Rotador pateado

El rotador pateado , también deletreado como rotor pateado , es un modelo prototipo para estudios de caos y caos cuántico . Describe una partícula que está obligada a moverse en un anillo (equivalentemente: una varilla giratoria). La partícula es pateada periódicamente por un campo homogéneo (de manera equivalente: la gravitación se activa periódicamente en pulsos cortos). El modelo es descrito por el hamiltoniano

Retratos de fase (p vs. x) del rotor pateado clásico con diferentes potencias de pateo. La fila superior muestra, de izquierda a derecha, K = 0.5, 0.971635, 1.3. La fila inferior muestra, de izquierda a derecha, K = 2.1, 5.0, 10.0. El retrato de fase en el límite caótico es el gráfico medio superior, con K _C = 0,971635. En y por encima de K _C , aparecen regiones de trayectorias uniformes, de color granulado y casi aleatorias que, finalmente, consumen toda la trama, lo que indica caos.

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (p, x, t) = {\ frac {1} {2}} p ^ {2} + K \ cos (x) \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (tn)}

Dónde ${\ Displaystyle \ textstyle \ delta}$ es la función delta de Dirac , ${\ Displaystyle \ textstyle x}$ es la posición angular (por ejemplo, en un anillo), tomada en módulo ${\ Displaystyle \ textstyle 2 \ pi}$ , ${\ Displaystyle \ textstyle p}$ es el impulso, y ${\ Displaystyle \ textstyle K}$ es la fuerza de las patadas. Su dinámica está descrita por el mapa estándar.

{\ Displaystyle p_ {n + 1} = p_ {n} + K \ sin (x_ {n}), \; \; x_ {n + 1} = x_ {n} + p_ {n + 1}}

Con la salvedad de que ${\ Displaystyle \ textstyle p}$ no es periódico, como en el mapa estándar.

Propiedades principales (clásica)

En el análisis clásico, si las patadas son lo suficientemente fuertes, ${\ Displaystyle K> K_ {c} \ approx 0.971635 \ dots}$ , el sistema es caótico y tiene un exponente máximo de Lyapunov (MLE) positivo .

La difusión promediada de la cantidad de movimiento al cuadrado es un parámetro útil para caracterizar la deslocalización de trayectorias cercanas. El resultado inductivo del mapa estándar produce la siguiente ecuación para el momento ^[1]

{\ Displaystyle p (n) = p (0) + K \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ sin (x (i))}

">

Reproducir medios

Animación de retrato de fase de Kicker Rotor

La difusión puede calcularse luego elevando al cuadrado la diferencia de impulso después de la ${\ Displaystyle {n} ^ {th}}$ patada y el impulso inicial, y luego promediando, produciendo

{\ Displaystyle \ left \ langle {(\ Delta p)} ^ {2} \ right \ rangle = \ left \ langle {(p (n) -p (0))} ^ {2} \ right \ rangle = K ^ {2} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ left \ langle {\ sin} ^ {2} (x (i)) \ right \ rangle + K ^ {2} \ sum _ { i \ neq j} ^ {} \ left \ langle \ sin (x (i)) \ sin (x (j)) \ right \ rangle}

En el dominio caótico, los momentos en diferentes puntos de tiempo pueden ser desde completamente no correlacionados hasta altamente correlacionados. Si se asume que no están correlacionados debido al comportamiento cuasialeatorio, la suma que involucra los términos cruzados ${\ Displaystyle \ textstyle i \ neq j}$ está descuidado. En este límite, dado que el primer término es una suma de ${\ Displaystyle \ textstyle n}$ términos todos iguales ${\ Displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2}}}$ , la difusión del impulso se convierte en ${\ Displaystyle \ textstyle \ left \ langle {(\ Delta p)} ^ {2} \ right \ rangle = {\ frac {1} {2}} K ^ {2} n}$ . Sin embargo, si se supone que los momentos en diferentes puntos de tiempo están altamente correlacionados, la suma que involucra los términos cruzados no se descuida, por lo que contribuye con más términos que igualan ${\ Displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2}}}$ . En total, hay ${\ Displaystyle \ textstyle n ^ {2}}$ términos para sumar, toda la forma ${\ Displaystyle \ textstyle \ sim \ left \ langle {\ sin} ^ {2} x \ right \ rangle = {\ frac {1} {2}}}$ . Esto da un límite superior en la difusión del impulso de ${\ Displaystyle \ textstyle \ left \ langle {(\ Delta p)} ^ {2} \ right \ rangle = {\ frac {1} {2}} K ^ {2} n ^ {2}}$ . Por lo tanto, en el dominio caótico, la difusión del impulso se encuentra entre

