Estructura de Weaire-Phelan

Estructura de Weaire-Phelan
Grupo espacial Notación fibrifold Notación Coxeter	Pm 3 n (223) 2 o [[4,3,4] + ]

En geometría , la estructura de Weaire-Phelan es una estructura tridimensional que representa una espuma idealizada de burbujas de igual tamaño, con dos formas diferentes. En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan descubrieron que esta estructura era una mejor solución del problema de Kelvin de colocar baldosas en el espacio con celdas de igual volumen de superficie mínima que la solución anterior más conocida, la estructura de Kelvin. ^[1]

Historia y el problema de Kelvin

El panal cúbico bitruncado , un panal convexo cuyas celdas octaedro truncadas se deforman ligeramente para formar la estructura Kelvin

En dos dimensiones, la subdivisión del plano en celdas de igual área con perímetro promedio mínimo viene dada por el mosaico hexagonal , pero aunque el primer registro de esta conjetura en forma de panal se remonta al antiguo erudito romano Marcus Terentius Varro , no fue probado hasta el trabajo de Thomas C. Hales en 1999. ^[2] En 1887, Lord Kelvin hizo la pregunta correspondiente para el espacio tridimensional: ¿cómo se puede dividir el espacio en celdas de igual volumen con la menor área de superficie entre ellas? O, en resumen, ¿cuál fue la espuma de pompas de jabón más eficaz ? ^[3] Este problema se ha denominado desde entoncesProblema de Kelvin.

Kelvin propuso una espuma llamada estructura Kelvin . Su espuma se basa en el panal cúbico bitruncado , un panal convexo uniforme formado por el octaedro truncado , un poliedro convexo que llena el espacio con 6 caras cuadradas y 8 caras hexagonales. Sin embargo, este panal no cumple con las leyes de Plateau , formuladas por Joseph Plateau en el siglo XIX, según las cuales las superficies de espuma mínimas se encuentran en ángulos en sus bordes, y estos bordes se unen en conjuntos de cuatro con ángulos de . Los ángulos de la estructura poliédrica son diferentes; por ejemplo, sus bordes se encuentran en ángulos de caras cuadradas, o${\displaystyle 120^{\circ }}$${\displaystyle \arccos {\tfrac {1}{3}}\approx 109.47^{\circ }}$${\displaystyle 90^{\circ }}$${\displaystyle 120^{\circ }}$en caras hexagonales. Por tanto, la estructura propuesta por Kelvin utiliza aristas curvilíneas y superficies mínimas ligeramente deformadas para sus caras, obedeciendo las leyes de Plateau y reduciendo el área de la estructura en un 0,2% en comparación con la estructura poliédrica correspondiente. ^{[1] [3]}

Aunque Kelvin no lo expresó explícitamente como una conjetura, ^{[ cita requerida ]} la idea de que la espuma del panal cúbico bitruncado es la espuma más eficiente y resuelve el problema de Kelvin, se conoció como la conjetura de Kelvin . Se creía ampliamente y no se conocía ningún contraejemplo durante más de 100 años. Finalmente, en 1993, el físico del Trinity College Dublin Denis Weaire y su alumno Robert Phelan descubrieron la estructura Weaire-Phelan a través de simulaciones de espuma por computadora, y demostraron que era más eficiente, refutando la conjetura de Kelvin. ^[1]

Desde el descubrimiento de la estructura de Weaire-Phelan, se han encontrado otros contraejemplos de la conjetura de Kelvin, pero la estructura de Weaire-Phelan sigue teniendo la superficie por celda más pequeña conocida de estos contraejemplos. ^{[4] [5] [6]} Aunque los experimentos numéricos sugieren que la estructura de Weaire-Phelan es óptima, esto no ha sido probado. ^[7] En general, ha sido muy difícil probar la optimización de estructuras que involucran superficies mínimas . La minimidad de la esfera como superficie que encierra un solo volumen no se demostró hasta el siglo XIX, y el siguiente problema más simple de este tipo, la conjetura de la doble burbuja de encerrar dos volúmenes, permaneció abierta durante más de 100 años hasta que se probó en 2002.^[8]

