Una métrica en el plano complejo puede expresarse generalmente en la forma
donde λ es una función positiva real de y . La longitud de una curva γ en el plano complejo viene dada por
El área de un subconjunto del plano complejo está dada por
dónde es el producto exterior utilizado para construir la forma del volumen . El determinante de la métrica es igual a, entonces la raíz cuadrada del determinante es . La forma de volumen euclidiana en el plano es y así uno tiene
Una función se dice que es el potencial de la métrica si
Las isometrías conservan ángulos y longitudes de arco. En las superficies de Riemann, las isometrías son idénticas a los cambios de coordenadas: es decir, tanto el operador de Laplace-Beltrami como la curvatura son invariantes bajo isometrías. Así, por ejemplo, sea S una superficie de Riemann con métricay T sea una superficie de Riemann con métrica. Entonces un mapa
con es una isometría si y solo si es conforme y si
.
Aquí, el requisito de que el mapa sea conforme no es más que la declaración
es decir,
Elemento métrico y volumétrico en el plano de Poincaré
Se puede dar otra forma interesante de la métrica en términos de la relación cruzada . Dados cuatro puntos y en el plano complejo compacto la relación cruzada se define por
Entonces la métrica viene dada por
Aquí, y son los puntos finales, en la recta numérica real, de la unión geodésica y . Estos están numerados para que se encuentra en el medio y .
Las geodésicas para este tensor métrico son arcos circulares perpendiculares al eje real (semicírculos cuyo origen está en el eje real) y líneas verticales rectas que terminan en el eje real.
donde w es el punto en el disco unitario que corresponde al punto z en el semiplano superior. En este mapeo, la constante z 0 puede ser cualquier punto en el semiplano superior; se asignará al centro del disco. El eje real se asigna al borde del disco de la unidad El número real constante se puede utilizar para rotar el disco en una cantidad fija arbitraria.
El mapeo canónico es
que lleva i al centro del disco y 0 a la parte inferior del disco.
Elemento métrico y de volumen en el disco de Poincaré
Las geodésicas para este tensor métrico son arcos circulares cuyos extremos son ortogonales al límite del disco. Los flujos geodésicos en el disco de Poincaré son flujos de Anosov ; ese artículo desarrolla la notación para tales flujos.
El modelo de disco perforado
J-invariante en coordenadas de disco perforado; es decir, en función del nomo.
J-invariante en las coordenadas del disco de Poincaré; tenga en cuenta que este disco se gira 90 grados desde las coordenadas canónicas dadas en este artículo
En la notación de las secciones anteriores, τ es la coordenada en el semiplano superior . El mapeo es al disco perforado, porque el valor q = 0 no está en la imagen del mapa.
La métrica de Poincaré en el semiplano superior induce una métrica en el disco q
Hershel M. Farkas e Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-90465-4 .
Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 3-540-43299-X (consulte la sección 2.3) .
Svetlana Katok , Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (proporciona una introducción sencilla y de fácil lectura).