Octaedro truncado | |
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(Haga clic aquí para ver el modelo giratorio) | |
Tipo | Poliedro uniforme sólido de Arquímedes |
Elementos | F = 14, E = 36, V = 24 (χ = 2) |
Caras por lados | 6 {4} +8 {6} |
Notación de Conway | a bT |
Símbolos de Schläfli | t {3,4} tr {3,3} o |
t 0,1 {3,4} o t 0,1,2 {3,3} | |
Símbolo de Wythoff | 2 4 | 3 3 3 2 | |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | O h , B 3 , [4,3], (* 432), orden 48 T h , [3,3] y (* 332), orden 24 |
Grupo de rotacion | O , [4,3] + , (432), orden 24 |
Ángulo diedro | 4-6: arccos (-1/√ 3) = 125 ° 15′51 ″ 6-6: arccos (- 1/3) = 109 ° 28′16 ″ |
Referencias | U 08 , C 20 , W 7 |
Propiedades | Paraleloedro semirregular convexo permutoedro zonoedro |
Caras coloreadas | 4.6.6 ( figura de vértice ) |
Hexaedro tetrakis ( poliedro dual ) | Neto |
En geometría , el octaedro truncado es un sólido de Arquímedes . Tiene 14 caras (8 hexagonales regulares y 6 cuadradas ), 36 aristas y 24 vértices. Dado que cada una de sus caras tiene simetría de puntos, el octaedro truncado es un zonoedro . También es el poliedro de Goldberg G IV (1,1), que contiene caras cuadradas y hexagonales. Como el cubo, puede teselar (o "empaquetar") el espacio tridimensional, como un permutoedro .
El octaedro truncado fue llamado "mecon" por Buckminster Fuller. [1]
Su poliedro dual es el tetrakis hexaedro .
Si el octaedro truncado original tiene una longitud de borde de unidad, su cubo tetrakis dual tiene longitudes de borde 9/8√ 2 y 3/2√ 2 .
Construcción
Un octaedro truncado se construye a partir de un octaedro regular con una longitud de lado 3 a mediante la eliminación de seis pirámides cuadradas rectas , una de cada punto. Estas pirámides tienen la longitud del lado de la base ( a ) y la longitud del lado lateral ( e ) de a , para formar triángulos equiláteros . El área de la base es entonces un 2 . Tenga en cuenta que esta forma es exactamente similar a medio octaedro o sólido de Johnson J 1 .
A partir de las propiedades de las pirámides cuadradas, ahora podemos encontrar la altura inclinada, s , y la altura, h , de la pirámide:
El volumen, V , de la pirámide viene dado por:
Debido a que seis pirámides se eliminan por truncamiento, hay un volumen total perdido de √ 2 a 3 .
Proyecciones ortogonales
El octaedro truncado tiene cinco proyecciones ortogonales especiales , centradas, en un vértice, en dos tipos de aristas y dos tipos de caras: hexagonal y cuadrada. Los dos últimos corresponden a los planos Coxeter B 2 y A 2 .
Centrado por | Vértice | Borde 4-6 | Borde 6-6 | Cuadrado de la cara | Hexágono de cara |
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Sólido | |||||
Estructura alámbrica | |||||
Doble | |||||
Simetría proyectiva | [2] | [2] | [2] | [4] | [6] |
Baldosas esféricas
El octaedro truncado también se puede representar como un mosaico esférico y proyectar en el plano a través de una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando ángulos pero no áreas ni longitudes. Las líneas rectas de la esfera se proyectan como arcos circulares en el plano.
centrado en el cuadrado | centrado en el hexágono | |
Proyección ortográfica | Proyecciones estereográficas |
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Coordenadas
Proyección ortogonal en el cuadro delimitador (± 2, ± 2, ± 2) | Octaedro truncado con hexágonos reemplazados por 6 triángulos coplanares. Hay 8 nuevos vértices en: (± 1, ± 1, ± 1). | Octaedro truncado subdividido en un triacontaedro rómbico topológico |
Todas las permutaciones de (0, ± 1, ± 2) son coordenadas cartesianas de los vértices de un octaedro truncado de longitud de borde a = √2 centrado en el origen. Por tanto, los vértices son también las esquinas de 12 rectángulos cuyos bordes largos son paralelos a los ejes de coordenadas.
