En física matemática, las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov , o ecuaciones KZ , son ecuaciones diferenciales lineales satisfechas por las funciones de correlación (en la esfera de Riemann) de las teorías de campo conforme bidimensionales asociadas con un álgebra de Lie afín a un nivel fijo. Forman un sistema de ecuaciones diferenciales parciales complejas con puntos singulares regulares satisfechos por las funciones de N puntos de campos primarios afines y pueden derivarse utilizando el formalismo de las álgebras de Lie o el de las álgebras de vértices .
La estructura de la parte de género cero de la teoría del campo conforme está codificada en las propiedades de monodromía de estas ecuaciones. En particular, el trenzado y la fusión de los campos primarios (o sus representaciones asociadas) se pueden deducir de las propiedades de las funciones de cuatro puntos, para las cuales las ecuaciones se reducen a una única ecuación diferencial ordinaria compleja de primer orden con valores matriciales de fucsia. tipo.
Originalmente, los físicos rusos Vadim Knizhnik y Alexander Zamolodchikov derivaron las ecuaciones para el modelo SU (2) Wess-Zumino-Witten usando las fórmulas clásicas de Gauss para los coeficientes de conexión de la ecuación diferencial hipergeométrica .
Definición
Dejar denota el álgebra de Lie afín con nivel k y número doble de Coxeter h . Sea v un vector de una representación en modo cero de y el campo primario asociado con él. Dejarser una base del álgebra de Lie subyacente , su representación en el campo primario y η la forma Asesinato . Entonces paralas ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov leídas
Derivación informal
Las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov resultan de la construcción de Sugawara del álgebra de Virasoro a partir del álgebra de Lie afín. Más concretamente, resultan de la aplicación de la identidad
al campo primario afín en una función de correlación de campos primarios afines. En este contexto, solo los términosno desaparecen. La acción deluego se puede reescribir usando identidades globales de Ward ,
y se puede identificar con el operador de traducción infinitesimal .
Formulación matemática
Desde el tratamiento en Tsuchiya y Kanie (1988) , la ecuación de Knizhnik-Zamolodchikov se ha formulado matemáticamente en el lenguaje de las álgebras de vértices debido a Borcherds (1986) y Frenkel, Lepowsky y Meurman (1988) . Este enfoque fue popularizado entre los físicos teóricos por Goddard (1988) y entre matemáticos por Kac (1996) .
La representación de vacío H 0 de un álgebra afín de Kac-Moody a un nivel fijo se puede codificar en un álgebra de vértice . La derivación d actúa como el operador de energía L 0 en H 0 , que se puede escribir como una suma directa de los autoespacios enteros no negativos de L 0 , siendo el espacio de energía cero generado por el vector de vacío Ω. El valor propio de un vector propio de L 0 se llama energía. Para cada estado a en L hay un operador de vértice V ( a , z ) que crea a del vector de vacío Ω, en el sentido de que
Los operadores de vértice de la energía 1 corresponden a los generadores del álgebra afín
donde X se extiende sobre los elementos del álgebra de Lie compleja simple de dimensión finita subyacente.
Hay un vector propio de energía 2 L −2 Ω que da a los generadores L n del álgebra de Virasoro asociado al álgebra de Kac-Moody por la construcción Segal-Sugawara
Si a tiene energía α , entonces el operador de vértice correspondiente tiene la forma
Los operadores de vértice satisfacen
así como las relaciones de localidad y asociatividad
Estas dos últimas relaciones se entienden como continuaciones analíticas: los productos internos con vectores de energía finitos de las tres expresiones definen los mismos polinomios en z ± 1 , w ± 1 y ( z - w ) −1 en los dominios | z | <| w |, | z | > | w | y | z - w | <| w |. Todas las relaciones estructurales del álgebra de Kac-Moody y Virasoro se pueden recuperar a partir de estas relaciones, incluida la construcción Segal-Sugawara.
Cualquier otra representación integral H i al mismo nivel se convierte en un módulo para el álgebra de vértices, en el sentido de que para cada a hay un operador de vértice V i ( a , z ) en H i tal que
Los operadores de vértice más generales en un nivel dado son operadores entrelazados Φ ( v , z ) entre las representaciones H i y H j donde v se encuentra en H k . Estos operadores también se pueden escribir como
pero δ ahora pueden ser números racionales . Nuevamente, estos operadores entrelazados se caracterizan por propiedades
y relaciones con L 0 y L −1 similares a las anteriores.
Cuando v está en el subespacio de energía más baja para L 0 en H k , una representación irreducible de, el operador Φ ( v , w ) se denomina campo primario de carga k .
Dada una cadena de n campos primarios que comienzan y terminan en H 0 , su correlación o función de n puntos está definida por
En la literatura de física, v i a menudo se suprime y el campo primario se escribe Φ i ( z i ), en el entendido de que está etiquetado por la correspondiente representación irreducible de.
Derivación del álgebra de vértice
Si ( X s ) es una base ortonormal de para la forma de Killing, las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov pueden deducirse integrando la función de correlación
primero en la variable w alrededor de un pequeño círculo centrado en z ; según el teorema de Cauchy, el resultado se puede expresar como la suma de integrales alrededor de n círculos pequeños centrados en las z j :
La integración de ambos lados en la variable z alrededor de un pequeño círculo centrado en z i produce la i- ésima ecuación de Knizhnik-Zamolodchikov.
