal, se espera que los resultados de la teoría de ondas cnoidales converjan hacia los de la teoría de ondas de Airy para el límite de ondas largas λ ≫ h . Primero se examinará la elevación de la superficie, y luego la velocidad de fase de las ondas cnoidales para una altura de onda infinitesimal.
Elevación de superficie
La función elíptica de Jacobi cn se puede expandir a una serie de Fourier [26]
K ' ( m ) se conoce como el cuarto de período imaginario, mientras que K ( m ) también se llama el cuarto de período real de la función elíptica de Jacobi. Están relacionados mediante: K ' ( m ) = K (1− m ) [27]
Dado que el interés aquí está en la altura de las olas pequeñas, que se corresponden con el parámetro pequeño m ≪ 1, es conveniente considerar la serie de Maclaurin para los parámetros relevantes, para comenzar con las integrales elípticas completas K y E : [28] [29]
Entonces, los términos del coseno hiperbólico, que aparecen en la serie de Fourier, se pueden expandir para m ≪ 1 pequeño de la siguiente manera: [26]
- con el nombre q dado por
El nomo q tiene el siguiente comportamiento para la m pequeña : [30]
En consecuencia, las amplitudes de los primeros términos de la serie de Fourier son:
: : :
Entonces, para m ≪ 1, la función elíptica de Jacobi tiene los primeros términos de la serie de Fourier:
- con
Y su plaza es
La superficie libre η ( x , t ) de la onda cnoidal se expresará en su serie de Fourier, para valores pequeños del parámetro elíptico m . Primero, observe que el argumento de la función cn es ξ / Δ , y que la longitud de onda λ = 2 Δ K ( m ), entonces:
Además, la elevación media de la superficie libre es cero. Por lo tanto, la elevación de la superficie de ondas de pequeña amplitud es
Además, la longitud de onda λ se puede expandir en una serie de Maclaurin del parámetro elíptico m , de manera diferente para la ecuación KdV y BBM, pero esto no es necesario para el presente propósito.
Nota : El comportamiento límite para cero m —a una altura de ola infinitesimal — también se puede ver en: [31] pero el término de orden superior proporcional am en esta aproximación contiene un término secular , debido al desajuste entre el período de cn ( z | m ), que es 4 K ( m ), y el período 2 π para el coseno cos ( z ). La serie de Fourier anterior para m pequeña no tiene este inconveniente y es consistente con las formas encontradas usando el método de Lindstedt-Poincaré en la teoría de perturbaciones .
Para una altura de ola infinitesimal , en el límite m → 0, la elevación de la superficie libre se convierte en:
- con
Entonces, la amplitud de la onda es ½ H , la mitad de la altura de la onda . Esto es de la misma forma que se estudió en la teoría de ondas de Airy , pero tenga en cuenta que la teoría de ondas cnoidales solo es válida para ondas largas con su longitud de onda mucho más larga que la profundidad promedio del agua.
Velocidad de fase
La velocidad de fase de una onda cnoidal, tanto para la ecuación de KdV como para la de BBM, viene dada por: [7] [22]
En esta formulación, la velocidad de fase es función de la altura de onda H y del parámetro m . Sin embargo, para la determinación de la propagación de ondas para ondas de altura infinitesimal, es necesario determinar el comportamiento de la velocidad de fase a longitud de onda constante λ en el límite en que el parámetro m se aproxima a cero. Esto se puede hacer usando la ecuación para la longitud de onda, que es diferente para la ecuación KdV y BBM: [7] [22]
KdV: BBM:
Introduciendo el número de onda relativo κh :
y utilizando las ecuaciones anteriores para la velocidad de fase y la longitud de onda, el factor H / m en la velocidad de fase se puede reemplazar por κh y m . Las velocidades de fase resultantes son:
KdV: BBM:
El comportamiento límite para m pequeño se puede analizar mediante el uso de la serie de Maclaurin para K ( m ) y E ( m ), [28] resultando en la siguiente expresión para el factor común en ambas fórmulas para c :
entonces en el límite m → 0, el factor γ → - 1 ⁄ 6 . El valor límite de la velocidad de fase para m ≪ 1 resulta directamente.
Las velocidades de fase para una altura de onda infinitesimal, de acuerdo con las teorías de onda cnoidal para la ecuación KdV y la ecuación BBM, son [32]
KdV : BBM :
con κ = 2 π / λ el número de onda y κh el número de onda relativo. Estas velocidades de fase están en total concordancia con el resultado obtenido mediante la búsqueda directa de soluciones sinusoidales de las ecuaciones linealizadas de KdV y BBM. Como es evidente a partir de estas ecuaciones, la ecuación de BBM linealizada tiene una velocidad de fase positiva para todo κh . Por otro lado, la velocidad de fase de la ecuación KdV linealizada cambia de signo para ondas cortas con κh > . Esto está en conflicto con la derivación de la ecuación KdV como una ecuación de onda unidireccional.