Los vectores de borde tienen coordenadas cartesianas (0, ± 1, ± 1) y permutaciones de estas. Las normales de cara (productos cruzados normalizados de aristas que comparten un vértice común) de las 6 caras cuadradas son (0, 0, ± 1) , (0, ± 1, 0) y (± 1, 0, 0) . Las normales de cara de las 8 caras hexagonales son (± 1/√ 3, ± 1/√ 3, ± 1/√ 3) . El producto escalar entre pares de dos caras normales es el coseno del ángulo diedro entre caras adyacentes, ya sea - 1/3 o - 1/√ 3. El ángulo diedro es de aproximadamente 1.910633 radianes (109.471 ° OEIS : A156546 ) en los bordes compartidos por dos hexágonos o 2.186276 radianes (125.263 ° OEIS : A195698 ) en los bordes compartidos por un hexágono y un cuadrado.
Disección
El octaedro truncado se puede diseccionar en un octaedro central , rodeado por 8 cúpulas triangulares en cada cara y 6 pirámides cuadradas sobre los vértices. [2]
Al quitar el octaedro central y 2 o 4 cúpulas triangulares se crean dos toroides Stewart , con simetría diedro y tetraédrico:
Género 2 | Género 3 |
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D 3d , [2 + , 6], (2 * 3), orden 12 | T d , [3,3], (* 332), orden 24 |
Permutoedro
El octaedro truncado también se puede representar mediante coordenadas aún más simétricas en cuatro dimensiones: todas las permutaciones de (1, 2, 3, 4) forman los vértices de un octaedro truncado en el subespacio tridimensional x + y + z + w = 10 . Por lo tanto, el octaedro truncado es el permutoedro de orden 4: cada vértice corresponde a una permutación de (1, 2, 3, 4) y cada borde representa un intercambio de dos elementos por pares.
Área y volumen
El área A y el volumen V de un octaedro truncado de longitud de borde a son:
Colorantes uniformes
Hay dos coloraciones uniformes , con simetría tetraédrica y simetría octaédrica , y dos coloraciones uniformes 2 con simetría diédrica como un antiprisma triangular truncado . Los nombres de construcción se dan para cada uno. Su notación poliedro de Conway se da entre paréntesis.
1-uniforme | 2-uniforme | ||
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O h , [4,3], (* 432) Orden 48 | T d , [3,3], (* 332) Orden 24 | D 4 h , [4,2], (* 422) Orden 16 | D 3d , [2 + , 6], (2 * 3) Orden 12 |
122 para colorear | 123 para colorear | 122 y 322 colorantes | 122 y 123 colorantes |
Octaedro truncado (tO) | Tetraedro biselado (bT) | Bipirámide cuadrada truncada (tdP4) | Antiprisma triangular truncado (tA3) |
Química
El octaedro truncado existe en la estructura de los cristales de faujasita .
Ocultación de datos
El octaedro truncado (de hecho, el octaedro truncado generalizado) aparece en el análisis de error de la modulación del índice de cuantificación (QIM) junto con la codificación de repetición. [3]
Poliedros relacionados
El octaedro truncado pertenece a una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.