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} K ^ {2} n \ leq \ left \ langle {(\ Delta p)} ^ {2} \ right \ rangle \ leq {\ frac {1} {2 }} K ^ {2} n ^ {2}}

Es decir, la difusión de la cantidad de movimiento en el dominio caótico tiene una dependencia entre lineal y cuadrática del número de patadas. Una expresión exacta para ${\ Displaystyle \ textstyle \ left \ langle {(\ Delta p)} ^ {2} \ right \ rangle}$ se puede obtener en principio calculando las sumas explícitamente para un conjunto de trayectorias.

Propiedades principales (cuántica)

En el análisis cuántico, el hamiltoniano primero debe reescribirse en forma de operador, utilizando la sustitución ${\ Displaystyle \ textstyle p = i \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}}}$ dar (en forma adimensional)….

{\ Displaystyle H (x, t) = - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} + K \ cos (x) \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (tn)}

La función de onda se puede resolver utilizando la ecuación de Schrödinger

{\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ psi (t) = H \ psi (t)}

dónde ${\ Displaystyle \ textstyle \ hbar}$ aquí se escala de acuerdo con el período entre patadas, ${\ Displaystyle \ textstyle T}$ , y el vector de onda del potencial impulsor, ${\ Displaystyle \ textstyle k_ {0}}$ , como

{\ Displaystyle \ hbar \ rightarrow \ hbar {{k} _ {0}} ^ {2} T / m}

La función de onda en el ${\ Displaystyle \ textstyle n ^ {th}}$ la patada se puede expandir en términos de los estados propios del impulso, ${\ Displaystyle \ textstyle | l \ rangle}$ , como

{\ Displaystyle \ psi (t_ {n}) = \ sum _ {l = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {l} (t_ {n}) | l \ rangle}

Se puede demostrar que los coeficientes vienen dados de forma recursiva por ^[2]

{\ Displaystyle a_ {m} ({t} _ {n + 1}) = \ exp [-im ^ {2} \ hbar / 2] \ sum _ {l = - \ infty} ^ {\ infty} {( -i)} ^ {lm} {J} _ {lm} (K / \ hbar) a_ {l} (t_ {n})}

Dónde ${\ Displaystyle \ textstyle {J} _ {\ alpha}}$ es una función de orden de Bessel ${\ Displaystyle \ textstyle \ alpha}$ .

Dado un conjunto de condiciones iniciales, es relativamente sencillo resolver numéricamente la ecuación recursiva anterior para todo el tiempo y sustituir los coeficientes calculados nuevamente en la descomposición del estado propio del momento para encontrar la función de onda total. Al cuadrar esto, se obtiene la evolución temporal de la distribución de probabilidad, lo que proporciona una descripción mecánica cuántica completa.

Otra forma de calcular la evolución del tiempo es aplicar iterativamente el operador unitario

{\ Displaystyle {\ hat {U}} = \ exp \ left [-i {\ frac {1} {2 \ hbar}} {\ hat {p}} ^ {2} \ right] \ exp \ left [- i {\ frac {1} {\ hbar}} K \ cos {\ hat {x}} \ right]}

Se ha descubierto ^[3] que se suprime la difusión clásica, y más tarde se ha entendido ^[4]^[5]^[6]^[7] que esto es una manifestación de un efecto de localización dinámica cuántica que es paralelo a la localización de Anderson . Hay un argumento general ^[8]^[9] que conduce a la siguiente estimación del tiempo de interrupción del comportamiento difusivo

{\ Displaystyle t ^ {*} \ \ approx \ D_ {cl} / \ hbar ^ {2}}

Dónde ${\ Displaystyle D_ {cl}}$ es el coeficiente de difusión clásico. Por tanto, la escala de localización asociada en el momento es ${\ Displaystyle \ textstyle {\ sqrt {D_ {cl} t ^ {*}}}}$ .

El efecto del ruido y la disipación.

Si se agrega ruido al sistema, se destruye la localización dinámica y se induce la difusión. ^[10]^[11]^[12] Esto es algo similar a la conductancia de salto. El análisis adecuado requiere descubrir cómo se reducen las correlaciones dinámicas que son responsables del efecto de localización.

