En matemáticas , un álgebra de Lie afín es un álgebra de Lie de dimensión infinita que se construye de forma canónica a partir de un álgebra de Lie simple de dimensión finita . Es un álgebra de Kac-Moody para la cual la matriz de Cartan generalizada es semidefinida positiva y tiene un coeficiente 1. Desde un punto de vista puramente matemático, las álgebras de Lie afines son interesantes porque su teoría de representación , como la teoría de representación de Lie semimpleta de dimensión finita álgebras , se comprende mucho mejor que el de las álgebras generales de Kac-Moody. Como observó Victor Kac , la fórmula del carácterpues las representaciones de álgebras de Lie afines implican ciertas identidades combinatorias, las identidades de Macdonald .
Las álgebras de Lie afines juegan un papel importante en la teoría de cuerdas y en la teoría de campos conformales bidimensionales debido a la forma en que están construidas: partiendo de un álgebra de Lie simple, se considera el álgebra de bucles ,, formado por el -Funciones valoradas en un círculo (interpretado como la cadena cerrada) con conmutador puntual. El álgebra de mentira afínse obtiene agregando una dimensión extra al álgebra de bucles y modificando un conmutador de una manera no trivial, lo que los físicos llaman una anomalía cuántica (en este caso, la anomalía del modelo WZW ) y los matemáticos una extensión central . De manera más general, si σ es un automorfismo del álgebra de Lie simpleasociado a un automorfismo de su diagrama de Dynkin , el álgebra de bucle retorcido consiste en -funciones valoradas f en la recta real que satisfacen la condición de periodicidad retorcida f ( x + 2 π ) = σ f ( x ) . Sus extensiones centrales son precisamente las retorcidas álgebras de Lie afines . El punto de vista de la teoría de cuerdas ayuda a comprender muchas propiedades profundas de las álgebras de Lie afines, como el hecho de que los caracteres de sus representaciones se transforman entre sí en el grupo modular .
Álgebras de Lie afines a partir de álgebras de Lie simples
Definición
Si es un álgebra de Lie simple de dimensión finita, el correspondiente álgebra de Lie afín se construye como una extensión central del álgebra de Lie de dimensión infinita, con centro unidimensional Como espacio vectorial,
dónde es el espacio vectorial complejo de los polinomios de Laurent en la t indeterminada . El corchete de Lie está definido por la fórmula
para todos y , dónde es el corchete de Lie en el álgebra de Lie y es el formulario Cartan-Killing en
El álgebra de Lie afín correspondiente a un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita es la suma directa de las álgebras de Lie afines correspondientes a sus sumandos simples. Hay una derivación distinguida del álgebra de Lie afín definida por
El álgebra afín de Kac-Moody correspondiente se define como un producto semidirecto al agregar un generador adicional d que satisface [ d , A ] = δ ( A ).
Construyendo los diagramas de Dynkin
El diagrama de Dynkin de cada álgebra de Lie afín consta del correspondiente álgebra de Lie simple más un nodo adicional, que corresponde a la adición de una raíz imaginaria. Por supuesto, un nodo de este tipo no se puede adjuntar al diagrama de Dynkin en cualquier lugar, pero para cada álgebra de Lie simple existe un número de adjuntos posibles iguales a la cardinalidad del grupo de automorfismos externos del álgebra de Lie. En particular, este grupo siempre contiene el elemento de identidad, y la correspondiente álgebra de Lie afín se llama torsión álgebra de Lie afín. Cuando el álgebra simple admite automorfismos que no son automorfismos internos, se pueden obtener otros diagramas de Dynkin y estos corresponden a álgebras de Lie afines retorcidas .
El conjunto de diagramas de Dynkin afines extendidos (sin torcer), con nodos agregados en verde | Las formas afines "retorcidas" se nombran con (2) o (3) superíndices. ( k es el número de nodos en el gráfico) |
Clasificación de las extensiones centrales
La unión de un nodo extra al diagrama de Dynkin del álgebra de Lie simple correspondiente corresponde a la siguiente construcción. Un álgebra de Lie afín siempre se puede construir como una extensión central del álgebra de bucles del álgebra de Lie simple correspondiente. Si, en cambio, se desea comenzar con un álgebra de Lie semisimple, entonces se necesita extender centralmente por un número de elementos igual al número de componentes simples del álgebra semisimple. En física, a menudo se considera en cambio la suma directa de un álgebra semisimple y un álgebra abeliana.. En este caso también hay que añadir n elementos más centrales para los n abelianos generadores.