Derivación del álgebra de mentiras
También es posible deducir las ecuaciones de Knizhnik-Zamodchikov sin el uso explícito de álgebras de vértices. El término Φ ( v i , z i ) puede ser reemplazado en la función de correlación por su conmutador con L r donde r = 0, ± 1. El resultado se puede expresar en términos de la derivada con respecto a z i . Por otro lado, L r también viene dada por la fórmula Segal-Sugawara:
Después de sustituir estas fórmulas por L r , las expresiones resultantes se pueden simplificar usando las fórmulas del conmutador
Derivación original
La prueba original de Knizhnik & Zamolodchikov (1984) , reproducida en Tsuchiya & Kanie (1988) , utiliza una combinación de los dos métodos anteriores. Primero tenga en cuenta que para X en
Por eso
Por otro lado,
así que eso
El resultado sigue utilizando este límite en la igualdad anterior.
Representación monodromía de la ecuación KZ
En la teoría de campos conforme a lo largo de la definición anterior, la función de correlación de n puntos del campo primario satisface la ecuación KZ. En particular, paray enteros no negativos k hay campos primarios corresponde a la representación de spin j (). La función de correlación de los campos primarios es para la representacion toma valores en el producto tensorial y su ecuación KZ es
- ,
dónde como la derivación informal anterior .
Esta función de correlación de n puntos se puede continuar analíticamente como una función holomórfica de valores múltiples para el dominio con por . Debido a esta continuación analítica, la holonomía de la ecuación KZ puede describirse mediante el grupo de trenzas presentado por Emil Artin . Kohno (2002) En general, un álgebra de mentira compleja y semi-simple y sus representaciones dar la representación lineal del grupo de trenzas
como la holonomía de la ecuación KZ. Por el contrario, una ecuación KZ da la representación lineal de grupos de trenzas como su holonomía.
La acción en por la continuación analítica de la ecuación KZ se denomina representación monodromía de la ecuación KZ . En particular, si todostienen representación de espín 1/2, entonces la representación lineal obtenida de la ecuación KZ concuerda con la representación construida a partir de la teoría del álgebra de operadores por Vaughan Jones . Se sabe que la representación monodromía de la ecuación KZ con un álgebra de Lie semi-simple general concuerda con la representación lineal del grupo trenzado dada por la matriz R del grupo cuántico correspondiente .
Aplicaciones
- Teoría de la representación del álgebra de Lie afín y los grupos cuánticos
- Grupos de trenzas
- Topología de complementos de hiperplano
- Teoría de nudos y 3 pliegues
Ver también
- Ecuaciones cuánticas KZ
Referencias
- Baik, Jinho; Deift, Percy; Johansson, Kurt (junio de 1999), "Sobre la distribución de la longitud de la subsecuencia creciente más larga de permutaciones aleatorias" (PDF) , J. Amer. Matemáticas. Soc. , 12 (4): 1119–78, doi : 10.1090 / S0894-0347-99-00307-0 , S2CID 11355968
- Knizhnik, VG ; Zamolodchikov, AB (1984), "Álgebra actual y modelo de Wess-Zumino en dos dimensiones", Nucl. Phys. B , 247 (1): 83–103, Bibcode : 1984NuPhB.247 ... 83K , doi : 10.1016 / 0550-3213 (84) 90374-2
- Tsuchiya, A .; Kanie, Y. (1988), Operadores de vértice en la teoría de campo conforme en P (1) y representaciones monodromía del grupo de trenzas , Adv. Semental. Pure Math., 16 , págs. 297–372 (Errata en el volumen 19, págs. 675–682.)
- Borcherds, Richard (1986), "Álgebras de vértices, álgebras de Kac-Moody y el monstruo", Proc. Natl. Acad. Sci. EE . UU. , 83 (10): 3068–3071, Código Bib : 1986PNAS ... 83.3068B , doi : 10.1073 / pnas.83.10.3068 , PMC 323452 , PMID 16593694
- Frenkel, Igor ; Lepowsky, James ; Meurman, Arne (1988), Álgebras de operador de vértice y el monstruo , Matemáticas puras y aplicadas, 134 , Academic Press, ISBN 0-12-267065-5
- Goddard, Peter (1989), "Teoría del campo conforme meromórfico" , en Kac, Victor G. (ed.), Álgebras y grupos de mentiras infinitas dimensionales , Advanced Series In Mathematical Physics, 7 , World Scientific, págs. 556–587, ISBN 978-981-4663-17-5
- Kac, Victor (1998), Álgebras de vértices para principiantes , Serie de conferencias universitarias, 10 , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0643-2
- Etingof, Pavel I .; Frenkel, Igor ; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory y Knizhnik – Zamolodchikov Equations , Mathematical Surveys and Monographs, 58 , American Mathematical Society, ISBN 0821804960
- Frenkel, Edward; Ben-Zvi, David (2001), Álgebras de vértices y curvas algebraicas , Encuestas y monografías matemáticas, 88 , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2894-0
- Kohno, Toshitake (2002), Teoría y topología de campos conformales , Traducción de monografías matemáticas, 210 , American Mathematical Society, ISBN 978-0821821305