Recuerde que el coeficiente de difusión es ${\ Displaystyle D_ {cl} \ approx K ^ {2} / 2}$ , porque el cambio ${\ Displaystyle (p (t) -p (0))}$ en el impulso es la suma de patadas casi aleatorias ${\ Displaystyle K \ sin (x (n))}$ . Una expresión exacta para ${\ Displaystyle D_ {cl}}$ se obtiene calculando el "área" de la función de correlación ${\ Displaystyle C (n) = \ langle \ sin (x (n)) \ sin (x (0)) \ rangle}$ , es decir, la suma ${\ Displaystyle D = K ^ {2} \ sum C (n)}$ . Tenga en cuenta que ${\ displaystyle C (0) = 1/2}$ . La misma receta de cálculo es válida también en el caso de la mecánica cuántica, y también si se agrega ruido.

En el caso cuántico, sin el ruido, el área bajo ${\ Displaystyle C (n)}$ es cero (debido a las largas colas negativas), mientras que con el ruido una aproximación práctica es ${\ Displaystyle C (n) \ mapsto C (n) e ^ {- t / t_ {c}}}$ donde el tiempo de coherencia ${\ Displaystyle t_ {c}}$ es inversamente proporcional a la intensidad del ruido. En consecuencia, el coeficiente de difusión inducido por ruido es

{\ Displaystyle D \ approx D_ {cl} t ^ {*} / t_ {c} \ quad [{\ text {suponiendo}} t_ {c} \ gg t ^ {*}]}

También se ha considerado el problema del rotador con patada cuántica con disipación (debido al acoplamiento a un baño termal). Aquí hay un problema sobre cómo introducir una interacción que respete la periodicidad del ángulo de la posición. ${\ Displaystyle x}$ coordinar, y sigue siendo espacialmente homogéneo. En los primeros trabajos ^[13]^[14] se ha asumido una interacción de tipo óptico-cuántico que implica un acoplamiento dependiente del momento. Posteriormente ^[15] se ha descubierto una forma de formular un acoplamiento puramente dependiente de la posición, como en el modelo Calderia-Leggett, que puede considerarse como la versión anterior del modelo DLD .

Experimentos

El grupo de Raizen , ^[16] y el grupo de Auckland, ^[17] han logrado realizaciones experimentales del rotador cuántico pateado y han alentado un interés renovado en el análisis teórico. En este tipo de experimento, una muestra de átomos fríos proporcionada por una trampa magneto-óptica interactúa con una onda de luz estacionaria pulsada. Al estar desafinada la luz con respecto a las transiciones atómicas, los átomos experimentan una fuerza conservadora espacio-periódica . Por lo tanto, la dependencia angular se reemplaza por una dependencia de la posición en el enfoque experimental. El enfriamiento submiliKelvin es necesario para obtener efectos cuánticos: debido al principio de incertidumbre de Heisenberg , la longitud de onda de De Broglie, es decir, la longitud de onda atómica, puede llegar a ser comparable a la longitud de onda de la luz. Para obtener más información, consulte. ^[18] Gracias a esta técnica, se han investigado varios fenómenos, entre ellos el notable:

trinquetes cuánticos; ^[19]
la transición de Anderson en 3D. ^[20]

