Integral de Khinchin

En matemáticas, la integral Khinchin (a veces deletreada integral Khintchine ), también conocida como integral Denjoy-Khinchin , integral Denjoy generalizada o integral Denjoy amplia , es una de varias definiciones de la integral de una función . Es una generalización de las integrales de Riemann y Lebesgue . Lleva el nombre de Aleksandr Khinchin y Arnaud Denjoy , pero no debe confundirse con la integral (estrecha) de Denjoy .

Motivación

Si g  :  I  →  R es una función integrable de Lebesgue en algún intervalo I  = [ a , b ], y si

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$

es su integral indefinida de Lebesgue, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas: ^[1]

1. f es absolutamente continuo (ver más abajo)
2. f es diferenciable en casi todas partes
3. Su derivada coincide casi en todas partes con g ( x ). (De hecho, todas las funciones absolutamente continuas se obtienen de esta manera. ^[2] )

La integral de Lebesgue podría definirse de la siguiente manera: g es integrable de Lebesgue en I si si existe una función f que es absolutamente continua cuya derivada coincide con g casi en todas partes.

Sin embargo, incluso si f  :  I  →  R es derivable en todas partes y g es su derivada, no se sigue que f sea ​​(hasta una constante) la integral indefinida de Lebesgue de g , simplemente porque g puede fallar en ser integrable en Lebesgue, es decir, f puede no ser absolutamente continua. Un ejemplo de esto lo da ^[3] la derivada g de la función (diferenciable pero no absolutamente continua) f ( x ) = x ² · sin (1 / x ²) (la función g no es Lebesgue-integrable alrededor de 0).

La integral de Denjoy corrige esta falta asegurando que la derivada de cualquier función f que sea diferenciable en todas partes (o incluso diferenciable en todas partes, excepto por muchos puntos contables) sea integrable, y su integral reconstruya f hasta una constante; la integral de Khinchin es aún más general en el sentido de que puede integrar la derivada aproximada de una función aproximadamente diferenciable (ver más abajo las definiciones). Para hacer esto, primero se encuentra una condición que es más débil que la continuidad absoluta pero que es satisfecha por cualquier función aproximadamente diferenciable. Este es el concepto de generalizadocontinuidad absoluta; Las funciones absolutamente continuas generalizadas serán exactamente aquellas funciones que son integrales de Khinchin indefinidas.

Definición

Función absolutamente continua generalizada

Let I  = [ a , b ] haber un intervalo y f  :  I  →  R es una función de valor real en I .

Recuerde que f es absolutamente continua en un subconjunto E de I si y solo si para cada número positivo ε hay un número positivo δ tal que siempre que una colección finita de subintervalos disjuntos por pares de I con puntos finales en E satisfaga${\displaystyle [x_{k},y_{k}]}$

${\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }$

tambien satisface

${\displaystyle \sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

Defina ^{[4] [5]} la función f que se generalizará absolutamente continua en un subconjunto E de I si la restricción de f a E es continua (en E ) y E puede escribirse como una unión contable de subconjuntos E _i tal que f es absolutamente continuo en cada E _i . Esto es equivalente ^[6] a la afirmación de que todo subconjunto perfecto no vacío de E contiene una porción ^[7] en la que f es absolutamente continuo.

Derivado aproximado

Sea E un conjunto de reales mensurables de Lebesgue . Recuerde que se dice que un número real x (no necesariamente en E ) es un punto de densidad de E cuando

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (E\cap [x-\varepsilon ,x+\varepsilon ])}{2\varepsilon }}=1}$

(donde μ denota medida de Lebesgue). Una función medible de Lebesgue g  :  E  →  R se dice que tiene un límite aproximado ^[8] y en x (un punto de densidad de E ) si para cada número positivo ε , el punto x es un punto de densidad de . (Si además g ( x ) =  y , podemos decir que g es aproximadamente continua en x . ^[9] ) De manera equivalente, g tiene un límite aproximado y${\displaystyle g^{-1}([y-\varepsilon ,y+\varepsilon ])}$en x si y solo si existe un subconjunto medible F de E tal que x es un punto de densidad de F y el límite (habitual) en x de la restricción de f a F es y . Al igual que el límite habitual, el límite aproximado es único si existe.