La segunda cohomología integral del grupo de bucles del grupo de Lie compacto simple correspondiente es isomorfa a los números enteros. Las extensiones centrales del grupo de Lie afín por un solo generador son haces circulares topológicamente sobre este grupo de bucles libres, que se clasifican en dos clases conocidas como la primera clase Chern de la fibración . Por lo tanto, las extensiones centrales de un grupo de Lie afín se clasifican mediante un único parámetro k que se denomina nivel en la literatura de física, donde apareció por primera vez. Las representaciones unitarias de mayor peso de los grupos compactos afines solo existen cuando k es un número natural. De manera más general, si se considera un álgebra semi-simple, hay una carga central para cada componente simple.
Teoría de la representación
La teoría de la representación para álgebras de Lie afines se suele desarrollar utilizando módulos Verma . Al igual que en el caso de las álgebras de Lie semi-simples, estas pueden obtenerse como los módulos de mayor peso . No hay representaciones de dimensión finita; esto se sigue del hecho de que los vectores nulos de un módulo Verma de dimensión finita son necesariamente cero; mientras que las de las álgebras de Lie afines no lo son. En términos generales, esto se sigue porque la forma de matar es Lorentziana en el direcciones, así a veces se denominan "coordenadas de cono de luz" en la cuerda. Los productos del operador actual "ordenados radialmente" pueden entenderse como ordenados normales en función del tiempo tomando con la dirección temporal a lo largo de la hoja del mundo de cuerdas y la dirección espacial.
Personajes y grupo de Weyl
El grupo de Weyl de un álgebra de Lie afín se puede escribir como un producto semidirecto del grupo de Weyl del álgebra de modo cero (el álgebra de Lie que se usa para definir el álgebra de bucles ) y la red de coroot .
La fórmula del carácter Weyl de los caracteres algebraicos de las álgebras de Lie afines se generaliza a la fórmula del carácter Weyl-Kac . De estos se derivan varias construcciones interesantes. Se pueden construir generalizaciones de la función theta de Jacobi . Estas funciones theta se transforman bajo el grupo modular . Las identidades de denominador habituales de las álgebras de Lie semi-simples también se generalizan; debido a que los caracteres se pueden escribir como "deformaciones" o q-análogos de los pesos más altos, esto llevó a muchas nuevas identidades combinatorias, incluidas muchas identidades previamente desconocidas para la función eta de Dedekind . Estas generalizaciones pueden verse como un ejemplo práctico del programa Langlands .
Aplicaciones
Debido a la construcción de Sugawara , el álgebra envolvente universal de cualquier álgebra de Lie afín tiene el álgebra de Virasoro como subálgebra. Esto permite que las álgebras de Lie afines sirvan como álgebras de simetría de las teorías de campo conformes , como los modelos WZW o los modelos coset. Como consecuencia, las álgebras de Lie afines también aparecen en la descripción de la hoja del mundo de la teoría de cuerdas .
Referencias
- Di Francesco, P .; Mathieu, P .; Sénéchal, D. (1997), Teoría del campo conformado , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94785-X
- Fuchs, Jurgen (1992), Álgebras de mentiras afines y grupos cuánticos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
- Goddard, Peter ; Olive, David (1988), Álgebras de Kac-Moody y Virasoro: un volumen de reimpresión para físicos , serie avanzada en física matemática, 3 , World Scientific, ISBN 9971-5-0419-7
- Kac, Victor (1990), Álgebras de Lie de dimensión infinita (3 ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-46693-8
- Kohno, Toshitake (1998), Teoría y topología de campos conformados , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2130-X
- Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986), Loop groups , Oxford University Press, ISBN 0-19-853535-X