Ver también

Mapa circular

Referencias

^ Zheng, Yindong; Kobe, Donald H. (2006). "Difusión de impulso anómalo en el rotor pateado clásico". Caos, solitones y fractales . 28 (2): 395–402. Código bibliográfico : 2006CSF .... 28..395Z . doi : 10.1016 / j.chaos.2005.05.053 . ISSN 0960-0779 .
^ Zheng, Yindong; Kobe, Donald H. (2007). "Momentum difusión del rotor cuántico pateado: Comparación de la mecánica cuántica estándar y bohmiana". Caos, solitones y fractales . 34 (4): 1105-1113. Código bibliográfico : 2007CSF .... 34.1105Z . doi : 10.1016 / j.chaos.2006.04.065 . ISSN 0960-0779 .
^ G. Casati, BV Chirikov, FM Izrailev y J. Ford, en Stochastic Behavior in Classic and Quantum Hamiltonian Systems , vol. 93 de Lecture Notes in Physics, editado por G. Casati y J. Ford (Springer, NY 1979), p. 334
^ Gyojin, Shmuel; Grempel, DR; Prange, RE (1982). "Caos, recurrencias cuánticas y localización de Anderson". Cartas de revisión física . 49 (8): 509–512. Código Bibliográfico : 1982PhRvL..49..509F . doi : 10.1103 / PhysRevLett.49.509 . ISSN 0031-9007 .
^ Grempel, DR; Prange, RE; Fishman, Shmuel (1984). "Dinámica cuántica de un sistema no integrable". Physical Review A . 29 (4): 1639-1647. Código Bibliográfico : 1984PhRvA..29.1639G . doi : 10.1103 / PhysRevA.29.1639 . ISSN 0556-2791 .
^ Gyojin, Shmuel; Prange, RE; Griniasty, Meir (1989). "Teoría de escala para la longitud de localización del rotor pateado". Physical Review A . 39 (4): 1628–1633. Código Bibliográfico : 1989PhRvA..39.1628F . doi : 10.1103 / PhysRevA.39.1628 . ISSN 0556-2791 . PMID 9901416 .
^ Gyojin, Shmuel; Grempel, DR; Prange, RE (1987). "Cruce temporal de comportamiento clásico a cuántico cerca de puntos críticos dinámicos". Physical Review A . 36 (1): 289-305. Código bibliográfico : 1987PhRvA..36..289F . doi : 10.1103 / PhysRevA.36.289 . ISSN 0556-2791 . PMID 9898683 .
^ BV Chirikov, FM Izrailev y DL Shepelyansky, Sov. Sci. Rev. 2C, 209 (1981).
^ Shepelyansky, DL (1987). "Localización de excitación difusiva en sistemas multinivel". Physica D: Fenómenos no lineales . 28 (1-2): 103-114. Código Bibliográfico : 1987PhyD ... 28..103S . doi : 10.1016 / 0167-2789 (87) 90123-0 . ISSN 0167-2789 .
^ Ott, E .; Antonsen, TM; Hanson, JD (1984). "Efecto del ruido en el caos cuántico dependiente del tiempo". Cartas de revisión física . 53 (23): 2187–2190. Código Bibliográfico : 1984PhRvL..53.2187O . doi : 10.1103 / PhysRevLett.53.2187 . ISSN 0031-9007 .
^ Cohen, Doron (1991). "Caos cuántico, correlaciones dinámicas y el efecto del ruido en la localización". Physical Review A . 44 (4): 2292–2313. Código Bibliográfico : 1991PhRvA..44.2292C . doi : 10.1103 / PhysRevA.44.2292 . ISSN 1050-2947 . PMID 9906211 .
^ Cohen, Doron (1991). "Localización, correlaciones dinámicas y el efecto del ruido de color en la coherencia". Cartas de revisión física . 67 (15): 1945-1948. arXiv : chao-dyn / 9909016 . Código Bibliográfico : 1991PhRvL..67.1945C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.67.1945 . ISSN 0031-9007 . PMID 10044295 .
^ Dittrich, T .; Graham, R. (1986). "Cuantización del rotador pateado con disipación". Zeitschrift für Physik B . 62 (4): 515–529. Código Bibliográfico : 1986ZPhyB..62..515D . doi : 10.1007 / BF01303584 . ISSN 0722-3277 . S2CID 189792730 .
^ Dittrich, T; Graham, R. (1990). "Comportamiento a largo plazo en el mapa estándar cuantificado con disipación". Annals of Physics . 200 (2): 363–421. Código Bibliográfico : 1990AnPhy.200..363D . doi : 10.1016 / 0003-4916 (90) 90279-W . ISSN 0003-4916 .
^ Cohen, D (1994). "Ruido, disipación y el límite clásico en el problema cuántico pateado-rotador". Revista de Física A: Matemática y General . 27 (14): 4805–4829. Código Bibliográfico : 1994JPhA ... 27.4805C . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 27/14/011 . ISSN 0305-4470 .
^ Klappauf, BG; Oskay, WH; Steck, DA; Raizen, MG (1998). "Observación de los efectos del ruido y la disipación en la localización dinámica". Cartas de revisión física . 81 (6): 1203–1206. Código Bibliográfico : 1998PhRvL..81.1203K . doi : 10.1103 / PhysRevLett.81.1203 . ISSN 0031-9007 .
^ Ammann, H .; Gray, R .; Shvarchuck, I .; Christensen, N. (1998). "Rotor cuántico Delta-pateado: observación experimental de decoherencia". Cartas de revisión física . 80 (19): 4111–4115. Código Bibliográfico : 1998PhRvL..80.4111A . doi : 10.1103 / PhysRevLett.80.4111 . ISSN 0031-9007 .
^ M. Raizen en Nuevas direcciones en el caos cuántico , Actas de la Escuela Internacional de Física Enrico Fermi , Curso CXLIII, Editado por G. Casati, I. Guarneri y U. Smilansky (IOS Press, Amsterdam 2000).
^ Gommers, R .; Denisov, S .; Renzoni, F. (2006). "Trinquetes accionados cuasiperiódicamente para átomos fríos". Cartas de revisión física . 96 (24): 240604. arXiv : cond-mat / 0610262 . Código Bibliográfico : 2006PhRvL..96x0604G . doi : 10.1103 / PhysRevLett.96.240604 . ISSN 0031-9007 . PMID 16907228 . S2CID 36630433 .
^ Chabé, Julien; Lemarié, Gabriel; Grémaud, Benoît; Delande, Dominique; Szriftgiser, Pascal; Garreau, Jean Claude (2008). "Observación experimental de la transición de Anderson metal-aislante con ondas de materia atómica". Cartas de revisión física . 101 (25): 255702. arXiv : 0709.4320 . Código Bibliográfico : 2008PhRvL.101y5702C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.101.255702 . ISSN 0031-9007 . PMID 19113725 . S2CID 773761 .