Finalmente, se dice que una función f  :  E  →  R medible de Lebesgue tiene una derivada aproximada y en x si f

${\displaystyle {\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}}$

tiene un límite aproximado y en x ; esto implica que f es aproximadamente continua en x .

Un teorema

Recuerde que del teorema de Lusin se sigue que una función medible de Lebesgue es aproximadamente continua en casi todas partes (y viceversa). ^{[10] [11]} El teorema clave para construir la integral de Khinchin es el siguiente: una función f que se generaliza de forma absolutamente continua (o incluso de "variación limitada generalizada", una noción más débil) tiene una derivada aproximada en casi todas partes. ^{[12] [13] [14]} Además, si f se generaliza de forma absolutamente continua y su derivada aproximada no es negativa en casi todas partes, entonces f no es decreciente, ^[15] y, en consecuencia, si esta derivada aproximada es cero en casi todas partes, entoncesf es constante.

La integral Khinchin

Let I  = [ a , b ] haber un intervalo y g  :  I  →  R es una función de valor real en I . Se dice que la función g es Khinchin-integrable en I si existe una función f que es generalizada absolutamente continua cuya derivada aproximada coincide con g casi en todas partes; ^[16] En este caso, la función f se determina por g hasta una constante, y la Khinchin-integral de g de un a b se define como${\displaystyle f(b)-f(a)}$.

Un caso particular

Si f  :  I  →  R es continua y tiene una derivada aproximada en todas partes de I, excepto por muchos puntos contables, entonces f es, de hecho, generalizada absolutamente continua, por lo que es la integral de Khinchin (indefinida) de su derivada aproximada. ^[17]

Este resultado no se cumple si el conjunto de puntos donde no se supone que f tiene una derivada aproximada es simplemente de la medida de Lebesgue cero, como muestra la función de Cantor .

Notas

1. ( Gordon 1994 , teorema 4.12)
2. ( Gordon 1994 , teorema 4.14)
3. ( Bruckner 1994 , capítulo 5, §2)
4. ( Bruckner 1994 , capítulo 5, §4)
5. ( Gordon 1994 , definición 6.1)
6. ( Gordon 1994 , teorema 6.10)
7. Una porción de un conjunto perfecto P es un P  ∩ [ u ,  v ] tal que esta intersección es perfecta y no está vacía.
8. ( Bruckner 1994 , capítulo 10, §1)
9. ( Gordon 1994 , teorema 14.5)
10. ( Bruckner 1994 , teorema 5.2)
11. ( Gordon 1994 , teorema 14.7)
12. ( Bruckner 1994 , capítulo 10, teorema 1.2)
13. ( Gordon 1994 , teorema 14.11)
14. ( Filippov 1998 , capítulo IV, teorema 6.1)
15. ( Gordon 1994 , teorema 15.2)
16. ( Gordon 1994 , definición 15.1)
17. ( Gordon 1994 , teorema 15.4)

Referencias

• Springer Encyclopedia of Mathematics: artículo "Denjoy integral"
• Springer Encyclopedia of Mathematics: artículo "Derivada aproximada"
• Bruckner, Andrew (1994). Diferenciación de funciones reales . Sociedad Americana de Matemáticas . ISBN 978-0-8218-6990-1.
• Gordon, Russell A. (1994). Las integrales de Lebesgue, Denjoy, Perron y Henstock . Sociedad Americana de Matemáticas . ISBN 978-0-8218-3805-1.
• Filippov, VV (1998). Estructuras topológicas básicas de ecuaciones diferenciales ordinarias . ISBN 978-0-7923-4951-8.