Poliedros octaédricos uniformes | ||||||||||
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Simetría : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) | [1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) | [3 + , 4] (3 * 2) | |||||||
{4,3} | t {4,3} | r {4,3} r {3 1,1 } | t {3,4} t {3 1,1 } | {3,4} {3 1,1 } | rr {4,3} s 2 {3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | h {4,3} {3,3} | h 2 {4,3} t {3,3} | s {3,4} s {3 1,1 } |
= | = | = | = o | = o | = | |||||
Poliedros duales a uniformes | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
También existe como omnitruncado de la familia de los tetraedros:
Familia de poliedros tetraédricos uniformes | |||||||
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Simetría : [3,3] , (* 332) | [3,3] + , (332) | ||||||
{3,3} | t {3,3} | r {3,3} | t {3,3} | {3,3} | rr {3,3} | tr {3,3} | sr {3,3} |
Poliedros duales a uniformes | |||||||
V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
Mutaciones de simetría
* n 32 mutaciones de simetría de teselaciones omnitruncadas: 4.6.2n | ||||||||||||
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Sym. * n 32 [ n , 3] | Esférico | Euclides. | Hyperb compacto. | Paraco. | Hiperbólico no compacto | |||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | [3i, 3] | |
Cifras | ||||||||||||
Config. | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
Duales | ||||||||||||
Config. | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
* nn 2 mutaciones de simetría de teselaciones omnitruncadas: 4.2 n .2 n | ||||||||||||||
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Simetría * nn 2 [n, n] | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | ||||||||||
* 222 [2,2] | * 332 [3,3] | * 442 [4,4] | * 552 [5,5] | * 662 [6,6] | * 772 [7,7] | * 882 [8,8] ... | * ∞∞2 [∞, ∞] | |||||||
Figura | ||||||||||||||
Config. | 4.4.4 | 4.6.6 | 4.8.8 | 4.10.10 | 4.12.12 | 4.14.14 | 4.16.16 | 4.∞.∞ | ||||||
Doble | ||||||||||||||
Config. | V4.4.4 | V4.6.6 | V4.8.8 | V4.10.10 | V4.12.12 | V4.14.14 | V4.16.16 | V4.∞.∞ |
Este poliedro es miembro de una secuencia de patrones uniformes con figura de vértice (4.6.2 p ) y diagrama de Coxeter-Dynkin . Para p <6, los miembros de la secuencia son poliedros omnitruncados ( zonoedros ), que se muestran a continuación como mosaicos esféricos. Para p > 6, son mosaicos del plano hiperbólico, comenzando con el mosaico triheptagonal truncado .
El octaedro truncado está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros uniformes y teselaciones con figuras de vértice n .6.6, que se extienden hacia el plano hiperbólico:
* n 32 mutación de simetría de teselaciones truncadas: n .6.6 | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sym. * n 42 [n, 3] | Esférico | Euclides. | Compacto | Parac. | Hiperbólico no compacto | |||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | ||
Figuras truncadas | ||||||||||||
Config. | 2.6.6 | 3.6.6 | 4.6.6 | 5.6.6 | 6.6.6 | 7.6.6 | 8.6.6 | ∞.6.6 | 12i.6.6 | 9i.6.6 | 6i.6.6 | |
figuras n-kis | ||||||||||||
Config. | V2.6.6 | V3.6.6 | V4.6.6 | V5.6.6 | V6.6.6 | V7.6.6 | V8.6.6 | V∞.6.6 | V12i.6.6 | V9i.6.6 | V6i.6.6 |
El octaedro truncado está topológicamente relacionado como parte de una secuencia de poliedros uniformes y teselaciones con vértices de 4.2 n .2 n , que se extienden hacia el plano hiperbólico:
* n 42 mutación de simetría de teselaciones truncadas: 4.2 n .2 n | |||||||||||
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Simetría * n 42 [n, 4] | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | |||||||
* 242 [2,4] | * 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | ||||
Figuras truncadas | |||||||||||
Config. | 4.4.4 | 4.6.6 | 4.8.8 | 4.10.10 | 4.12.12 | 4.14.14 | 4.16.16 | 4.∞.∞ | |||
figuras n-kis | |||||||||||
Config. | V4.4.4 | V4.6.6 | V4.8.8 | V4.10.10 | V4.12.12 | V4.14.14 | V4.16.16 | V4.∞.∞ |
Politopos relacionados
El octaedro truncado ( cubo bitruncado ), es el primero en una secuencia de hipercubos bitruncados :
Imagen | ... | ||||||
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Nombre | Cubo bitruncado | Tesseract bitruncado | 5-cubo bitruncado | 6-cubo bitruncado | 7-cubo bitruncado | 8 cubos bitruncados | |
Coxeter | |||||||
Figura de vértice | () v {} | {} v {} | {} v {3} | {} v {3,3} | {} v {3,3,3} | {} v {3,3,3,3} |
Es posible cortar un tesseract por un hiperplano de modo que su sección transversal cortada sea un octaedro truncado. [4]
Teselaciones
El octaedro truncado existe en tres panales uniformes convexos diferentes ( mosaicos que llenan el espacio ):
Cúbico bitruncado | Cúbico cantitruncado | Cúbico alternado truncado |
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El nido de abeja cúbico bitruncado de celda transitiva también se puede ver como la teselación de Voronoi de la celosía cúbica centrada en el cuerpo . El octaedro truncado es uno de los cinco paralelos primarios tridimensionales .