Descripción

Tetracaidecaedro

La estructura de Weaire-Phelan se diferencia de la de Kelvin en que utiliza dos tipos de células, aunque tienen el mismo volumen. Como las células en la estructura de Kelvin, estas células son combinatoriamente equivalentes a poliedros convexos . Uno es un piritoedro , una irregular dodecaedro con caras pentagonales, que posee simetría tetraédrica ( T _h ). El segundo es una forma de trapezoedro hexagonal truncado , una especie de tetracaidecaedro con dos caras hexagonales y doce pentagonales, en este caso solo posee dos planos de espejo y una rotorreflexión.simetría. Al igual que los hexágonos en la estructura de Kelvin, los pentágonos en ambos tipos de celdas están ligeramente curvados. El área de superficie de la estructura de Weaire-Phelan es 0.3% menor que la de la estructura de Kelvin. ^[1]

Tetrastix , modelando las cadenas cara a cara de las células tetracaidecaedro en la estructura de Weaire-Phelan

Las células tetracaidecaedro, unidas en cadenas de células cara a cara a lo largo de sus caras hexagonales, forman cadenas en tres direcciones perpendiculares. Se puede hacer una estructura combinatoria equivalente a la estructura de Weaire-Phelan como un mosaico de espacio por unidades de cubos, alineados cara a cara en infinitos prismas cuadrados de la misma manera para formar una estructura de prismas entrelazados llamada tetrastix . Estos prismas rodean huecos cúbicos que forman una cuarta parte de las celdas del mosaico cúbico; las tres cuartas partes restantes de las celdas llenan los prismas, desplazadas por media unidad de la cuadrícula entera alineada con las paredes del prisma. De manera similar, en la propia estructura de Weaire-Phelan, que tiene las mismas simetrías que la estructura del tetrastix, 1/4 de las células son dodecaedros y 3/4 son tetrakaidecaedros. ^[9]

El panal poliédrico asociado con la estructura de Weaire-Phelan (obtenido al aplanar las caras y enderezar los bordes) también se conoce en general como la estructura de Weaire-Phelan. Se conocía mucho antes de que se descubriera la estructura de Weaire-Phelan, pero se pasó por alto la aplicación al problema de Kelvin. ^[10]

Aplicaciones

En sistemas físicos

Un primer plano del molde utilizado para el crecimiento de espumas líquidas ordenadas.

Los experimentos han demostrado que, con condiciones de contorno favorables , las burbujas de igual volumen se autoensamblan espontáneamente en la estructura de Weaire-Phelan. ^{[11] [12]}

El panal poliédrico asociado se encuentra en dos geometrías relacionadas de estructura cristalina en química . Cuando los componentes del cristal se encuentran en los centros de los poliedros, se forma una de las fases de Frank-Kasper , la fase A15 . ^[13]

Cuando los componentes del cristal se encuentran en las esquinas de los poliedros, se conoce como " estructura de clatrato de tipo I ". Los hidratos de gas formados por metano, propano y dióxido de carbono a bajas temperaturas tienen una estructura en la que las moléculas de agua se encuentran en los nodos de la estructura de Weaire-Phelan y están unidas por hidrógeno , y las moléculas de gas más grandes quedan atrapadas en las jaulas poliédricas. ^[10] Algunos siliciuros y germanuros de metales alcalinos también forman esta estructura, con silicio o germanio en los nudos y metales alcalinos en las jaulas. ^{[1] [14] [15]}

En arquitectura

Centro Acuático Nacional de Beijing

La estructura de Weaire-Phelan es la inspiración para el diseño de Tristram Carfrae del Centro Acuático Nacional de Beijing , el "Cubo de Agua", para los Juegos Olímpicos de Verano de 2008 . ^[dieciséis]

Ver también

• The Pursuit of Perfect Packing , un libro de Weaire sobre este y problemas relacionados

