Campo de vector de matanza

En matemáticas , un campo vectorial Killing (a menudo llamado campo Killing ), llamado así por Wilhelm Killing , es un campo vectorial en una variedad riemanniana (o variedad pseudo-riemanniana ) que conserva la métrica . Los campos de muerte son los generadores infinitesimales de isometrías ; es decir, los flujos generados por los campos Killing son isometrías continuas de la variedad . Más simplemente, el flujo genera una simetría, en el sentido de que mover cada punto de un objeto la misma distancia en la dirección del vector Killing no distorsionará las distancias en el objeto.

Específicamente, un campo vectorial X es un campo Killing si la derivada de Lie con respecto a X de la métrica g desaparece: ^[1]

Esta condición se expresa en forma covariante. Por lo tanto, es suficiente establecerlo en un sistema de coordenadas preferido para que se mantenga en todos los sistemas de coordenadas.

El campo vectorial en un círculo que apunta en el sentido de las agujas del reloj y tiene la misma longitud en cada punto es un campo vectorial Killing, ya que mover cada punto del círculo a lo largo de este campo vectorial simplemente hace girar el círculo.

Un ejemplo de juguete para un campo vectorial Killing está en el semiplano superior equipado con la métrica de Poincaré . El par se denomina típicamente plano hiperbólico y tiene un campo vectorial Killing (usando coordenadas estándar). Esto debería ser intuitivamente claro ya que la derivada covariante transporta la métrica a lo largo de una curva integral generada por el campo vectorial (cuya imagen es paralela al eje x). ${\ Displaystyle M = \ mathbb {R} _ {y> 0} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle g = y ^ {- 2} \ left (dx ^ {2} + dy ^ {2} \ right)}$ ${\ Displaystyle (M, g)}$ ${\ estilo de visualización \ parcial _ {x}}$ ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ partial _ {x}} g}$

Los campos Killing en las dos esferas , o cualquier esfera, deberían ser, en cierto sentido, "obvios" por intuición ordinaria: las esferas, al ser esferas simétricas, deberían poseer campos Killing generados por rotaciones infinitesimales alrededor de cualquier eje. Esto es incluso sencillo en un nivel apropiado de abstracción. Sin embargo, cuando se expresan explícitamente en términos de gráficos de coordenadas , los campos Killing tienen una estructura no obvia que oscurece su naturaleza. Esto se articula a continuación. Esta estructura "no obvia" es genérica para las variedades que no son esferas y, por lo tanto, la 2-esfera proporciona un buen modelo de juguete en el que explorar la interpretación intuitiva de Killing fields. ${\ Displaystyle S ^ {2}}$