Objetos
los antiguos chinos mueren
escultura en Bonn
Variante del cubo de Rubik
modelo realizado con juego de construcción Polydron
Cristal de pirita
Gráfico octaédrico truncado
Gráfico octaédrico truncado | |
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Vértices | 24 |
Bordes | 36 |
Automorfismos | 48 |
Número cromático | 2 |
Espesor del libro | 3 |
Número de cola | 2 |
Propiedades | Cúbica , hamiltoniana , regular , simétrica cero |
Tabla de gráficos y parámetros |
En el campo matemático de la teoría de grafos , un gráfico octaédrico truncado es el gráfico de vértices y aristas del octaedro truncado. Tiene 24 vértices y 36 aristas, y es un grafo de Arquímedes cúbico . [5] Tiene un grosor de libro 3 y un número de cola 2. [6]
Como gráfico cúbico hamiltoniano , se puede representar mediante notación LCF de varias formas: [3, −7, 7, −3] 6 , [5, −11, 11, 7, 5, −5, −7, −11 , 11, −5, −7, 7] 2 y [−11, 5, −3, −7, −9, 3, −5, 5, −3, 9, 7, 3, −5, 11, −3, 7, 5, −7, −9, 9, 7, −5, −7, 3]. [7]
Referencias
- ^ "Octaedro truncado" . Wolfram Mathworld .
- ^ Doskey, Alex. "Aventuras entre los toroides - Capítulo 5 - Toroides más simples (R) (A) (Q) (T) del género p = 1" . www.doskey.com .
- ^ Pérez-González, F .; Balado, F .; Martin, JRH (2003). "Análisis de rendimiento de métodos nuevos y existentes para la ocultación de datos con información de host conocido en canales aditivos". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 51 (4): 960–980. doi : 10.1109 / TSP.2003.809368 .
- ^ Borovik, Alexandre V .; Borovik, Anna (2010), "Ejercicio 14.4" , Espejos y reflejos , Universitext, Nueva York: Springer, p. 109, doi : 10.1007 / 978-0-387-79066-4 , ISBN 978-0-387-79065-7, MR 2561378
- ^ Leer, RC; Wilson, RJ (1998), An Atlas of Graphs , Oxford University Press , pág. 269
- ^ Wolz, Jessica; Diseños lineales de ingeniería con SAT. Tesis de maestría, Universidad de Tübingen, 2018
- ^ Weisstein, Eric W. "Gráfico octaédrico truncado" . MathWorld .
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9)
- Freitas, Robert A. Jr. "Relleno uniforme del espacio utilizando sólo octaedros truncados" . Figura 5.5 de Nanomedicina, Volumen I: Capacidades básicas , Landes Bioscience, Georgetown, TX, 1999 . Consultado el 8 de septiembre de 2006 . Enlace externo en
|publisher=
( ayuda ) - Gaiha, P. y Guha, SK (1977). "Vértices adyacentes en un permutoedro". Revista SIAM de Matemática Aplicada . 32 (2): 323–327. doi : 10.1137 / 0132025 .
- Hart, George W. "Modelo VRML de octaedro truncado" . Poliedros virtuales: la enciclopedia de poliedros . Consultado el 8 de septiembre de 2006 . Enlace externo en
|publisher=
( ayuda ) - Mäder, Roman. "El poliedro uniforme: octaedro truncado" . Consultado el 8 de septiembre de 2006 .
- Alexandrov, AD (1958). Konvexe Polyeder . Berlín: Springer. pag. 539. ISBN 3-540-23158-7.
- Cromwell, P. (1997). Poliedros . Reino Unido: Cambridge. pp. 79-86 Sólidos de Arquímedes . ISBN 0-521-55432-2.
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , octaedro truncado ( sólido de Arquímedes ) en MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Gráfico octaédrico truncado" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Permutohedron" . MathWorld .
- Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D x3x4o - puntera" .
- Red imprimible editable de un octaedro truncado con vista 3D interactiva