enlaces externos

Entrada de Scholarpedia

[ZhengKobe2006-1] Zheng, Yindong; Kobe, Donald H. (2006). "Difusión de impulso anómalo en el rotor pateado clásico". Caos, solitones y fractales . 28 (2): 395–402. Código bibliográfico : 2006CSF .... 28..395Z . doi : 10.1016 / j.chaos.2005.05.053 . ISSN 0960-0779 .

[ZhengKobe2007-2] Zheng, Yindong; Kobe, Donald H. (2007). "Momentum difusión del rotor cuántico pateado: Comparación de la mecánica cuántica estándar y bohmiana". Caos, solitones y fractales . 34 (4): 1105-1113. Código bibliográfico : 2007CSF .... 34.1105Z . doi : 10.1016 / j.chaos.2006.04.065 . ISSN 0960-0779 .

[3] G. Casati, BV Chirikov, FM Izrailev y J. Ford, en Stochastic Behavior in Classic and Quantum Hamiltonian Systems , vol. 93 de Lecture Notes in Physics, editado por G. Casati y J. Ford (Springer, NY 1979), p. 334

[FishmanGrempel1982-4] Gyojin, Shmuel; Grempel, DR; Prange, RE (1982). "Caos, recurrencias cuánticas y localización de Anderson". Cartas de revisión física . 49 (8): 509–512. Código Bibliográfico : 1982PhRvL..49..509F . doi : 10.1103 / PhysRevLett.49.509 . ISSN 0031-9007 .

[GrempelPrange1984-5] Grempel, DR; Prange, RE; Fishman, Shmuel (1984). "Dinámica cuántica de un sistema no integrable". Physical Review A . 29 (4): 1639-1647. Código Bibliográfico : 1984PhRvA..29.1639G . doi : 10.1103 / PhysRevA.29.1639 . ISSN 0556-2791 .

[FishmanPrange1989-6] Gyojin, Shmuel; Prange, RE; Griniasty, Meir (1989). "Teoría de escala para la longitud de localización del rotor pateado". Physical Review A . 39 (4): 1628–1633. Código Bibliográfico : 1989PhRvA..39.1628F . doi : 10.1103 / PhysRevA.39.1628 . ISSN 0556-2791 . PMID 9901416 .

[FishmanGrempel1987-7] Gyojin, Shmuel; Grempel, DR; Prange, RE (1987). "Cruce temporal de comportamiento clásico a cuántico cerca de puntos críticos dinámicos". Physical Review A . 36 (1): 289-305. Código bibliográfico : 1987PhRvA..36..289F . doi : 10.1103 / PhysRevA.36.289 . ISSN 0556-2791 . PMID 9898683 .

[8] BV Chirikov, FM Izrailev y DL Shepelyansky, Sov. Sci. Rev. 2C, 209 (1981).

[Shepelyansky1987-9] Shepelyansky, DL (1987). "Localización de excitación difusiva en sistemas multinivel". Physica D: Fenómenos no lineales . 28 (1-2): 103-114. Código Bibliográfico : 1987PhyD ... 28..103S . doi : 10.1016 / 0167-2789 (87) 90123-0 . ISSN 0167-2789 .

[OttAntonsen1984-10] Ott, E .; Antonsen, TM; Hanson, JD (1984). "Efecto del ruido en el caos cuántico dependiente del tiempo". Cartas de revisión física . 53 (23): 2187–2190. Código Bibliográfico : 1984PhRvL..53.2187O . doi : 10.1103 / PhysRevLett.53.2187 . ISSN 0031-9007 .

[Cohen1991-11] Cohen, Doron (1991). "Caos cuántico, correlaciones dinámicas y el efecto del ruido en la localización". Physical Review A . 44 (4): 2292–2313. Código Bibliográfico : 1991PhRvA..44.2292C . doi : 10.1103 / PhysRevA.44.2292 . ISSN 1050-2947 . PMID 9906211 .

[Cohen1991a-12] Cohen, Doron (1991). "Localización, correlaciones dinámicas y el efecto del ruido de color en la coherencia". Cartas de revisión física . 67 (15): 1945-1948. arXiv : chao-dyn / 9909016 . Código Bibliográfico : 1991PhRvL..67.1945C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.67.1945 . ISSN 0031-9007 . PMID 10044295 .

[DittrichGraham1986-13] Dittrich, T .; Graham, R. (1986). "Cuantización del rotador pateado con disipación". Zeitschrift für Physik B . 62 (4): 515–529. Código Bibliográfico : 1986ZPhyB..62..515D . doi : 10.1007 / BF01303584 . ISSN 0722-3277 . S2CID 189792730 .

[DittrichGraham1990-14] Dittrich, T; Graham, R. (1990). "Comportamiento a largo plazo en el mapa estándar cuantificado con disipación". Annals of Physics . 200 (2): 363–421. Código Bibliográfico : 1990AnPhy.200..363D . doi : 10.1016 / 0003-4916 (90) 90279-W . ISSN 0003-4916 .

[Cohen1994-15] Cohen, D (1994). "Ruido, disipación y el límite clásico en el problema cuántico pateado-rotador". Revista de Física A: Matemática y General . 27 (14): 4805–4829. Código Bibliográfico : 1994JPhA ... 27.4805C . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 27/14/011 . ISSN 0305-4470 .

[KlappaufOskay1998-16] Klappauf, BG; Oskay, WH; Steck, DA; Raizen, MG (1998). "Observación de los efectos del ruido y la disipación en la localización dinámica". Cartas de revisión física . 81 (6): 1203–1206. Código Bibliográfico : 1998PhRvL..81.1203K . doi : 10.1103 / PhysRevLett.81.1203 . ISSN 0031-9007 .

[AmmannGray1998-17] Ammann, H .; Gray, R .; Shvarchuck, I .; Christensen, N. (1998). "Rotor cuántico Delta-pateado: observación experimental de decoherencia". Cartas de revisión física . 80 (19): 4111–4115. Código Bibliográfico : 1998PhRvL..80.4111A . doi : 10.1103 / PhysRevLett.80.4111 . ISSN 0031-9007 .

[18] M. Raizen en Nuevas direcciones en el caos cuántico , Actas de la Escuela Internacional de Física Enrico Fermi , Curso CXLIII, Editado por G. Casati, I. Guarneri y U. Smilansky (IOS Press, Amsterdam 2000).

[GommersDenisov2006-19] Gommers, R .; Denisov, S .; Renzoni, F. (2006). "Trinquetes accionados cuasiperiódicamente para átomos fríos". Cartas de revisión física . 96 (24): 240604. arXiv : cond-mat / 0610262 . Código Bibliográfico : 2006PhRvL..96x0604G . doi : 10.1103 / PhysRevLett.96.240604 . ISSN 0031-9007 . PMID 16907228 . S2CID 36630433 .

[ChabéLemarié2008-20] Chabé, Julien; Lemarié, Gabriel; Grémaud, Benoît; Delande, Dominique; Szriftgiser, Pascal; Garreau, Jean Claude (2008). "Observación experimental de la transición de Anderson metal-aislante con ondas de materia atómica". Cartas de revisión física . 101 (25): 255702. arXiv : 0709.4320 . Código Bibliográfico : 2008PhRvL.101y5702C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.101.255702 . ISSN 0031-9007 . PMID 19113725 . S2CID 773761 .

[1]