Derivación directa de las ecuaciones completas de flujo no viscoso
Las ondas cnoidales pueden derivarse directamente de las ecuaciones de flujo no viscoso , irrotacional e incompresible , y expresarse en términos de tres invariantes del flujo, como lo muestran Benjamin y Lighthill (1954) en su investigación sobre perforaciones ondulares . En un marco de referencia que se mueve con la velocidad de fase , en cuyo marco de referencia el flujo se convierte en un flujo constante , las soluciones de onda cnoidal pueden relacionarse directamente con el flujo de masa , el flujo de momento y la altura de energía del flujo. Siguiendo a Benjamin y Lighthill (1954) —utilizando una descripción de función de corriente de este flujo incompresible— las componentes horizontal y vertical de la velocidad del flujo son las derivadas espaciales de la función de corriente Ψ ( ξ , z ): + ∂ z Ψ y - ∂ ξ Ψ , en la dirección ξ y z respectivamente ( ξ = x - ct ). La coordenada vertical z es positiva en la dirección ascendente, opuesta a la dirección de la aceleración gravitacional, y el nivel cero de z está en el límite inferior impermeable del dominio del fluido. Mientras que la superficie libre está en z = ζ ( ξ ); tenga en cuenta que ζ es la profundidad del agua local, relacionada con la elevación de la superficie η ( ξ ) como ζ = h + η con h la profundidad media del agua.
En este flujo constante, la descarga Q a través de cada sección transversal vertical es una constante independiente de ξ , y debido al lecho horizontal también se conserva el flujo de momento horizontal S , dividido por la densidad ρ , a través de cada sección transversal vertical. Además, para este flujo no viscoso e irrotacional, se puede aplicar el principio de Bernoulli y tiene la misma constante R de Bernoulli en todas partes del dominio del flujo. Se definen como: [34]
Para olas bastante largas, asumiendo que la profundidad del agua ζ es pequeña en comparación con la longitud de onda λ , se obtiene la siguiente relación entre la profundidad del agua ζ ( ξ ) y las tres invariantes Q , R y S : [34]
( E )
Esta ecuación diferencial ordinaria no lineal y de primer orden tiene soluciones de onda cnoidal.
Para ondas muy largas de amplitud infinitesimal en un fluido de profundidad h y con una velocidad de flujo uniforme v , las constantes de flujo están de acuerdo con las ecuaciones de aguas someras : [34]
- y
La ecuación ( E ) se puede llevar a una forma adimensional mediante el uso de la descarga Q y la aceleración gravitacional g , y definiendo la profundidad crítica h c :
relacionado con la demarcación de flujo crítico entre flujo subcrítico y flujo supercrítico (ver también el número de Froude ). En consecuencia, la forma adimensional de la ecuación es
con
- y
Derivación
Primero elimine la presión p del flujo de momento S mediante el uso de la ecuación de Bernoulli:
La función de corriente Ψ se expande como una serie de Maclaurin alrededor del lecho en z = 0, y usando que el lecho impermeable es una línea de corriente y la irrotacionalidad del flujo: Ψ = 0 y ∂ z 2 Ψ = 0 en z = 0: [34 ]
con u b la velocidad horizontal en la cama z = 0. Debido a que las ondas son largas, h » λ , sólo los términos hasta z 3 y ζ 3 se retienen en las aproximaciones a Q y S . El flujo de impulso S se convierte entonces en: [34]
La descarga Q se convierte, ya que es el valor de la función de corriente Ψ en la superficie libre z = ζ :
Como puede verse, la descarga Q es una cantidad O ( ζ ). A partir de esto, se ve que la velocidad del lecho es [34]
Tenga en cuenta que Q / ζ es una cantidad de pedido uno. Esta relación se puede utilizar para sustituir la velocidad de la cama u aab por Q y ζ en el impulso flujo S . Los siguientes términos se pueden derivar de él:
En consecuencia, el flujo de cantidad de movimiento S se vuelve, nuevamente reteniendo solo términos hasta proporcionales a ζ 3 : [34]
Que se puede reformular directamente en forma de ecuación ( E ).
Energía potencial
La densidad de energía potencial
con ρ la densidad del fluido , es uno de los infinitos invariantes de la ecuación KdV. [35] Esto puede verse multiplicando la ecuación KdV por la elevación de la superficie η ( x , t ); después del uso repetido de la regla de la cadena, el resultado es:
que está en forma de conservación y es una invariante después de la integración sobre el intervalo de periodicidad, la longitud de onda de una onda cnoidal. La energía potencial no es invariante de la ecuación BBM, pero ½ ρg [ η 2 + 1 ⁄ 6 h 2 (∂ x η)2] es. [36]
Primero se calcula la varianza de la elevación de la superficie en una onda cnoidal. Tenga en cuenta que η 2 = - (1 / λ ) 0 ∫ λ H cn 2 ( ξ / Δ | m) d x , cn ( ξ / Δ | m) = cos ψ ( ξ ) y λ = 2 Δ K ( m ) , entonces [37]
Posteriormente se encuentra que la energía potencial, tanto para la ecuación KdV como para la BBM, es [37]
El límite de altura de onda infinitesimal ( m → 0) de la energía potencial es E pot = 1 ⁄ 16 ρ g H 2 , que está de acuerdo conla teoría de ondas de Airy. [37] La altura de la ola es el doble de la amplitud,H = 2a, en el límite infinitesimal de la ola.
Ver también
- Solitón
- Olas y aguas poco profundas
notas y referencias
Notas
- ^ Nezlin, MV (1993), Física de haces intensos en plasmas , CRC Press, p. 205, ISBN 978-0-7503-0186-2
- ^ Le Méhauté, B. (1976), Introducción a la hidrodinámica y las ondas de agua , Springer, ISBN 978-0-387-07232-6
- ^ a b c Dingemans (1997) págs. 718–721.
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