Referencias

1. Weaire, D .; Phelan, R. (1994), "Un contraejemplo a la conjetura de Kelvin sobre superficies mínimas", Phil. revista Letón. , 69 (2): 107–110, doi : 10.1080 / 09500839408241577.
2. Hales, TC (2001), "La conjetura del panal", Geometría discreta y computacional , 25 (1): 1–22, doi : 10.1007 / s004540010071 , MR 1797293 
3. Lord Kelvin (Sir William Thomson) (1887), "Sobre la división del espacio con área de partición mínima" (PDF) , Revista filosófica , 24 (151): 503, doi : 10.1080 / 14786448708628135 .
4. Sullivan, John M. (1999), "La geometría de burbujas y espumas", Espumas y emulsiones (Cargèse, 1997) , NATO Advanced Science Institutes Series E: Applied Sciences, 354 , Kluwer, pp. 379-402, MR 1688327 
5. Gabbrielli, Ruggero (1 de agosto de 2009), "Un nuevo contraejemplo de la conjetura de Kelvin sobre superficies mínimas", Philosophical Magazine Letters , 89 (8): 483–491, doi : 10.1080 / 09500830903022651 , ISSN 0950-0839 , S2CID 137653272  
6. Freiberger, Marianne (24 de septiembre de 2009), "La burbuja de Kelvin estalló de nuevo" , Plus Magazine , Universidad de Cambridge , consultado el 4 de julio de 2017
7. Oudet, Édouard (2011), "Aproximación de particiones de perímetro mínimo por Γ-convergencia: alrededor de la conjetura de Kelvin", Experimental Mathematics , 20 (3): 260-270, doi : 10.1080 / 10586458.2011.565233 , MR 2836251 
8. Morgan, Frank (2009), "Capítulo 14. Prueba de la conjetura de la burbuja doble", Teoría de la medida geométrica: Guía para principiantes (4ª ed.), Academic Press.
9. Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008), "Comprensión de las burbujas irlandesas", Las simetrías de las cosas , Wellesley, Massachusetts: AK Peters, p. 351, ISBN 978-1-56881-220-5, MR  2410150
10. Pauling, Linus (1960), La naturaleza del enlace químico (3ª ed.), Cornell University Press, p. 471
11. Gabbrielli, R .; Meagher, AJ; Weaire, D .; Brakke, KA; Hutzler, S. (2012), "Una realización experimental de la estructura de Weaire-Phelan en espuma líquida monodispersa", Phil. revista Letón. , 92 : 1–6, doi : 10.1080 / 09500839.2011.645898 , S2CID 25427974 .
12. Ball, Philip (2011), "Los científicos hacen la espuma 'perfecta': espuma teórica de baja energía hecha de verdad", Nature , doi : 10.1038 / nature.2011.9504 , S2CID 136626668 .
13. Frank, FC; Kasper, JS (1958), "Estructuras de aleación complejas consideradas como empaquetaduras esféricas. I. Definiciones y principios básicos" (PDF) , Acta Crystallogr. , 11 (3): 184-190, doi : 10.1107 / s0365110x58000487 . Frank, FC; Kasper, JS (1959), "Estructuras de aleación complejas consideradas como empaquetaduras de esfera. II. Análisis y clasificación de estructuras representativas", Acta Crystallogr. , 12 (7): 483–499, doi : 10.1107 / s0365110x59001499.
14. Kasper, JS; Hagenmuller, P .; Pouchard, M .; Cros, C. (diciembre de 1965), "Estructura de clatrato de silicio Na ₈ Si ₄₆ y Na _x Si ₁₃₆ (x <11)", Science , 150 (3704): 1713-1714, doi : 10.1126 / science.150.3704.1713
15. Cros, Christian; Pouchard, Michel; Hagenmuller, Paul (diciembre de 1970), "Sur une nouvelle famille de clathrates minéraux isotypes des hydrates de gaz et de liquides, interprétation des résultats obtenus", Journal of Solid State Chemistry , 2 (4): 570–581, doi : 10.1016 / 0022-4596 (70) 90053-8
16. Fuente, Henry (5 de agosto de 2008), "Un problema de burbujas enmarca un diseño olímpico" , New York Times

enlaces externos

• Modelos 3D de las estructuras Weaire-Phelan, Kelvin y P42a
• Página de Weaire – Phelan Bubbles con ilustraciones y 'redes' descargables gratuitamente para imprimir y hacer modelos.
• "Asentamiento espacial modular inteligente Weaire-Phelan" , Alexandru Pintea, 2017, Primer premio individual Concurso de asentamientos espaciales Ames de la NASA: