En cálculo , la constante de integración , a menudo denotada por, es una constante añadida al final de una antiderivada de una funciónpara indicar que la integral indefinida de(es decir, el conjunto de todas las antiderivadas de), en un dominio conectado , solo se define hasta una constante aditiva. [1] [2] [3] [4] Esta constante expresa una ambigüedad inherente a la construcción de antiderivadas.
Más específicamente, si una función se define en un intervalo , y es una antiderivada de , entonces el conjunto de todas las antiderivadas de viene dado por las funciones , dónde es una constante arbitraria (lo que significa que cualquier valor de haría una antiderivada válida). Por esa razón, la integral indefinida a menudo se escribe como, [5] aunque la constante de integración a veces se puede omitir en listas de integrales por simplicidad.
Origen
La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que uno ha encontrado una antiderivada para una función , sumando o restando cualquier constante nos dará otra antiderivada, porque . La constante es una forma de expresar que toda función con al menos una antiderivada tendrá un número infinito de ellas.
Dejar y ser dos funciones diferenciables en todas partes. Suponer quepara cada número real x . Entonces existe un número real tal que para cada número real x .
Para probar esto, note que . Entonces puede ser reemplazado por , y por la función constante , con el objetivo de demostrar que una función diferenciable en todas partes cuya derivada es siempre cero debe ser constante:
Elige un número real , y deja . Para cualquier x , el teorema fundamental del cálculo , junto con el supuesto de que la derivada de desaparece, implica que
mostrando así que es una función constante.
Dos hechos son cruciales en esta prueba. Primero, la línea real está conectada . Si la línea real no estaban conectados, que no siempre sería capaz de integrar de nuestra fija una de las dadas x . Por ejemplo, si pidiéramos funciones definidas en la unión de intervalos [0,1] y [2,3], y si a fuera 0, entonces no sería posible integrar de 0 a 3, porque la función no está definido entre 1 y 2. Aquí, habrá dos constantes, una para cada componente conectado del dominio . En general, al reemplazar constantes con funciones locales constantes , podemos extender este teorema a dominios desconectados. Por ejemplo, hay dos constantes de integración para, e infinitos para así, por ejemplo, la forma general de la integral de 1 / x es: [6] [7]
Segundo, y se suponía que eran diferenciables en todas partes. Si y no son diferenciables ni siquiera en un punto, entonces el teorema podría fallar. Como ejemplo, dejemosser la función escalón de Heaviside , que es cero para valores negativos de x y uno para valores no negativos de x , y sea. Entonces la derivada de es cero donde se define, y la derivada de siempre es cero. Sin embargo, está claro que y no difieren por una constante, incluso si se supone que y son continuas en todas partes y diferenciables en casi todas partes; el teorema sigue fallando. Como ejemplo, tomepara ser la función de Cantor y de nuevo dejar = 0.
Por ejemplo, suponga que uno quiere encontrar antiderivadas de . Una de esas antiderivadas es. Otro es. Un tercero es. Cada uno de estos tiene derivada, por lo que son todas antiderivadas de .
Resulta que sumar y restar constantes es la única flexibilidad que tenemos para encontrar diferentes antiderivadas de la misma función. Es decir, todas las antiderivadas son iguales hasta una constante. Para expresar este hecho por, nosotros escribimos:
Reemplazo por un número producirá una antiderivada. Escribiendo en lugar de un número, sin embargo, una descripción compacta de todas las posibles antiderivadas de es obtenido. se llama constante de integración . Se determina fácilmente que todas estas funciones son de hecho antiderivadas de:
Necesidad
A primera vista, puede parecer que la constante es innecesaria, ya que se puede establecer en cero. Además, al evaluar integrales definidas usando el teorema fundamental del cálculo , la constante siempre se cancelará consigo misma.
Sin embargo, intentar establecer la constante en cero no siempre tiene sentido. Por ejemplo, se puede integrar de al menos tres formas diferentes:
Así que estableciendo a cero todavía puede dejar una constante. Esto significa que, para una función dada, no existe una "antiderivada más simple".
Otro problema con la configuración igual a cero es que a veces queremos encontrar una antiderivada que tenga un valor dado en un punto dado (como en un problema de valor inicial ). Por ejemplo, para obtener la antiderivada deque tiene el valor 100 en x = π, entonces solo un valor de funcionará (en este caso = 100).
Esta restricción puede reformularse en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales . Encontrar una integral indefinida de una función es lo mismo que resolver la ecuación diferencial . Cualquier ecuación diferencial tendrá muchas soluciones y cada constante representa la solución única de un problema de valor inicial bien planteado . Imponer la condición de que nuestra antiderivada tome el valor 100 en x = π es una condición inicial. Cada condición inicial corresponde a uno y solo un valor de, entonces sin sería imposible resolver el problema.
Hay otra justificación, que proviene del álgebra abstracta . El espacio de todas las funciones de valor real (adecuadas) en los números reales es un espacio vectorial , y el operador diferencial es un operador lineal . El operadorasigna una función a cero si y solo si esa función es constante. En consecuencia, el núcleo dees el espacio de todas las funciones constantes. El proceso de integración indefinida equivale a encontrar una imagen previa de una función dada. No existe una imagen previa canónica para una función determinada, pero el conjunto de todas esas imágenes previas forma una clase lateral . Elegir una constante es lo mismo que elegir un elemento de la clase lateral. En este contexto, la resolución de un problema de valor inicial se interpreta como estar en el hiperplano dado por las condiciones iniciales .
Referencias
- ^ "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
- ^ Stewart, James (2008). Cálculo: principios trascendentales (6ª ed.). Brooks / Cole . ISBN 0-495-01166-5.
- ^ Larson, Ron ; Edwards, Bruce H. (2009). Cálculo (9ª ed.). Brooks / Cole . ISBN 0-547-16702-4.
- ^ "Definición de constante de integración | Dictionary.com" . www.dictionary.com . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Constante de integración" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
- ^ " Encuesta a los lectores: log | x | + C ", Tom Leinster, The n -category Café , 19 de marzo de 2012
- ^ Banner, Adrian (2007). El salvavidas del cálculo: todas las herramientas que necesita para sobresalir en cálculo . Princeton [ua]: Princeton University Press. pag. 380 . ISBN 978-0-691-13088-0.